高考研討會(huì)圓錐曲線的備考總結(jié)與說(shuō)明

1、圓錐曲線的備考總結(jié)與說(shuō)明一近三年來(lái)全國(guó)題的回顧二圓錐曲線中的范圍問(wèn)題ADBCxyO1.判別式構(gòu)造不等式解參數(shù)范圍例1.已知點(diǎn)其中是曲線上的兩點(diǎn)，兩點(diǎn)在軸上的射影分別為點(diǎn),且. （）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求直線的斜率；（）記的面積為，梯形的面積為，求的取值范圍. A1FB1ExyO例2.如圖, 橢圓的離心率是,點(diǎn)在橢圓上,設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)引橢圓的兩條弦、.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與的斜率是互為相反數(shù).直線的斜率是否為定值？若是求出該定值,若不是,說(shuō)明理由；設(shè)、的面積分別為和,求的取值范圍.2.利用圓錐曲線的有界性FWExyO例1.已知橢圓與直線相交于、兩不同點(diǎn)，且直線與圓相

2、切于點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)).（1）證明：；（2）設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. FABxyO3.利用變量間的相互關(guān)系構(gòu)建不等式例1.已知雙曲線上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，且，設(shè)，求雙曲線離心率e的范圍。APBxyO例2. 已知雙曲線C的方程為離心率頂點(diǎn)到漸近線的距離為(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一，二象限.若求AOB面積的取值范圍.F2PxyOF14挖掘題目中存在的隱含條件例1.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為.若雙曲線上存在點(diǎn)使,則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A.B.C.D. F2PxyOF1例2.

3、已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，且兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是( )ABCD【點(diǎn)評(píng)】圓錐曲線常包含一些基本性質(zhì)，如橢圓中，焦點(diǎn)三角形面積的最大值為，雙曲線中（以右支上的點(diǎn)P為例），有些不等關(guān)系隱含較深，如：三角形兩邊之和大于第三邊等一些平面幾何性質(zhì)。三圓錐曲線中的最值問(wèn)題ABxyOFCN1.幾何方法例1.已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)軸正半軸上一點(diǎn)N作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且 =2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C，則四邊形 面積的最小值為( ) （A）3 (B) (C)2 (D) 2.代數(shù)方法A

4、BxyO例1.（2015浙江）已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)算的合理性1_點(diǎn)差法思想，解題過(guò)程中設(shè)置了很多變量，但并不是都要算出來(lái)，而是利用它們之間的整體關(guān)系進(jìn)行消元，即“設(shè)而不求”。運(yùn)算的合理性2 _直線方程兩種設(shè)置方式的選擇運(yùn)算的合理性3_解題中結(jié)合題設(shè)條件選用適當(dāng)?shù)拿娣e表達(dá)式ACBxyODACBxyOD一般地，計(jì)算圓錐曲線內(nèi)接三角形面積時(shí)（如圖）有下列減少運(yùn)算量的技巧.ACBxyOD（1）（2）（3）ACBxyODEB(x,y)yxOCA(u,v)ACBxyODACBxyOF（4）（5）（6）例2.已知點(diǎn)為拋物線的

5、焦點(diǎn).（1）求拋物線C的方程；（2）點(diǎn)是拋物線上三點(diǎn)且，求面積的最大值.四定點(diǎn)定值問(wèn)題解決圓錐曲線定值定點(diǎn)問(wèn)題方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值，再證明定點(diǎn)、定值與變量無(wú)關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值，應(yīng)注意到代數(shù)運(yùn)算是此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.1.整體消元法QPAxyOFBC例1.已知右焦點(diǎn)為的橢圓與直線相交于、兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上不同的三點(diǎn)，并且為的重心，試探究的面積是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.2.恒等式法例1.已知橢圓方程為

6、,過(guò)點(diǎn)分別作斜率為的直線與橢圓交于與,設(shè)分別是線段，的中點(diǎn).BCxyOPAD(1)若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；(2)若，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).AF2BxyOF1例2. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由3特殊到一般從特殊點(diǎn)（直線，斜率）入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無(wú)關(guān)；PAxyOB例1（2015年四川）如圖，橢圓的離心率是，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)。當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓

