高考數(shù)學(xué)離心率專題

1、高考數(shù)學(xué)離心率離心率歷年來是圓錐曲線客觀題的考查重點，對于求圓錐曲線離心率的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍，屬于中低檔次的題型，對大多數(shù)學(xué)生來說是沒什么難度的。一般來說，求橢圓或雙曲線的離心率，只需要由條件得到一個關(guān)于根本量a，b, c, e的一個方程，就可以從中求出離心率.但如果選擇方法不恰當(dāng)，那么極可能“小題大作，誤入歧途。許多學(xué)生認(rèn)為用一些所謂的“高級 結(jié)論可以使結(jié)果馬上水落石出，一針見血，其實不然，對于這類題，用最淳樸的定義來解題是最好的，此時無招勝 有招！【例1】05全國川設(shè)橢圓的兩個焦點分別為 尺、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓

2、于點P,假設(shè)F1PF2為等腰直角三角形，那么橢圓的離心率是A. B.C. 2-近 D. 75-12 2解法一大多數(shù)學(xué)生的解法解：由于 F1PF2為等腰直角三角形，故有F1F2 PF2,而 F-i F2 2c,PF2b2b2所以2c 一，整理得2acab2等式兩邊同時除以a，得 2e 12e解得2 J8e 212，舍去e因此e 12，選D解法二采用離心率的 解：如右圖所示，有定義以及橢圓的定義求解離心率的定義cea2c橢圓的定義2c2aIPF1I IPF2I2c12 112 2c2c2應(yīng)選D以上兩種方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，靈活運用了“通徑這個二級結(jié)論，使題目迎刃而解, 但計算量偏

3、大，耗時較長；而解法二那么是老手，整個過程沒有任何高級結(jié)論，只運用了最最最簡單的、人人皆知的“定義，通過幾個簡單的步驟即可。正所謂此時無法勝有法！一、用定義求離心率問題1.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為 Fi、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點卩，假設(shè)厶FiP巨為等腰直角三角形，那么橢圓的離心率是DA 2 B2 1 C 22 D2 12 22 .Fi、F2是橢圓的兩個焦點，過 Fi且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，假設(shè) ABF2是正三角形，那么這個橢圓的離心率是AA.33B.23C.22D.323.在厶ABC中,ABBC , cosB18 .假設(shè)以A，B為焦點的橢圓經(jīng)過點C,那么該橢圓的離

4、心率4、正方形ABCD,A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為解析：設(shè)c=1,c2 2a a5、長方形ABCD,AB= 4,BC= 3，那么以 A、B為焦點，且過 C、D兩點的橢圓的離心率為解析：由C=2,b22 2b 3a ac4 3a a 4, ea2x6 .過橢圓2a2 y b21(a0 的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點F2為右焦點，假設(shè) F1PF260°，那么橢圓的離心率為2A.2B.1C. 一27.F1、F2是雙曲線2x2a2yb21(a0,b0的兩焦點,以線段F1F2為邊作正三角形 MF1F2,假設(shè)邊MF1的中點在雙曲線上，那么雙曲線的離心率是A. 42 3B.3

5、3 1C.2D.28.雙曲線2a的左、右焦點分別是F1,F2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于點，假設(shè)MF2垂直于x軸,那么雙曲線的離心率為A.6B.3C.D.339、設(shè) F1,2xF2分別是雙曲線2a2 y b21的左、右焦點，假設(shè)雙曲線上存在點A,使/ F1AF2=90o,且 |AF1|=3|AF2|，貝雙曲線離心率為(A)25(B)亍JT5(C) 丁(D)52x 解.設(shè)F1, F2分別是雙曲線2ab21的左、右焦點。假設(shè)雙曲線上存在點A,使/ F1AF2=90o,且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=1 , |AF1|=3，雙曲線中 2a| AFi | | AF2

6、 | 2 ,2c| AF1 |2 |AF2 |210 ,離心率 e 10，選 Bo210、如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線22x y“卄人221(a 0,b0)的兩個a b為圓心，以O(shè)F*為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,那么雙曲線的離心率為IO7焦點，A和B是以O(shè)f2ab是等邊三角形,(A)3(B)5(C) 2(D) 13解析：如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線2x2a2 y b21(a 0,b 0)的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以 OF為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,f2ab是等邊三角形,|AF1|=c, |AF2|=3c,. 2a11.設(shè)圓錐曲線r的兩個焦點分別為F1,F2,假設(shè)曲線r上存

