等腰(邊)三角形典型題強化訓(xùn)練(含答案)

1、等腰（邊）三角形的典型題強化訓(xùn)練 等腰（邊）三角形的典型題強化訓(xùn)練一選擇題（共1小題）1如圖，已知C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊ACD和等邊BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N給出以下三個結(jié)論：AE=BDCN=CMMNAB其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A0B1C2D3二解答題（共29小題）2（2012遵義）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D（1）當BQD=30&#

2、176;時，求AP的長；（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由3（2012牡丹江）如圖，ABC中AB=AC，P為底邊BC上一點，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過程如下：如圖，連接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若A=30°

3、;，ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=_點P到AB邊的距離PE=_4（2011梅州）如圖1，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正APC和正PBD（1）當APC與PBD的面積之和取最小值時，AP=_；（直接寫結(jié)果）（2）連接AD、BC，相交于點Q，設(shè)AQC=，那么的大小是否會隨點P的移動面變化？請說明理由；（3）如圖2，若點P固定，將PBD繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°），此時的大小是否發(fā)生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）5（201

4、1紹興）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情況探索結(jié)論當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關(guān)系請你直接寫出結(jié)論：AE_DB（填“”，“”或“=”）（2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE_DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如圖2，過點E作EFBC，交AC于點F，（請你完成以下解答過程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計新題在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC若ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）6（2010衡陽）已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點

5、D，BC的延長線上取一點E，使CE=CD求證：BD=DE7（2010貴港）如圖所示，在ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC延長線上的一點，且CE=BD，連接DE交BC于點P（1）求證：PE=PD（2）若CE：AC=1：5，BC=10，求BP的長8（2009宜昌）已知：如圖，AF平分BAC，BCAF，垂足為E，點D與點A關(guān)于點E對稱，PB分別與線段CF，AF相交于P，M（1）求證：AB=CD；（2）若BAC=2MPC，請你判斷F與MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由9（2009紹興）如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=40°，分別以AB，AC為邊作兩個等腰直角三角形ABD和ACE，

6、使BAD=CAE=90°（1）求DBC的度數(shù)；（2）求證：BD=CE10如圖，已知ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F（1）線段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論（2）求BFD的度數(shù)11（2009本溪）在ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，連接CE（1）如圖1，當點D在線段BC上，如果BAC=90°，則BCE=_度；（2）設(shè)BAC=，BCE=如圖2，當點D在線段BC上移動，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；當點D在直線BC上移動，則

7、，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論12（2008紹興）附加題，學(xué)完“幾何的回顧”一章后，老師布置了一道思考題：如圖，點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q求證：BQM=60度（1）請你完成這道思考題；（2）做完（1）后，同學(xué)們在老師的啟發(fā)下進行了反思，提出了許多問題，如：若將題中“BM=CN”與“BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到BQM=60°？若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，C

8、D邊上”，是否仍能得到BQM=60°？請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：_；_；_并對，的判斷，選擇一個給出證明13（2008內(nèi)江）如圖，在ABC中，點E在AB上，點D在BC上，BD=BE，BAD=BCE，AD與CE相交于點F，試判斷AFC的形狀，并說明理由14（2007宜賓）已知；如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=90度F為AB延長線上一點，點E在BC上，BE=BF，連接AE、EF和CF（1）求證：AE=CF；（2）若CAE=30°，求EFC的度數(shù)15（2007常州）已知，如圖，延長ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連接D，E，F(xiàn)，得到D

9、EF為等邊三角形求證：（1）AEFCDE；（2）ABC為等邊三角形16（2006日照）如圖，已知，等腰RtOAB中，AOB=90°，等腰RtEOF中，EOF=90°，連接AE、BF求證：（1）AE=BF；（2）AEBF17（2006蘭州）如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC上的一點，BE與CD交于點O，給出下列四個條件：DBO=ECO；BDO=CEO；BD=CE；OB=OC（1）上述四個條件中，哪兩個可以判定ABC是等腰三角形？（2）選擇第（1）題中的一種情形為條件，試說明ABC是等腰三角形18（2006萊蕪）兩個全等的含30°，60°角的三角板AD