7、截得的線段長(zhǎng)為。（1）求橢圓的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.五.定線問(wèn)題PQOAxyB例2.設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上問(wèn)題的再探究：PQABl定理 如圖，設(shè)點(diǎn)（圓錐曲線外）關(guān)于圓錐曲線：的極線為，過(guò)點(diǎn)任作一割線交于，交于，則；反之，若有成立，則稱點(diǎn)調(diào)和分割線段，或稱點(diǎn)與關(guān)于曲線調(diào)和共軛，或稱點(diǎn)(或點(diǎn))關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)(或點(diǎn)).點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)是一條直線，這條直線就是點(diǎn)的極線.推論 如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓

8、錐曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)，則有；反之，若有成立，則點(diǎn)與關(guān)于調(diào)和共軛.事實(shí)上，由有.方法2：由條件可有，點(diǎn)調(diào)和分割線段，說(shuō)明點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線調(diào)和共軛，根據(jù)定理2，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，即，化簡(jiǎn)得. 故點(diǎn)總在定直線上.例3.（2013安徽） 設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上.（1）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；PQOF1xyF2（2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸與點(diǎn)，并且，證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線上。六.定點(diǎn)定值定線問(wèn)題中一些常見(jiàn)的結(jié)論結(jié)論1.為原點(diǎn)，設(shè)是拋物線上不同兩點(diǎn)，則的充要條件是直線恒過(guò)定點(diǎn)結(jié)論2.圓錐曲線的焦點(diǎn)弦兩個(gè)焦半徑倒數(shù)之和為常數(shù)（為相應(yīng)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線間的距離，

9、為離心率）ABCOFxyD問(wèn)題探究已知橢圓，為其左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使恒成立，并由此求的最小值.結(jié)論3：圓錐曲線相互垂直的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)倒數(shù)之和為常數(shù).ABCOF1xyF2如圖：為過(guò)焦點(diǎn)的弦，則結(jié)論4：過(guò)圓錐曲線上任意點(diǎn)A作兩焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦即，則說(shuō)明：由于拋物線的開(kāi)放性，焦點(diǎn)只有一個(gè)，故準(zhǔn)線相應(yīng)替換了焦點(diǎn)，BMFOAxy過(guò)拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)M作直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，則問(wèn)題探究Oyx1lF.如圖，已知，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（）過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)（1）已知，求的值；（2）求的最小值A(chǔ)BQONxy結(jié)論5.（

10、1）過(guò)橢圓長(zhǎng)軸上任意一點(diǎn)的一條弦端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所成角被橢圓長(zhǎng)軸平分. （2）過(guò)雙曲線實(shí)軸上任意一點(diǎn)的一條弦端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所成角被實(shí)軸所在直線平分。（3）過(guò)拋物線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)的一條弦AB端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所成角被x軸平分。證明：橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱，故在C上有關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，ABMOP(m,y0)xy若均重合，則一定有，若不重合，由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于橢圓調(diào)和共軛，故為內(nèi)接四邊形對(duì)邊的交點(diǎn)，故必在上，關(guān)于x軸對(duì)稱，故有.結(jié)論6：（1）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為，定點(diǎn)則三點(diǎn)共線。（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為，定點(diǎn)則三點(diǎn)共線。（3）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的兩條

11、切線切點(diǎn)為，定點(diǎn)則三點(diǎn)共線.例.（2008江西理21）如右圖所示，設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，定點(diǎn). （1）過(guò)點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為N，試求的重心G所在的曲線方程；（2）求證：A、M、B三點(diǎn)共線. 七.探索性問(wèn)題例.（2015全國(guó)新課標(biāo)2）已知橢圓直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為 ()證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（）若過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說(shuō)明理由八圓錐曲線基本量的運(yùn)算（2012年全國(guó)新課標(biāo)20題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)。（）若，的面積為，求的值及圓的方程；（）若三點(diǎn)在同一直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