概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第六章測試題

1、第6章參數(shù)估計(jì)選擇題1.設(shè)X1, X2，Xn是來自正態(tài)總體 x的簡單隨機(jī)樣本，x的分布函數(shù)f(x；。)中含未知參數(shù)，則(A)用矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法求出的0的估計(jì)量相同(B)用矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法求出的0的估計(jì)量不同(C)用矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法求出的0的估計(jì)量不一定相同(D)用最大似然估計(jì)法求出的0的估計(jì)量是唯一的2.設(shè)X1,X2，Xn是來自正態(tài)總體 X的簡單隨機(jī)樣本，EX/，DX=b 2,其中小d 2均為未知參數(shù)，？1 X , ?2 X1 ,下面結(jié)論哪個是錯誤的。(A) ?1X是科的無偏估計(jì)(B)(C) ?iX 比?2Xi 有效(D)3.設(shè)Xi,X2，,Xn是來自正態(tài)分布總體則總體

2、方差b 2的最大似然估計(jì)量是n(A) ，(Xi X)2(B)n 1 i ii 1n2(C) 一 (Xi)2(D)n 1 i 1?2 X1是科的無偏估計(jì)1 n22, 口 ，小八- (Xi)2是° 2的最大似然估計(jì)量n i 1N( w ,。2)的簡單隨機(jī)樣本，其中數(shù)學(xué)期望科已知,1 n - 2(Xi X)2n i 11 n一(Xin i 14.已知總體X在區(qū)間0,0 上均勻分布，其中0是未知參數(shù)，設(shè)X1,X2，,Xn是來自X的簡單隨機(jī)樣本，X是樣本均值，X(n) maxX1,，Xn是最大觀測值，則下列選項(xiàng)錯誤的是(A) X (n)是。的最大似然估計(jì)量(B)X(n)是。的無偏估計(jì)量(C)

3、2X是。的矩估計(jì)量(D)2X是。的無偏估計(jì)量5 .設(shè)總體XN(呼，b2),總體YNg b2), X1,X2，,Xm和Y1",Yn分別是來自總體 X和y的簡單隨機(jī)樣本，樣本方差分別為sX與S；,則2的無偏估計(jì)量是(A) sXSY2(B)(m 1)SX (n 1)S2(C)m n 2(D)(m 1)SX2(n 1)SY26 .設(shè)又是從總體X中取出的簡單隨機(jī)樣本X1,X2，,Xn的樣本均值，則 X是科的矩估計(jì),如果(A) XN(w , J)(B) X服從參數(shù)為科的指數(shù)分布(C) P (X=m =(1- w)m-1, m=1,2,(D) X 服從0,科上的均勻分布填空題1 .假設(shè)總體X服從參

4、數(shù)為入的泊松分布，X1,X2，,Xn是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本，其均值、方差分別為 X , S2 ,如果？ aX (2 3a)S2為入的無偏估計(jì)，則 a=。彳與？2不相關(guān)，D?4D?2,如果3 a 1 b $也是。的無偏估計(jì)，且是1、?2所有同類型線性組合無偏估計(jì)中有最小方差2 .已知？、 ?2為未知參數(shù)0的兩個無偏估計(jì)，且的，貝U a= , b=。3 .設(shè)總體X的概率密度為f(x) (1 x) 1, 0 x 1,則°的矩估計(jì)量為0, 其它，4 .設(shè)X1,X2，,Xn是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本，且 EX題，DX=J,其均值、方差分別為X , S2,則當(dāng)c= 時，(X)2 cS2是J的

5、無偏估計(jì)。 n5 .設(shè)X1,X2，,Xn是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本，且 EX題，DX=b 2, a Xi2 b(X)2的 i 1數(shù)學(xué)期望等于0 2,則a= , b=。解答題1 .設(shè)總體X的概率密度為f(x) (1)x , 0 x 1,其中0 >-1是未知參數(shù) X1,X2，,Xn0, 其它，是來自總體X的一個容量為n的簡單隨機(jī)樣本，分別用矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法求。的估 計(jì)量。2e 2(x) x匕2.設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為 f (x)2e, x ,其中。>0是未知參數(shù),0, 其它，x1,x 2，,x n是來自總體X的一組樣本觀測值，求0的最大似然估計(jì)量。3.設(shè)總體X的概率

