高等數(shù)學2D8_5對弧長曲線積分

1、8.5 8.5 曲線積分曲線積分8.5.1 8.5.1 曲線積分的概念與性質曲線積分的概念與性質 8.5.2 8.5.2 曲線積分的計算法曲線積分的計算法 8.5.3 8.5.3 格林公式格林公式 8.5.4 8.5.4 曲線積分與路徑無關的條件及曲線積分與路徑無關的條件及8.5.68.5.6* * 曲線積分的應用曲線積分的應用 二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積 3.3.理解對坐標的曲線積分的定義理解對坐標的曲線積分的定義; ; 4.4.了解對坐標的曲線積分的性質了解對坐標的曲線積分的性質; ; 5.5.掌握掌握對坐標的曲線積分的計算方法對坐標的曲線積分的計算方法; ; 6.6.了解兩

2、類曲線積分的關系了解兩類曲線積分的關系; ; 1.1.理解對弧長的曲線積分的定義理解對弧長的曲線積分的定義, ,物理意義和幾何意義物理意義和幾何意義; ; 2.2.掌握掌握對弧長的曲線積分的性質與計算方法；對弧長的曲線積分的性質與計算方法； 7.7.掌握掌握并能正確運用格林公式并能正確運用格林公式; ; 8.8.掌握掌握平面上關于坐標的曲線積分與路徑無關的條件平面上關于坐標的曲線積分與路徑無關的條件, , 基本要求基本要求 會求全微分的原函數(shù)會求全微分的原函數(shù). . 上頁 下頁第8.5.1節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質一、對弧長的曲線積分的概念與性質二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的

3、曲線積分的計算法對弧長的曲線積分 第 八章 上頁 下頁AB一、對弧長的曲線積分的概念與性質一、對弧長的曲線積分的概念與性質假設曲線形細長構件在空間所占假設曲線形細長構件在空間所占弧段為弧段為AB , 其線密度為其線密度為),(zyxkkkks),(的方法的方法,可得可得nk 10limM為計算此構件的質量為計算此構件的質量, ,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構件的質量曲線形構件的質量采用采用上頁 下頁“分割、近似代替、求和、取極限分割、近似代替、求和、取極限” ” ),(zyx( , , )x y z注意注意:是定義在是定義在 弧段弧段AB上的函數(shù)上的函數(shù). 設設 是空間

4、中一條有限長的光滑曲線是空間中一條有限長的光滑曲線,義在義在 上的一個有界函數(shù)上的一個有界函數(shù), kkkksf),(都存在都存在,),(zyxf 上上對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分, 記作記作szyxfd),(若通過對若通過對 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取點任意取點, 2. .定義定義是定),(zyxf下列下列“乘積和式極限乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在曲線在曲線或或第一類曲線積分第一類曲線積分. ),(zyxf稱為稱為被積函數(shù)，被積函數(shù)， 稱為稱為積分弧段積分弧段 .nk 10limks1kMkM),(kkk和對和對上頁 下頁如果如果 L 是是 xoy 面上的曲

5、線弧面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果如果 L 是閉曲線是閉曲線 , 則記為則記為.d),(Lsyxf則定義對弧長的曲線積則定義對弧長的曲線積 分為分為思考思考: (1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(2) 定積分是否可看作對弧長的曲線積分的特例定積分是否可看作對弧長的曲線積分的特例 ? 否否! 對弧長的曲線積分要求對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中但定積分中dx 可能為負可能為負.上頁 下頁3.3.對弧長的曲線積分的物理意義和幾何意義對弧長的曲線積分的物理意義和幾何意義 物理意義物理意義 表示弧表示弧的線密度的線密

6、度. . ( , , )f x y z其中其中幾何意義幾何意義 表示表示的弧長的弧長. . ds曲線形構件的質量曲線形構件的質量, ( , , )0( , , )df x y zf x y zs當時，4. 性質性質szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù)為常數(shù)) szyxfd),()3( 由由 組成組成) 21, ),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(21d),(d),(szyxfszyxf上頁 下頁表示表示 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路基本思