10、E和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連接ME，MC試判斷EMC的形狀，并說明理由19（2006郴州）如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高（1）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請說明理由20（2005云南）已知：如圖，在等腰ABC中，AB=AC，O是底邊BC上的中點，ODAB于D，OEAC于E求證：AD=AE21（2004十堰）如圖，已知ABC中，AB=AC，D、E分

11、別是AB和BC上的點，連接DE并延長與AC的延長線交于點F，若DE=EF，求證：BD=CF22（2004呼和浩特）如圖，在ABC中，BA=BC，B=120°，AB的垂直平分線MN交AC于D，求證：AD=DC23（2004河北）已知：如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD=AE=2若點F從點B開始以每秒1個單位長的速度沿射線BC方向運動，設(shè)點F運動的時間為t秒當t0時，直線FD與過點A且平行于BC的直線相交于點G，GE的延長線與BC的延長線相交于點H，AB與GH相交于點O（1）設(shè)EGA的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當t為何值時，ABGH；（3

12、）請你證明GFH的面積為定值；（4）當t為何值時，點F和點C是線段BH的三等分點24（2002河南）如圖所示，在RtABC中，AB=AC，A=90°，點D為BC上任一點，DFAB于F，DEAC于E，M為BC的中點，試判斷MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論25（2012瀘州）如圖，ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點E、A在直線DC的同側(cè)，連接AE求證：AEBC26（2009遼陽）如圖，ABC為正三角形，D為邊BA延長線上一點，連接CD，以CD為一邊作正三角形CDE，連接AE，判斷AE與BC的位置關(guān)系，并說明理由27（2009荊州）如圖，D是

13、等邊ABC的邊AB上的一動點，以CD為一邊向上作等邊EDC，連接AE，找出圖中的一組全等三角形，并說明理由28（2008達州）含30°角的直角三角板ABC（B=30°）繞直角頂點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（90°），再沿A的對邊翻折得到ABC，AB與BC交于點M，AB與BC交于點N，AB與AB相交于點E（1）求證：ACMACN；（2）當=30°時，找出ME與MB的數(shù)量關(guān)系，并加以說明29（2008桂林）已知：ABC為等邊三角形，D為AB上任意一點，連接CD（1）在CD左下方，以BD為一邊作等邊三角形BDE（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接AE，求證

14、：CD=AE30（2008畢節(jié)地區(qū)）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下列命題的準確性：（1）頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它的某一頂點的一條射線可把它分成兩個小等腰三角形為此，請你解答：如圖，已知在ABC中，AB=AC，A=36°，射線BD平分ABC交AC于點D求證：DAB與BCD都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：下面兩個等腰三角形也具有這種特性請你在下列兩個三角形中分別畫出一條射線，把它們分別分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所畫小等腰三角形兩個底角的度數(shù)；（3）接著，同學(xué)們又發(fā)現(xiàn)：還有一些既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形也具有這種特性，請你畫

15、出兩個具有這種特性的三角形示意圖（要求兩三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形，并標出每一個小等腰三角形各內(nèi)角的度數(shù)）等腰（邊）三角形的典型題強化訓(xùn)練參考答案與試題解析一選擇題（共1小題）1如圖，已知C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊ACD和等邊BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N給出以下三個結(jié)論：AE=BDCN=CMMNAB其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A0B1C2D3考點：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)1925643分析：由ACD和BCE是等邊三角形，根據(jù)SAS易證得ACEDCB，即可得正確；由A

16、CEDCB，可得EAC=NDC，又由ACD=MCN=60°，利用ASA，可證得ACMDCN，即可得正確；又可證得CMN是等邊三角形，即可證得正確解答：解：ACD和BCE是等邊三角形，ACD=BCE=60°，AC=DC，EC=BC，ACD+DCE=DCE+ECB，即ACE=DCB，ACEDCB（SAS），AE=BD，故正確；EAC=NDC，ACD=BCE=60°，DCE=60°，ACD=MCN=60°，AC=DC，ACMDCN（ASA），CM=CN，故正確；又MCN=180°MCANCB=180°60°60°

17、;=60°，CMN是等邊三角形，NMC=ACD=60°，MNAB，故正確，故選D二解答題（共29小題）2（2012遵義）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D（1）當BQD=30°時，求AP的長；（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形1925643分析：（1）由ABC是邊長

