圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

1、圓心 弧 弦 弦心距之間的關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)歸納1. 圓不但是軸對(duì)稱圖形，而且也是中心對(duì)稱圖形，實(shí)際上圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來(lái)的圖形重合。2. 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。從圓心到弦的距離叫做弦心距。3. 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。4. 推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。注意：要正確理解和使用圓心角定理及推論。（1）不能忽略“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件，若沒(méi)有這一條件雖然圓心角相等，一般地，n的圓心角對(duì)著n的弧，n的弧對(duì)著n的圓心角，也

2、就是說(shuō)，圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。注意：這里說(shuō)的相等是指角的度數(shù)與弧的度數(shù)相等。而不是角與弧相等，在書寫時(shí)要防止出現(xiàn)“AOB=AB”之類的錯(cuò)誤。因?yàn)榻桥c弧是兩個(gè)不能比較變量的概念。相等的弧一定是相同度數(shù)的弧，但相同度數(shù)的弧卻不一定是相等的弧。6. 圓中弧、圓心角、弦、弦心距的不等關(guān)系（1）在同圓或等圓中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距較小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距較小時(shí)，則弦較大。當(dāng)弦為圓中的最大弦（直徑）時(shí)，弦心距縮小為零；當(dāng)弦逐步縮小時(shí)，趨近于零時(shí)，弦心距逐步增大，趨近于半徑。（2）在同圓或等圓中，如果弧不等，那么弧所對(duì)的弦、圓心角也不等，且大弧所對(duì)的圓心角較

3、大，反之也成立。注意：不能認(rèn)為大弧所對(duì)的弦也較大，只有當(dāng)弧是劣弧時(shí)，這一命題才能成立，半圓對(duì)的弦最大，當(dāng)弧為優(yōu)弧時(shí)，弧越大，對(duì)的弦越短。7. 輔助線方法小結(jié)：（1）有弦的中點(diǎn)時(shí)，常連弦心距，進(jìn)而可利用垂徑定理或圓心角、弦、弧、弦心距關(guān)系定理；另外，證明兩弦相等也常作弦心距。（2）在計(jì)算弧的度數(shù)時(shí)，或有等弧的條件時(shí)，或證等弧時(shí)，常作弧所對(duì)的圓心角。（3）有弧的中點(diǎn)或證弧的中點(diǎn)時(shí)，常有以下幾種引輔助線的方法：（I）連過(guò)弧中點(diǎn)的半徑；（II）連等弧對(duì)的弦；（III）作等弧所對(duì)的圓心角。 ABCD 弦AB、DC 若PO平分APC 弦AB、CD交于P點(diǎn)（OP=OPPOMPON(AAS)PM=PNAM=1

4、1AB，CN=CD，AB=CD 22AM=CN （2）把2CD作出來(lái)，變成一段弧，然后比較2CD與AB的大小。解法一： 11 過(guò)O點(diǎn)作OFAB于E，則AF=FB=AB，AE=EB=AB 221 AB=2CD，AE=CD=AB 2 AF=FB，AF=FB（等弧對(duì)等弦）在AFB中，AF+FBAB，2AFABCOFDOEOE=OF1OE，DEO=30 230=60 EOD=90- EC的度數(shù)是60 OE=OC，OD=EOA=DEO=30 AE的度數(shù)是30為等邊三角形 AOEAE=AO=a又 EAO=CBA=60，AE/BCAMEBMCAMAEa1= BMBC2a2AM1= AB3BN1= 同理，AB

5、321 MN=AB-AB=AB 33 AM=MN=NB解析二：連結(jié)OE，易知OE/AC，也可求得AM，進(jìn)而可求得AM與半徑的比。 MO證法二：如圖，連結(jié)OE，設(shè)AC2a，則ACAB2OE2aCAM=AOE=60，AC/OEOMOEa1= AMAC2a2OM+AM3AM2=，即= AM2OA3AM1= 故AB3 BN1 = AB3AM=MN=NB解析三：要證AMMNNB，即證AM：MO2：1，故聯(lián)想到三角形的重心性質(zhì)，若能證明M是ACG的重心，問(wèn)題得證。（三角形的重心即為三角形三條中線的交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于交點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍）AOCG，CABGAO60，AOAOAOCAOGOCOG，且AG

6、AC2aAEa，AEEGa即E為AG中點(diǎn)，O為CG中點(diǎn)M為ACG的重心221AO=a=AB 3331 同理，NB=AB 3 AM=AM=MN=NB【模擬試題】一. 選擇題。1. 在O與O中，若AOB=AOB中，則有（ ） A. AB=AB C. ABAB D. AB與AB的大小無(wú)法比較2. 半徑為4cm，120的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為（ ）A. 5cm B. 4cm C. 6cm D. 3cm3. 在同圓或等圓中，如果圓心角BOA等于另一個(gè)圓心角COD的2倍，則下列式子中能成立的是（ ）A. AB=2CD C. AB2CD D. AB=2CD4. 在O中，圓心角AOB90，點(diǎn)O到弦AB的距離為4，

7、則O的直徑的長(zhǎng)為（ ）A. 42 B. 82 C. 24 D. 165. 在O中，兩弦ABCD，OM、ON分別為這兩條弦的弦心距，則OM、ON的關(guān)系是（ ）A. OMONC. OMON B. OM=ON D. 無(wú)法確定6. DAC二. 1. 2. 3. 4. 弦CD的弦心距OF_cm，弦CD的長(zhǎng)為_(kāi)cm。5. 已知O的半徑為5cm，過(guò)O內(nèi)一已知點(diǎn)P的最短的弦長(zhǎng)為8cm，則OP_。 6. 已知A、B、C為O上三點(diǎn)，若AB、BC、CA度數(shù)之比為1：2：3，則AOB_，BOC_，COA_。 1 7. 已知O中，直徑為10cm，AB是O的，則弦AB_，AB的弦心距4_?！驹囶}答案】一. 選擇題。1. D 2. B二. 填空題。1. 905. 3cm 3. D 4. B 3.