7、在點PR : F1F2 : PF2 =4:3:2，那么曲線r的離心率等于AA.1 或-2 22B. 或23二、列方程求離心率問題21方程 2x 5x 2A. 橢圓和一雙曲線的離心率C. 一橢圓和一拋物線的離心率0的兩個根可分別作為B.D.解：方程2x2 5x 20的兩個根分別為 2,( )兩拋物線的離心率 兩橢圓的離心率1，應(yīng)選A22、橢圓的長軸長是短軸長的2倍，那么橢圓的離心率等于(1A.3B.一3C.12D.2解.橢圓的長軸長是短軸長的連接 AFi,/ AF2Fi=30 °1)c,雙曲線的離心率為P滿13，選 Do2 32D.或32倍， a 2b，橢圓的離心率c 3 ，選 Doa

8、 23、設(shè)直線L過雙曲線C的一個焦點，且與 C的一條對稱軸垂直，L與C交于A, B兩點, 那么C的離心率為B(A)2(B)3(C) 2(D) 3AB為C的實軸長的2倍,x2 y2_4.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓2+【2= 1(a> b>0)的焦距為2c,以O(shè)為圓心，a為半a b徑的圓，過點(號,0)作圓的兩切線互相垂直，那么離心率e=2x5 .雙曲線 2a2 y b21(a0,b0)的一條漸近線方程為4y= 3x，那么雙曲線的離心率為5(A)34(B)35(c)4(D)|b 4解析:雙曲線焦點在x軸，由漸近線方程可得 b -可得e a 332 4235應(yīng)選A6、在平面直角坐標(biāo)系 為(

9、)xOy中，雙曲線中心在原點,焦點在y軸上，一條漸近線方程為 x 2y 0，那么它的離心率A.B.52C.D. 2解析：由2a c a2 b2 5ac 一、.5 選 Aa2x7.雙曲線 2a21 (a> . 2)的兩條漸近線的夾角為ny，那么雙曲線的離心率為B. 3C. 33D. 32x解：雙曲線x2atan 6n21(a>2)的兩條漸近線的夾角為 n，那么一3a3 , a2=6，雙曲線的離心率為 號 ,33選D.8.雙曲線2x2a2b-1(a> 0,b> 0)的一條漸近線為y=kx(k> 0),離心率e= 5k ,那么雙曲線方程為2(A) x2a24：2=1(B

10、)2x2a2x(D) 5b25b9設(shè)雙曲線2x2ab221 (a> 0,b > 0)的漸近線與拋物線 y=x +1相切，那么該雙曲線的離心率等于()(A)3(B) 2(C)5(D)6解：設(shè)切點P(x),y0)，那么切線的斜率為y|xx02x°.由題意有y02x。又y。x。21X。解得：x021, b 2,eab 2 廠1 ( )5.【命題立意】：此題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念，以及a直線與拋物線的位置關(guān)系，只有一個公共點，那么解方程組有唯一解.此題較好地考查了根本概念根本方法和根本技能10、設(shè)雙曲線的一個焦點為 F，虛軸的一個端點為 B,如果直線FB與該雙曲

11、線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為(A)2(C)3 12(D)解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點在 x軸上，設(shè)其方程為:那么一個焦點為F(c,0), B(0,b) 一條漸近線 斜率為:2 x_2abab2 ac2 2a ac, e11 .如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，A|, A2, B1,B2為橢圓2 x2a直線A1B2與直線BiF相交于點T,線段0T與橢圓的交點 M點，那么該橢圓的離心率為【解析】 考查橢圓的根本性質(zhì),如頂點、焦點坐標(biāo)，離心率的線的方程。x直線A1B2的方程為：一a直線3F的方程為：者聯(lián)立解得：2ac b(a c)-, )，T(a c a c那么 M( ac b(a