18、為6的等邊三角形，可知ACB=60°，再由BQD=30°可知QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6x，QB=x，在RtQCP中，BQD=30°，PC=QC，即6x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QFAB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等邊ABC的邊長為6可得出DE=3，故當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變解答：解：（1

19、）ABC是邊長為6的等邊三角形，ACB=60°，BQD=30°，QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30°，PC=QC，即6x=（6+x），解得x=2；（2）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變理由如下：作QFAB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90°，點P、Q速度相同，AP=BQ，ABC是等邊三角形，A=ABC=FBQ=60°，在APE和BQF中，AEP=BFQ=90°，APE=BQF，在APE和BQF中，AP

20、EBQF（ASA），AE=BF，PE=QF且PEQF，四邊形PEQF是平行四邊形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，又等邊ABC的邊長為6，DE=3，當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變3（2012牡丹江）如圖，ABC中AB=AC，P為底邊BC上一點，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過程如下：如圖，連接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，

21、PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若A=30°，ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=7點P到AB邊的距離PE=4或10考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積1925643分析：（1）連接AP先根據(jù)三角形的面積公式分別表示出SABP，SACP，SABC，再由SABP=SACP+SABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CH，再由ABC的面積為49，求出CH=7，由于CHPF，則可分兩種情況進行討論：P為底邊BC上一點，運用結(jié)論PE+PF=CH；P為BC

22、延長線上的點時，運用結(jié)論PE=PF+CH解答：解：（1）如圖，PE=PF+CH證明如下：PEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH，SABP=SACP+SABC，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30°，AC=2CHSABC=ABCH，AB=AC，×2CHCH=49，CH=7分兩種情況：P為底邊BC上一點，如圖PE+PF=CH，PE=CHPF=73=4；P為BC延長線上的點時，如圖PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案為7；4或104（2011梅州）如圖1，已知線段AB的長為

23、2a，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正APC和正PBD（1）當APC與PBD的面積之和取最小值時，AP=a；（直接寫結(jié)果）（2）連接AD、BC，相交于點Q，設(shè)AQC=，那么的大小是否會隨點P的移動面變化？請說明理由；（3）如圖2，若點P固定，將PBD繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°），此時的大小是否發(fā)生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）考點：等邊三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)1925643分析：（1）設(shè)AP的長是x，然后利用x表示出兩個三角形的面積的和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得x的值；（2）首

24、先證得APDCPB，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（3）旋轉(zhuǎn)的過程中，（2）中得兩個三角形的全等關(guān)系不變，因而角度不會變化解答：解：（1）設(shè)AP的長是x，則BP=2ax，SAPC+SPBD=xx+（2ax）（2ax）=x2ax+a2，當x=a時APC與PBD的面積之和取最小值，故答案為：a；（2）的大小不會隨點P的移動而變化，理由：APC是等邊三角形，PA=PC，APC=60°，BDP是等邊三角形，PB=PD，BPD=60°，APC=BPD，APD=CPB，APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120°，QCP+QAC+ACP=120

25、6;，AQC=180°120°=60°；（3）此時的大小不會發(fā)生改變，始終等于60°理由：APC是等邊三角形，PA=PC，APC=60°，BDP是等邊三角形，PB=PD，BPD=60°，APC=BPD，APD=CPB，APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120°，QCP+QAC+ACP=120°，AQC=180°120°=60°5（2011紹興）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情況探索結(jié)論當點E為AB的中點時，如圖1

26、，確定線段AE與的DB大小關(guān)系請你直接寫出結(jié)論：AE=DB（填“”，“”或“=”）（2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如圖2，過點E作EFBC，交AC于點F，（請你完成以下解答過程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計新題在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC若ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)1925643分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出D=ECB=30°，ABC=60°，