7、路:計算定積分計算定積分轉轉 化化定理定理:),(yxf設且且)()(tty上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧是定義在光滑曲線弧則曲線積分則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分求曲線積分根據(jù)定義根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(上頁 下頁, ,1kkktt點點),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設各分點對應參數(shù)為設各分點對應參數(shù)為), 1 ,0(nktk對應參數(shù)為對應參數(shù)為 則則,1kkkttnk 10lim

8、kkkt)()(22 )(, )(kkf上頁 下頁xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足因此積分限必須滿足!(2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式類似于因此上述計算公式類似于“換元法換元法”. 因此因此上頁 下頁如果曲線如果曲線 L 的方程為的方程為),()(bxaxy則有則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標形式如果方程為極坐標形式:),()(: rrL則則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設空間曲線弧的參數(shù)方程為設空間曲線弧的參

9、數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf上頁 下頁上頁 下頁由上述定理得由上述定理得對弧長的曲線積分的一般對弧長的曲線積分的一般計算步驟如下計算步驟如下: : 第一步第一步 畫出積分曲線畫出積分曲線L L的草圖；的草圖； 第二步第二步 寫出寫出L L的方程的方程; ; 第三步第三步 化為定積分化為定積分; ; 作法作法：L L的方程形式代入的方程形式代入, ,弧微分用同一形式的表達式代入弧微分用同一形式的表達式代入; ; 把被積函數(shù)中的把被積函數(shù)中的x,y用

10、積分曲線用積分曲線 變量參數(shù)化變量參數(shù)化: : 一類小放下一類小放下: : 化為定積分時要用參數(shù)的最小值化為定積分時要用參數(shù)的最小值 作為作為定積分的下限定積分的下限. .第四步第四步 計算定積分計算定積分. . (L的方程形式?jīng)Q定定積分形式的方程形式?jīng)Q定定積分形式 ) 例例1. 計算計算d ,Ly s其中其中 L 是拋物線是拋物線2xy 與點與點 B (1,1) 之間的一段弧之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLdLy s10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x1(5 51).12上點上點 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B上頁 下頁22

11、d ,Lxys其中其中 L 是是20,2,yxyyx所圍成的扇形的整個邊界所圍成的扇形的整個邊界 . 上頁 下頁解解 由圖可知由圖可知 在在 OA上，上，0,02,yx.01)(12dxdxdxxyds2222200()1.2OAxxy dsxdx在在 上上, , 2cos ,2sin ,xt yt故故 222xyAxyyxo) 1 , 1 (B例例2. 求求 (0)4t22( )( )2,dsxtyt dtdt222240( 2cos )( 2cos )2ABxy dsttdt故故 .LOAABOBAB在在 OB上，上， ,01,yxx.211)(12dxdxdxxyds4022.2dt12

12、22202OBxy dsxxdx綜上所述，得綜上所述，得 222222LOAABxy dsxyxy ds222xyAxyyxo) 1 , 1 (B故故 1210021.xdxx22OBxy ds2.2上頁 下頁上頁 下頁例例3. 計算計算d ,Ly s其中其中 L 是拋物線是拋物線24yxA(1,2)到點到點 B (1,-2) 之間的一段弧之間的一段弧 . 上從點上從點解解 為了得到單值函數(shù)為了得到單值函數(shù), ,應把應把 的方程寫成的方程寫成 L)22( ,42yyx因此因此 22221 ()4Lyydsydy( (因為被積函數(shù)為奇函數(shù)因為被積函數(shù)為奇函數(shù)). ). 1Lxy24yxo(1,2

13、)A(1,2)B2221 ( )02yydy例例4. 計算曲線積分計算曲線積分 ,d)(222szyx其中其中 為螺旋為螺旋的一段弧的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線線上頁 下頁d d s例例5. 計算計算,d)(222szyxI其中其中 為球面為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(2092d18 .2

14、Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y則則 上頁 下頁例例6. 計算計算,d2sx其中其中 為球面為球面 2222azyx被平面被平面 所截的圓周所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知由對稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2上頁 下頁內容小結內容小結1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質性質kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyx

15、fszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧曲線弧 的長度的長度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(上頁 下頁3. 計算計算 對光滑曲線弧對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf上頁 下頁思考與練習思考與練習1. 已知橢圓已知橢圓134:22yxL周長為周長為a , 求求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式原式