12、c) ac' 2(a c)在橢圓2 x2 a2&1(a b 0)上，2b 1(a °,b 0)，直線FB的斜率為：bb()1 , acF為其右焦點,為線段0T的中2c(a c)2(a c)2c)24(a1,c210ac 3a20,e2 10e解得：e12橢圓C:2 x2 a2b-1(a>b>0)的離心率為3uuu點，假設(shè)AFuuu3FB。(A) 1(B)2(D)【解析】A(x1, yj, B(x2, y2)UULT - AFuur3FBx2 4y24t 0，直線AB方程為xsyy1y2t2s2 4“s2 42 3stjSj廠A,/f丿4計算等。以及直2；2

13、1(a b 0)的四個頂點,，過右焦點y3y2F且斜率為k (k>0)的直線于C相交于A、B兩2，設(shè)a 2t, c3t 。代入消去x ,(s24)y22 3sty t202 y2蘭，3y；s 4t2s22 1 s 4，解得 2 , k13F是橢圓C的一個焦點,B是短軸的一個端點,uuUlT線段 BF的延長線交C于點D，且BF 2FD，那么C的離心率為2答案：23【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、 義、平面向量知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想第二,此題解析幾何的特點：“數(shù)研究形，形助數(shù)，利用幾何性質(zhì)可尋 簡化問題的捷徑.疋 凸顯 求到【解析】如圖，| BF |b2 c2作D

14、D1uuy軸于點D1,那么由BFuir2FD，得x|OF |IDDiI|BF |BD|-，所以|DD133|OF | 3c,2 2即Xd30，由橢圓的第二定義得2|FD |a2 3ceu3c22a又由|BF |2|FD|,得 c2a3c ,整理得3c2 2a2aac0.兩邊都除以2 2a，得 3e20，解得1舍去,214 .過雙曲線 M：X2yb21的左頂點作斜率為1的直線l ,假設(shè)l與雙曲線 M的兩條漸近線分別相交于BC,且|AB|=|BC|,那么雙曲線M的離心率是A. 10B.C.103D.解析：過雙曲線M : x22 y b21的左頂點A1, 0作斜率為1的直線I : y=x 1,假設(shè)I

15、與雙曲線 M的兩條漸近線2 y b20分別相交于點2 2BX yjCgy), 聯(lián)立方程組代入消元得(b 1)x 2x 10 ,.X1X2X22rv x o,X1+X2=2X1X2,11 b2又| AB | | BC |,那么B為AC中點，2X1=1+X2，代入解得14，二b2=9,雙曲線M12e= c 10 ,選 A.ax215 .過雙曲線一2a的離心率石1a0,b 0的右頂點A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別uuu i umr為B,C 假設(shè)AB BC，那么雙曲線的離心率是2A.2B.3C.5D.10答案：C【解析】對于Aa,0，那么直線方程為x y0 ,直線與兩漸近線的

16、交點為B，C，a2 ab i b, a b,C(abb，那么有UJUBC2a2b(a2 b2,2a2ba2 b2uurr),ABab aba buju uju，因 2AB BC,2 24a b ,16.雙曲線2 2x yC： 221a2 b20,b0的右焦點為且斜率為3 的直線交C于A B兩點，假設(shè)AF4FB，那么C的離心率為B.5c.89D.5解：設(shè)雙曲線2 y b21的右準(zhǔn)線為l ,過A、B分M , BNBDAM于D,由直線AB的斜率為 3,60BAD60AD| 2| AB|,由雙曲線的第二定義| AM |BN|1 uuu |AD| (| AF| euurr|FB |)12IAB|別作有知

17、直線AB的傾斜角為12(|AF| |FB|).AM l又Q AF一 1 JJJ4FB 3|FB |e5 uuu2|FB|應(yīng)選A般來說，求橢圓或雙曲線的離心率的取值范圍，通?？梢詮膬蓚€方面來研究：一是考慮幾何的大小，例如線段的長度、角的大小等；二是通過設(shè)橢圓或雙曲線點的坐標(biāo)，利用橢圓或雙曲線本身的范圍，列出不 等式.離心率是描述圓錐曲線性質(zhì)的一個關(guān)鍵量，它是一個比值，它與圓錐曲線的大小無關(guān)， 只與其形狀有關(guān).在橢圓中，離心率越大，橢圓越扁 小，橢圓越圓，橢圓離心率的取1;在雙曲線中，離心率越大， 狀從扁狹逐漸變得開闊，即雙曲 漸增大，雙曲線離心率的取值范g;在拋物線中，離心率e = 1.y|B1