27、求出D=DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；（2）作EFBC，證出等邊三角形AEF，再證DBEEFC即可得到答案；（3）分為四種情況：畫出圖形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出符合條件的CD即可解答：解：（1）答案為：=（2）答案為：=證明：在等邊ABC中，ABC=ACB=BAC=60°，AB=BC=AC，EFBC，AEF=ABC，AFE=ACB，AEF=AFE=BAC=60°，AE=AF=EF，ABAE=ACAF，即BE=CF，ABC=EDB+BED，ACB=ECB+FCE，ED=EC，EDB=ECB，EBC=EDB+BED，ACB=ECB+FCE，BED=

28、FCE，在DBE和EFC中，DBEEFC（SAS），DB=EF，AE=BD（3）解：分為四種情況：如圖：AB=AC=1，AE=2，B是AE的中點，ABC是等邊三角形，AB=AC=BC=1，ACE是直角三角形（根據(jù)直角三角斜邊的中線等于斜邊的一半），ACE=90°，AEC=30°，D=ECB=BEC=30°，DBE=ABC=60°，DEB=180°30°60°=90°，即DEB是直角三角形BD=2BE=2（30°所對的直角邊等于斜邊的一半），即CD=1+2=3如圖2，過A作ANBC于N，過E作EMCD于M，

29、等邊三角形ABC，EC=ED，BN=CN=BC=，CM=MD=CD，ANEM，BANBEM，=，ABC邊長是1，AE=2，=，MN=1，CM=MNCN=1=，CD=2CM=1；如圖3，ECDEBC（EBC=120°），而EDC不能等于120°，否則EDC不符合三角形內(nèi)角和定理，此時不存在EC=ED； EDCABC，ECBACB，又ABC=ACB=60°，ECDEDC，即此時EDEC，此時情況不存在，答：CD的長是3或16（2010衡陽）已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點D，BC的延長線上取一點E，使CE=CD求證：BD=DE考點：等邊三角形的性質(zhì)；三角

30、形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)1925643分析：欲證BD=DE，只需證DBE=E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可證明DBE=E=30°解答：證明：ABC為等邊三角形，BD是AC邊的中線，BDAC，BD平分ABC，DBE=ABC=30°CD=CE，CDE=EACB=60°，且ACB為CDE的外角，CDE+E=60°CDE=E=30°，DBE=DEB=30°，BD=DE7（2010貴港）如圖所示，在ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC延長線上的一點，且CE=BD，連接DE交BC于點P（1）求證：PE=PD（2）若C

31、E：AC=1：5，BC=10，求BP的長 考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)1925643分析：（1）過點D作DFAC交BC于點F，由等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)可得DBF=DFB，可推得DB=DF，由因為已知CE=BD，即可得DF=CE，通過AAS可得DFPECP，即得到PE=PD（2）由已知條件易證得BDFBAC，且=，由BC=10，可得BF、EC的長；由DFPECP可得PF的長，即可得BP的長解答：（1）證明：過點D作DFAC交BC于點F，ACB=DFBFDP=EAB=AC（已知），ACB=ABC，ABC=DFB，DF=DB；又CE=BD（已知），CE=DF；又DPF=CPE，

32、ECPDFP，PE=PD；（2）解：CE=BD，AC=AB，CE：AC=1：5（已知），BD：AB=1：5，DFAC，BDFBAC，=；BC=10，BF=2，F(xiàn)C=8，DFPECP，F(xiàn)P=PC，PF=4，則BP=BF+FP=68（2009宜昌）已知：如圖，AF平分BAC，BCAF，垂足為E，點D與點A關(guān)于點E對稱，PB分別與線段CF，AF相交于P，M（1）求證：AB=CD；（2）若BAC=2MPC，請你判斷F與MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由考點：軸對稱的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)1925643分析：（1）由點D與點A關(guān)于點E對稱易證AC=CD，再根據(jù)角平分線，及垂直得到AC=A

33、B，可得答案AB=CD；（2）易證CAD=CDA=MPC，CMA=BMA=PMF，可得到MCD=F解答：（1）證明：AF平分BAC，CAD=DAB=BAC，D與A關(guān)于E對稱，E為AD中點，BCAD，BC為AD的中垂線，AC=CD在RtACE和RtABE中，（注：證全等也可得到AC=CD）CAD+ACE=DAB+ABE=90°，CAD=DAB，ACE=ABE，AC=AB（注：證全等也可得到AC=AB），AB=CD（2）解：F=MCD，理由如下：BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，AC=CD，CAD=CDA，MPC=CDA，MPF=CDM，AC=AB，AEBC，CE=B

