費馬原理與胡不歸問題

1、費馬原理與胡不歸問題費馬原理與“胡不歸”問題費馬(Fermat ,1601 1665)是法國的數(shù)學家，生于法國南部波蒙鎮(zhèn)，以律師為 職業(yè)，長期任圖盧茲議會議員.他自幼謙虛好靜，喜歡博覽群書，不僅精于數(shù)國語 言與文學，而且十分愛好自然科學，其中特別是數(shù)學，著作有平面及空間位置理 論導(dǎo)言求最大和最小值的方法等在物理學上，費馬在研究了光的反射現(xiàn)象與折射現(xiàn)象后，推廣了亞歷山大的海 洛(Hero)原理，即在公元100年左右海洛證明的：從A點發(fā)出的光經(jīng)鏡面反射到另 一點B時，光所走的路徑是AB兩點間最短的路徑.費馬在推廣海洛的結(jié)論時，把 光的折射現(xiàn)象也包括進去，于1650年提出了光傳播時的最小時間原理，即

2、光從 A 點到達B點，光束所走的路徑是費時最少的路徑他把光的直進、反射、折射定律 等幾何光學定律，概括成一個統(tǒng)一的原理費馬原理現(xiàn)在的表述是：光線由一點傳播 到另一點，其間無論受到多少次反射或折射，光均沿著光程為極值的路徑傳播費馬原理所提供的尋找光束路徑的基本方法，為解決在當時已經(jīng)流傳千年的“胡不歸”問題開辟了蹊徑，在今天許多高中學生在學完了折射定律之后，都渴望 知道，耐人尋味的“胡不歸”問題它是怎樣被解決的 .古老的“胡不歸”傳說，說的是：從前有一個身在A地當學徒的小伙子，當他 得悉在家鄉(xiāng)B地的年老父親病危的消息后，便立即向掌柜告了假借了些錢啟程趕 路，由于思念心切，他挑選了全是沙礫地帶的直線

3、路徑AB(如圖1所示)，他認為走近路必定最省時，因此，他放棄了沿驛道 AC先走一程的想法.當他氣喘吁吁地來 到父親跟前時，老人剛剛咽了氣，小伙子不覺失聲痛哭 鄰舍聞聲前來勸慰，有人 告訴小伙子，老人在彌留之際，還不斷喃喃地叨念“胡不歸 ，胡不歸”.并且深 為憐惜地問道：“你為什么不向掌柜借用一下馬車，沿驛道先走一程呢 ，”由上述古老的傳說，引起人們的思索，若小伙子要提前抵達家門，這是否有可能呢，倘若有可能，則又應(yīng)該選擇一條什么樣的路線呢，這就是曾經(jīng)風靡千年的“胡 不歸”問題.費馬在解決“胡不歸”問題時，把小伙子看作光粒子，光粒子就是其物理模型，然而，根據(jù)光的折射定律建立其數(shù)學模型，非常巧妙地解

4、決了“胡不歸”問題下面，筆者就上述“胡不歸”問題，運用光的折射定律作一簡單的解答我們設(shè)想從A點發(fā)出的一束光（代替小伙子）先與兩媒質(zhì)（驛道跟沙礫地帶）界面AC（即驛道）成一很小的角度入射到D點，此時光速為v1，然后折射入第二種媒質(zhì)（沙礫地帶）到達B點，此過程中光速為v2,假定此光束沿ADB路線傳播是符合折 射定律的路徑，過入射示，根據(jù)折射定律有光束由A?D D?B總共所需時間為又若此束光從A點發(fā)出，沿AB直線，以速率v2傳播（即小伙子所走的實際路 線），其所需時間為:為了比較t1與t2，先過A點作DB的平行線AL,再過D B兩點作AL的垂線，分別交于D點和B'點，如圖3所示.顯然在三角形?ADD中，？ADD =r，?DD A=a，由正弦定律可得：由(1)(4)兩式可得：再將上式代入(2)式消去v1，并注意到DB=D B'，則