18、橢圓x2=1(a > b > 0)的焦巨,假設(shè)該橢圓上存在一點P,使60 °，那么橢圓離心率的取值范 是.平，離心率越 值范圍e 0, 雙曲線的形 線的張口逐 圍 e 1 , +點分別為F1,得 / F1PD = 圍B2分析：如果我們考慮幾何的大小，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)而有Ov/ Fip巨w/ Fi B1F2.根據(jù)條件可得/證明，在 F1PF2中，由余弦定理得,COSF1PF2|PFi2 1|pf2FiF222PFilIPF2PFiPF2F1F2a2 2c2PFiPF2a22當(dāng)且僅當(dāng)PFi= P巨時，等號成立，即當(dāng)如果通過設(shè)橢圓上的點 Px, 法可以做，但比擬復(fù)雜關(guān)鍵是點M與橢圓的

19、短軸的頂點 Bi 或B2時/ F1MF2最大.y,禾U用橢圓本身的范圍，也可以求出離心率e的范圍.在此題中，運用此P的坐標(biāo)不易表示因此，在解題過程中要注意方法的選擇.M為橢圓的短軸的頂點 Bi 或B2時/ F1PF2最大需要證明，從Fi BiF2>60°,易得；故 2ev 1.、離心率范圍問題1.橢圓a2 +2b2=1a> b> 0的焦點分別為Fi, F2,假設(shè)該橢圓上存在一點P,使得/ FiPF21=60。，那么橢圓離心率的取值范圍是.,122 .雙曲線2 2x y221(a 0,b 0)的左、右焦點分別為a bFi c,0, F2c,0，假設(shè)雙曲線上存在一點si

20、n PF1F2a，那么該雙曲線的離心率的取值范圍是 sin PF2F1c答案：1,21uuuurMF20的點M總在橢圓內(nèi)部,那么橢圓離心率的取值范uuuu3.Fi、F2是橢圓的兩個焦點，滿足 MFi圍是A.(0,1).0弓 C .0，¥D - 22j)4、橢圓2xa2 b2yr 1(ab 0)的焦點為Fi, F2,兩條準(zhǔn)線與x軸的交點分別為 M,N，假設(shè) MNw IF1F2 ,那么該橢圓離心率的取值范圍是B.0, 222x解析：橢圓 2a2 y b21(a2ab 0)的焦點為F1, F2，兩條準(zhǔn)線與x軸的交點分別為 M , N，假設(shè)| MN | 2一 ,c1旺| 2c,，那么2M2c

21、,該橢圓離心率e> 2，取值范圍是2，選°5.設(shè) a 1 ,那么雙曲線2x2a(a 1)21的離心率e的取值范圍是()BA.(血,2)B. ( 2, 5)C.(2,5)D. (2, 5)2 2xy6.雙曲線2-2ab那么此雙曲線的離心率4A.31,(a0,b0)的左，右焦點分別為F1, F2，點 P在雙曲線的右支上，且|PFi| 4 1 PF2 1 ,7.雙曲線2x2a2 y b2離心率的取值范圍為A.(1,3)2x8雙曲線2a2 y b2e的最大值為:5B.3(a>0,b >0)B. 1,3C. 27D.3的兩個焦點為F1、C.(3,+1(a>0,b<

22、0)的右焦點為F,假設(shè)過點交點，那么此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2)B. (1,2)C.2,+s F2,假設(shè)P為其上一點，且| PF|=2| PF2|,那么雙曲線D. 3,F且傾斜角為60。的直線與雙曲線的右支有且只有一個D.(2,+s)2x解析：雙曲線2a2占1(a 0,b 0)的右焦點為F, b假設(shè)過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有2 2a b ,一2一 > 4 , e a_ 2個交點，那么該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率 b >3，離心率 e2= c2aa7.點m在橢圓36+魯1 上, MP垂直于橢圓焦點所在的直線，垂足為P，并且M為線段PP的中點，求P點的 軌跡方程.中點弦2 2B X 12