34、E（注：證全等也可得到CE=BE），AM為BC的中垂線，CM=BM（注：證全等也可得到CM=BM）EMBC，EM平分CMB（等腰三角形三線合一）CME=BME（注：證全等也可得到CME=BME），BME=PMF，PMF=CME，MCD=F（注：證三角形相似也可得到MCD=F）9（2009紹興）如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=40°，分別以AB，AC為邊作兩個等腰直角三角形ABD和ACE，使BAD=CAE=90°（1）求DBC的度數(shù)；（2）求證：BD=CE考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)1925643分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角

35、形內(nèi)角和定理即可求得DBC的度數(shù)；（2）證明ABDACE即可得到結(jié)論解答：（1）解：ABD為等腰直角三角形，DBA=45°又AB=AC，BAC=40°，ABC=70°DBC=115°；（2）證明：ABD和ACE均為等腰直角三角形，BAD=CAE=90°，AB=AD，AC=AE又AB=AC，AB=AD=AC=AEABDACEBD=CE10如圖，已知ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F（1）線段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論（2）求BFD的度數(shù)考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)192

36、5643分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知BAC=C=60°，AB=CA，結(jié)合AE=CD，可證明ABECAD，從而證得結(jié)論；（2）根據(jù)BFD=ABE+BAD，ABE=CAD，可知BFD=CAD+BAD=BAC=60°解答：（1）證明：ABC為等邊三角形，BAC=C=60°，AB=CA在ABE和CAD中，ABECAD AD=BE（2）解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD，ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=60°11（2009本溪）在ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD=A

37、E，DAE=BAC，連接CE（1）如圖1，當點D在線段BC上，如果BAC=90°，則BCE=90度；（2）設(shè)BAC=，BCE=如圖2，當點D在線段BC上移動，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；當點D在直線BC上移動，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論考點：全等三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)1925643分析：（1）問要求BCE的度數(shù)，可將它轉(zhuǎn)化成與已知角有關(guān)的聯(lián)系，根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理，得出ABDACE，再根據(jù)全等三角形中對應(yīng)角相等，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）問在第（1）問的基礎(chǔ)上，將+轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和；（3）問是第（1）問和第（2）問

38、的拓展和延伸，要注意分析兩種情況解答：解：（1）90°理由：BAC=DAE，BACDAC=DAEDAC即BAD=CAE在ABD與ACE中， ABDACE，B=ACEB+ACB=ACE+ACB，BCE=B+ACB，又BAC=90°BCE=90°；（2）+=180°，理由：BAC=DAE，BAC+DAC=DAE+DAC即BAD=CAE在ABD與ACE中， ABDACE，B=ACEB+ACB=ACE+ACBB+ACB=，+B+ACB=180°，+=180°；當點D在射線BC上時，+=180°；理由：BAC=DAE，BAD=CAE，

39、AB=AC，AD=AE，ABDACE（SAS），B=ACE，BAC+B+BCA=180°，BAC+BCE=BAC+BCA+ACE=BAC+BCA+B=180°，+=180°；當點D在射線BC的反向延長線上時，=理由：DAE=BAC，DAB=EAC，AD=AE，AB=AC，ADBAEC（SAS），ABD=ACE，ABD=BAC+ACB，ACE=BCE+ACB，BAC=BCE，即= 12（2008紹興）附加題，學(xué)完“幾何的回顧”一章后，老師布置了一道思考題：如圖，點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q求證：BQM=60度（1）請

40、你完成這道思考題；（2）做完（1）后，同學(xué)們在老師的啟發(fā)下進行了反思，提出了許多問題，如：若將題中“BM=CN”與“BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到BQM=60°？若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到BQM=60°？請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：是；是；否并對，的判斷，選擇一個給出證明考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)1925643分析：（1）在ABM和BCN中，根據(jù)

