數(shù)列不等式的證明

1、數(shù)列不等式的證明摘   要數(shù)列不等式的證明是學(xué)生解題的一大難點.放縮法和數(shù)列單調(diào)性法是破解這類問題最常用的方法.關(guān)鍵詞數(shù)列;不等式;證明中圖分類號    G633.6        文獻(xiàn)標(biāo)識碼    A        文章編號    1674-6058202135-0020-02數(shù)列不等式

2、的證明，在數(shù)列與不等式綜合性問題中最為常見.放縮法和數(shù)列單調(diào)性法是破解這類問題最常用的方法.一、先求和后放縮利用數(shù)列求和的根本方法，對數(shù)列求和，再聯(lián)系所證結(jié)論進(jìn)行合理放縮.例1正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：S2n-n2+n-1Sn-n2+n= 0.1求數(shù)列an的通項公式an;2令bn=n+1n+22a2n，數(shù)列bn的前n項和為Tn.證明：對于任意的nN*，都有Tn解析：1由S2n-n2+n-1Sn-n2+n=0，得Sn-n2+nSn+1=0.由于an是正項數(shù)列，所以Sn>0，Sn=n2+n.于是a1=S1=2.當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=n2+n- n-12+n

3、-1 =2n.綜上，數(shù)列an的通項公式為an=2n.2因為an=2n，所以bn=n+1n+22a2n=n+14n2n+22= 1161n2-1n+22 .Tn=1161-132+122-142+132-152+1n2-1n+22=1161+122-1n+12-1n+22 二、先放縮再求和對于某些數(shù)列，直接求和比較困難，可將其適當(dāng)放縮成可用根本方法求和的數(shù)列.1.放縮后成等差數(shù)列再求和例2各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，且a2n+an=2aSn .1 求證：Sn解析：1在條件中，令n=1，得a21+a1=2S1=2a1.a1&g

4、t;0，a1=1 .又由條件a2n+an=2Sn有a2n+1+an+1=2Sn+1，上述兩式相減，注意到an+1=Sn+1-Sn得an+1+an an+1-an-1=0 .an>0，an+1+an>0 ，an+1-an=1.所以an=1+1×n-1=n，Sn=nn+12 ， Sn=nn+122因為nS1+S2+S3+？+Sn>12+22+？+n2=nn+122=Sn2 .于是原不等式得證.2.放縮后成等比數(shù)列再求和例3an=2n-1nN*.求證：n2-13證明：akak+1=2k-12k+1-1=

5、12-122k+1-1=12- 13·2k+2k-212-13·12k，k=1，2，n，a1a2+a2a3+anan+1n2-1312+122+12n=n2-131-12n>n2-13，n2-133.放縮后為裂項相消再求和例4設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn滿足 S2n-n2+n-3Sn-3n2+n=0，nN*.1求a1 的值;2求數(shù)列an的通項公式;3證明：對一切正整數(shù)n，有1a1a1+1+1a2a2+1+ +1anan+1分析：1由題意知，S2n-n2+n-3Sn-3n2+n=0，nN*.令n=1，有S21-

6、12+1-3S1-3×12+1=0，可得S21+S1-6=0，解得S1=-3或2，即a1=-3或2.又an為正數(shù)，所以a1=2.2由S2n-n2+n-3Sn-3n2+n=0，nN*可得，Sn+3Sn-n2-n=0，那么Sn=n2+n或Sn=-3.又?jǐn)?shù)列an的各項均為正數(shù)，所以Sn=n2+n，Sn-1=n-12+n-1.當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-n-12+n-1=2n.又a1=2=2×1，所以an=2n.3證明：當(dāng)n=1時，1a1a1+1=12×3=16當(dāng)n2時     ，  &#

7、160;     1anan+1=12n2n+1所以1a1a1+1+1a2a2+1+1anan+1=16+1213-12n+1所以對一切正整數(shù)n，有1a1a1+1+1a2a2+1+1anan+1三、利用數(shù)列的單調(diào)性例5數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，a10=15，且a3，a4，a7成等比數(shù)列.1求數(shù)列an的通項公式;2設(shè)bn=an2n，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：-74Tn分析：1設(shè)數(shù)列an的公差為dd0，由得a10=15，a24=a3a7，即a1+9d=15，a1+3d2=a1+2da1+6d ，解得a1=-3 ，d=

8、2.an=2n-5nN*.2證明：bn= an2n=2n-52n，nN*.Tn=-32+-122+123+2n-52n，12Tn=-322+-123+124+2n-72n+2n-52n+1，-得 12Tn=-322+2122+123+？+12n-2n-52n+1 =- 12+1-2n2n+1，Tn=-1-  2n-12n nN*，2n-12n>0 nN*，Tn又T1=-1-12=-32， T2=-1-4-14=-74.T1>T2，T2最小，即TnT2= -74.綜上所述，-74

9、60;Tn責(zé)任編輯黃桂堅猜你喜歡數(shù)列不等式證明活到老，學(xué)到老瘋狂英語·讀寫版(2021年11期)2021-12-21高中數(shù)學(xué)數(shù)列有效教學(xué)方式研究教師·下(2021年5期)2021-06-19不在場證明少年博覽·小學(xué)低年級(2021年4期)2021-06-09高中數(shù)學(xué)不等式解法的教學(xué)策略研究都市家教·上半月(2021年4期)2021-05-15兩大部類再生產(chǎn)最優(yōu)平衡增長的形成路徑經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(2021年1期)2021-04-08高中數(shù)學(xué)一道數(shù)列典型題解法的探究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(2021年23期)2021-03-15不動點求解數(shù)列通項公式中學(xué)教學(xué)參考·理科版(2021年8期)