6、分布為X0123P022 0 (1- 0 )2 01-2 0其中。（0。1/2）是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值：3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3,求0的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。4 .設(shè)某種元件的壽命 X （單位：小時）服從雙參數(shù)的指數(shù)分布，其概率密度為1f（X； , ）e , x ,其中。，科（0）為未知參數(shù)。0, 其它，自一批這種器件中隨取 n件進(jìn)行壽命試驗(yàn)，設(shè)它們的失效時間分別為X1,X2,.,Xn,求0,科的最大似然估計(jì)量。（X ）5 .設(shè)總體X的概率密度為f （x； ） e , x , 。為未知參數(shù)，X1,X2，Xn為取自（ ； ）0,1, 2,， nX的一個樣本，證

7、明：？ X 1 , ?2minXi,.,Xn 1是。的兩個無偏估計(jì)量，并比n較哪個更有效。6X,6 .設(shè)總體X的概率留度為f（ x； ）3 （x）, 0 x ，°為未知參數(shù)，0, 其它，Xi,X2,., Xn為取自X的一個樣本，（1）求。的矩估計(jì)量 ？；（2）求？的方差D ?； （3）討論？的無偏性。7 .某人作獨(dú)立重復(fù)射擊，每次擊中目標(biāo)的概率為 p,他在第X次射擊時，首次擊中目標(biāo)。（1）試寫出X的分布律；（2）以此X為總體，從中抽取簡單隨機(jī)樣本X1,X2，,Xn,試求未知參數(shù) p的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量。8 .設(shè)從均值為科，方差為b 2的總體中分別抽取容量為n1, n2的兩個獨(dú)立

8、樣本，樣本均值分別為X和Y。試證：對于任意滿足條件a+b=1的常數(shù)a和b, T aX bY是科的無偏估計(jì)量，并確定a, b,使得方差DT達(dá)到最小。選擇題參考答案1. C 2.D 3.C 4. B 5.D 6. A填空題1.1/2 2 . ,3解答題1/X 1 4 . 1/n 5 . 1/(n-1) , -n/(n-1)11.解：(1) EX Qx( 1)x dx,所以令EXX,解得Q的矩估計(jì)量2X 11 X(2)似然函數(shù)為nnL( )f(Xi； ) (1)n(Xi)i 1i 1其對數(shù)似然函數(shù)為nln L( ) f(xi； ) n ln(i 1n1) ln( Xi),i 1考慮d ln L( )

9、dnln1Xinn,ln xi 1于是9的最大似然估計(jì)量為nnln Xii 12 解：似然函數(shù)為nL( )f(Xi;)i 1n2( Xi n )2ne i1, Xi , i 1,n0,其它，n2 Xi 2nL( )2ne i10,min(x1，,xn) 其它，由上面形式可得minx,Xn時，似然函數(shù)達(dá)到最大值，于是。的最大似然估計(jì)量為? minX1，,Xn。3.解：(1) EX3 4 ，所以令EXX 2,解得。的矩估計(jì)值？ - -4(2)似然函數(shù)為 L( )22 (1)2 2(1 2 )4 4 6(1)2(1 2 )4,其對數(shù)似然函數(shù)為ln L( ) ln 4 6ln 2ln(1) 4ln(1

10、 2 ),id ln L( ) 628? 1考慮-0,解得? (7 M13)。d11 2124.解：似然函數(shù)為n X n n1 JJL( , )f (xi ； , ) ne , Xi, i 1,ni 10,其它，其對數(shù)似然函數(shù)為ln L(,)n In1 n n_ Xi 一 i 10,min x1，xn其它,由上面形式可得 ？ min治，,Xn時，lnL達(dá)到最大值。同時，考慮 1nL( , )n 1 nn 、 X n 0,解得？ X ?；i 1于是九 科的最大似然估計(jì)量為5.證明：EX xe (x )dxmin X1,Xn ; ? X minX1,.,Xn。1 , EX2x 2e (x )dx2

11、22, DX=1,于是E ? EX 11 1 ，即？ X 1為。的無偏估計(jì)量;令 X(i) minX”.，Xn,則 X(i)的概率密度為f(1)(x)nen(x0,x ,其它,從而 EX xne n(x )dx1o1,所以 ：minX1,.,Xn也為。的無偏估計(jì)nn量;又D? DX - , D ?2DX(i) EX(2) (EX(i)2 2 ,當(dāng) n>1 時nn1?2 minX1,.,Xn比？ X 1 更有效。 n2X ； 6x16.解：(1) EX0 x (x)dx -，所以令EX X,解得。的矩估計(jì)量(2) EX2x2 6(x)dx 2 dx EX2 (EX)2 1 2，故031020D ? 4DX 2 ； 5n(3)由于E? 2EX ,即 ？為。的無偏估計(jì)量。7 .解：(1) X的分布律為：P(X=x)=p(1-p) ; x=1,2,1(2)p的矩估計(jì)量：EX=1/p,令EX X ,解得？=；Xp的最大似然估計(jì)量：L( p)