高三數(shù)學復習專題四數(shù)列與不等式

1、高三數(shù)學專題四 （數(shù)列與不等式）第一講 遞推公式與通項公式數(shù)列是高中數(shù)學很重要的內(nèi)容之一，是高考的熱點和重點。數(shù)列中蘊含著豐富的數(shù)學思想，而遞推公式的通項問題具有很強的邏輯性，是考查邏輯推理和轉(zhuǎn)化化歸能力的好素材，因此也成為近幾年高考的熱點。類型1（已歸納常見題型）（1）；（2）；（3）； （4）；（5）;（6）；（7）類型2：這種類型一般是等式兩取倒數(shù)后轉(zhuǎn)化為類型（3）例1已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式.【解析】由已知，得， 即.設， 則， ，是首項為，公比為的等比數(shù)列，. 解得.類型3：周期型這種類型與函數(shù)的周期性相類似，應推導對任意有，則為數(shù)列的周期.例2已知數(shù)列滿足，則（）A0 B

2、 C D【解析】選B.，至此可知：數(shù)列的各項的值依次為0，0，0，周而復始.余2類型4：這種類型一般通過構造方程，利用“不動點”知識處理.例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.【解析】設方程，則或， 兩式相除，得：令，則， 類型5：或這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解.例4（1）在數(shù)列中，求;（2）在數(shù)列中，求.【解析】（1）， 兩式相減，得.與均為公差為6的等差數(shù)列，易求得 （2）類似（1）的方法易求 .類型6：歸納猜想法例5設數(shù)列的前n項和為，且方程有一根為，.（1）求，；（2）求的通項公式.【解析】（1）當時，有一根為，于是.解得.當時，有一根為，于是，解得. （2）由題設， 即.

3、當時，代入上式得： （*）由（1）知. .由（*）可得.由此猜想，.下面用數(shù)學歸納法證明這個結論.時已知結論成立.假設時結論成立，即.當時，則（*）得.即. 故時結論也成立.綜上，由、可知對所有正整數(shù)n都成立.于是當時，.又當時，所以的通項.練習：1已知數(shù)列中，則使成立的n是（D）A21或22 B22或23 C22 D212若數(shù)列中，且對任意的正整數(shù)m、n者有，則等于（C） A B C D3112 486420283681216203579111234563給定正整數(shù)n（）按下圖方式構成三角形數(shù)表：第一行依次寫上數(shù)1，2，3，n，在下面一行的每相鄰兩個數(shù)的正中間上方寫上這兩個數(shù)之和，得到上面一

4、行的數(shù)（比下一行少1個數(shù)），依次類推，最后一行（第n行）只有一個數(shù)，例如n6時數(shù)表如圖所示，則當n2009時最后一行的數(shù)是（C）A251×22009 B251×22008 C2010×22007 D2009×220074數(shù)列滿足若，則的值是. 5設數(shù)列的前n項和.求數(shù)列的通項公式. （）6已知是定義在上的增函數(shù)，對任意的有且f；定義數(shù)列滿足：，若為等比數(shù)列.（1）求的所有值及的通項公式； （2）當為奇數(shù)時，求證：； （3）求證：.（ ）第二講 數(shù)列的通項與前n項和（教師用）例1設正項等比數(shù)列的首項，前n項和為，且.（1）求的通項；（2）求的前n項和Ten

5、.【解析】（1）由，得，即，得，因為，所以，解得， 因而.（2）因為是首項，公比的等比數(shù)列，故，.則數(shù)列的前n項和 得：，.即例2已知數(shù)列滿足：，.（1）求，的值及數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.【思路點拔】（1）先令，再討論n的奇偶.（2）用錯位相減法.【解析】（1），當n為奇數(shù)時， ，是公差為2的等差數(shù)列， .當n為偶數(shù)時，是公比為2的等比數(shù)列，.數(shù)列的通項公式為.（2），兩式相減，得：=，.例3數(shù)列滿足且，記.（1）求、的值；（2）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和Sn【解析】方法一：（1）由，得：，代入遞推關系式，整理得，即，由，得，所以，. （2）由，所以是首項為，公比的等

6、比數(shù)列，故，即.由， 得，故.方法二： 設方程：，則或，兩式相除得令：，則：，.，例4已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求，并確定最小正整數(shù)，使為整數(shù).【解析】(1)條件化為，因此為一個等比數(shù)列，其公比為2，首項為.所以.因由，由解出(2)由(1)有 ，為使為整數(shù)，當且僅當為整數(shù).當1，2時，顯然不為整數(shù)，當時，.只需為整數(shù)，與3互質(zhì)，n為9的整數(shù)倍.當n=9時, 為整數(shù),故n的最小正整數(shù)為9. 練習：1數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，并且，是等比數(shù)列的相鄰三項，若，則等于( D ) A B C D2數(shù)列的前n項和(q0且q是常數(shù))，某同學研究此數(shù)列后，得出如下三個結論：的通項公式是；是等比數(shù)列；當q1時，.其中正確結論的個數(shù)是( C ) A0 B1 C2 D3111111123456135791114710131615913172116111621263對于實數(shù)，用表示不超過x的最大整數(shù)，如0.32=0，5.68=5.若n為正整數(shù)，為數(shù)列的前n項和，則= . 4某資料室在計算機使用中，如下表所示，編碼以一定規(guī)則排列，且從左至右以及從上到下都是無限的.此表中，主對角線上數(shù)列1，2，5，10，17，的通項公式為 ；編碼100共出現(xiàn) 次. ；65對正整數(shù)n，設拋物線，過任作直線l交拋物線于，兩點，則數(shù)列的前n項和為 6設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項