再談三角形內(nèi)角平分線定理的證明

1、 再談三角形內(nèi)角平分線定理的證明許多學(xué)生在學(xué)習(xí)“相似形”證明四條線段成比例時(shí)感到無(wú)從下手，不知如何去分析題中的隱含條件，但我在教學(xué)“三角形內(nèi)角平分線定理”時(shí)，用一題多解的方法帶領(lǐng)大家用一節(jié)課的時(shí)間探究它的多種證明方法，并歸納出證明四條線段成比例主要的思考規(guī)律?，F(xiàn)舉例說(shuō)明。定理：三角形的內(nèi)角平分線將它的對(duì)邊分成的兩部分與這角的兩條鄰邊對(duì)應(yīng)成比例。已知：如圖 abc中，12。求證：。方法一：利用等比代換、等量代換證明線段成比例證明一：過(guò)點(diǎn)作debc，交ac于e點(diǎn)則。又易證adeabc 。又decb 23 而1213ce=de 。說(shuō)明：本證法的思路是利用平行線de作等比代換，利用圖形的對(duì)稱(chēng)性同理可證

2、，過(guò)d 點(diǎn)作ac的平行線得到另一證法，以下略，這也是證明四條線段成比例的重要方法等比代換或等量代換。方法二：巧作平行線證相似分析：在證法一的基礎(chǔ)上繼續(xù)分析，由于ad、bd在同一直線上，常用方法是過(guò)分點(diǎn)、端點(diǎn)作相應(yīng)的平行線（方法一是過(guò)分點(diǎn)作平行線），如果過(guò)端點(diǎn)a或端點(diǎn)b作平行線是否也可以達(dá)到目的呢？這樣就得到下面的證法。證明二：過(guò)b點(diǎn)作becd，be交ac延長(zhǎng)線于e點(diǎn)，則有。又becd 1e 23而12e3 bc=ce 則有。說(shuō)明：本證法也是利用等比代換或等量代換證明的，雖然圖形的形狀不同，但他們的實(shí)質(zhì)是相同的，都是過(guò)分點(diǎn)（或端點(diǎn)）作平行線，這也是多解歸一的一種體現(xiàn)，同理再利用對(duì)稱(chēng)的思想，同樣可

3、以過(guò)a點(diǎn)作cd的平行線得到與其相似的證法（略）。方法三：巧用平行線分線段成比例定理分析：四條線段ad、bd、ac、bc所在的位置構(gòu)造平行線分線段成比例定理需要在ac的延長(zhǎng)線上構(gòu)造線段ce=cb即可，只需證明cdbe。證明三：延長(zhǎng)ac到d使ce=cb，則有e3又acb=e+3 acb23 而acb2223 cdbe即說(shuō)明：本證法是從結(jié)論出發(fā)，逆向思維構(gòu)造成比例線段，再證明線段平行而得，利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，也可延長(zhǎng)bc到e，使ce=ac，同理可證。方法四：構(gòu)造三角形相似，證明四條線段成比例分析；證明四條線段成比例，我們常用的方法是證明這四條線段所在的兩個(gè)三角形相似，但此圖中的四條線段明顯不在相似三角

4、形中，所以想到：能否根據(jù)條件2構(gòu)造相似三角形呢？證明四：現(xiàn)以acbc為例說(shuō)明acbc ba延長(zhǎng)cd，作cae=b 易證acebcd e3 43 4e ad=ae 當(dāng)ac=bc時(shí)，cadb 12 ad=bd 方法五：巧妙構(gòu)造相等角作垂直分析與方法四相似，通過(guò)作垂直構(gòu)造等角，仍以acbc為例說(shuō)明，ac=bc證法同上。證明五：過(guò)a、b作afcd，becd。易證acfbce，得到。由rtafdrtbed，得。說(shuō)明：此種證法是在對(duì)acd和bcd不能證相似而又需要它相似的情況下構(gòu)造出來(lái)，與證法四的思考方法類(lèi)似，不同之處構(gòu)造相等角的方法不同，證法四是構(gòu)造一個(gè)角等于已知角。證法五是同時(shí)構(gòu)造兩個(gè)直角，它們都是通

5、過(guò)兩次相似找到它們的中間比，這也是一種常用的證明手段。方法六：巧用三角形面積公式證明線段成比例分析：根據(jù)同高三角形面積的比等于底的比得到：sacd：sbcd=ad：bd，想到將acd和bcd的面積用兩種不同的方式來(lái)表達(dá)，結(jié)合三角形角平分線定理易得de=df，而等高三角形面積的比又等于底的比得到證法六，證明過(guò)程略。說(shuō)明：本證法利用面積法證明四條線段成比例，事實(shí)上，利用面積還可以解決其他許多的幾何問(wèn)題。通過(guò)此定理的多種證明方法的探討研究，我們?cè)谧C明四條線段成比例思考方法歸納如下：.觀察四條線段是否在兩個(gè)可能相似的三角形中或是能夠運(yùn)用平行線分線段成比例定理，再設(shè)法證相似或平行。.若不屬于中情形，再考慮三條線段是否處于上述位置，設(shè)法用等量代換換成中形式。.如果都不適合，就考慮其中的一組比例式能否轉(zhuǎn)換成另外的中間比，這就是等比代換的方法。.如果有一組角相等，還可以考慮能否通過(guò)作垂直、做等角來(lái)構(gòu)