41、判定ABMBCN，所以BAM=CBN，則BQM=BAQ+ABQ=MBQ+ABQ=60度（2）同樣還是根據(jù)條件判定ACMBAN，得到AMC=BNA，所以NQA=NBC+BMQ=NBC+BNA=180°60°=120°，即BQM=60°；同上，證明RtABMRtBCN，得到AMB=BNC，所以，QBM+QMB=90°，BQM=90°，即BQM60°解答：（1）證明：在ABM和BCN中，ABMBCN，BAM=CBN，BQM=BAQ+ABQ=MBQ+ABQ=60°（2）是；是；否的證明：如圖，在ACM和BAN中，ACMBA

42、N，AMC=BNA，NQA=NBC+BMQ=NBC+BNA=180°60°=120°，BQM=60°的證明：如圖，在RtABM和RtBCN中，RtABMRtBCN，AMB=BNC又NBM+BNC=90°，QBM+QMB=90°，BQM=90°，即BQM60° 13（2008內(nèi)江）如圖，在ABC中，點E在AB上，點D在BC上，BD=BE，BAD=BCE，AD與CE相交于點F，試判斷AFC的形狀，并說明理由考點：等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)1925643分析：要判斷AFC的形狀，可通過判斷角的關(guān)系來得出結(jié)論

43、，那么就要看FAC和FCA的關(guān)系因為BAD=BCE，因此我們只比較BAC和BCA的關(guān)系即可根據(jù)題中的條件：BD=BE，BAD=BCE，BDA和BEC又有一個公共角，因此兩三角形全等，那么AB=AC，于是BAC=BCA，由此便可推導(dǎo)出FAC=FCA，那么三角形AFC應(yīng)該是個等腰三角形解答：解：AFC是等腰三角形理由如下：在BAD與BCE中，B=B（公共角），BAD=BCE，BD=BE，BADBCE（AAS），BA=BC，BAC=BCA，BACBAD=BCABCE，即FAC=FCAAF=CF，AFC是等腰三角形14（2007宜賓）已知；如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=90度F為AB延長線上一

44、點，點E在BC上，BE=BF，連接AE、EF和CF（1）求證：AE=CF；（2）若CAE=30°，求EFC的度數(shù)考點：等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)1925643分析：根據(jù)已知利用SAS判定ABECBF，由全等三角形的對應(yīng)邊相等就可得到AE=CF；根據(jù)已知利用角之間的關(guān)系可求得EFC的度數(shù)解答：（1）證明：在AEB和CFB中，ABECBF（SAS）AE=CF（2）解：AB=BC，ABC=90°，CAE=30°，CAB=ACB=（180°90°）=45°，EAB=45°30°=15°ABECBF，

45、EAB=FCB=15°BE=BF，EBF=90°，BFE=FEB=45°EFC=180°90°15°45°=30°15（2007常州）已知，如圖，延長ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連接D，E，F(xiàn)，得到DEF為等邊三角形求證：（1）AEFCDE；（2）ABC為等邊三角形 考點：全等三角形的判定；等邊三角形的判定1925643分析：（1）關(guān)鍵是證出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，兩兩相加可得再結(jié)合已知條件可證出AEFCDE（2）有（1）中的全等關(guān)系，可得出AFE=CED，再結(jié)合DEF是等邊

46、三角形，可知DEF=60°，從而得出BAC=60°，同理可得ACB=60°，那么ABC=60°因而ABC是等邊三角形解答：證明：（1）BF=AC，AB=AE（已知）FA=EC（等量加等量和相等）（1分）DEF是等邊三角形（已知），EF=DE（等邊三角形的性質(zhì)）（2分）又AE=CD（已知），AEFCDE（SSS）（4分）（2）由AEFCDE，得FEA=EDC（對應(yīng)角相等），BCA=EDC+DEC=FEA+DEC=DEF（等量代換），DEF是等邊三角形（已知），DEF=60°（等邊三角形的性質(zhì)），BCA=60°（等量代換），由AEFCDE

47、，得EFA=DEC，DEC+FEC=60°，EFA+FEC=60°，又BAC是AEF的外角，BAC=EFA+FEC=60°，ABC中，AB=BC（等角對等邊）（6分）ABC是等邊三角形（等邊三角形的判定）（7分）16（2006日照）如圖，已知，等腰RtOAB中，AOB=90°，等腰RtEOF中，EOF=90°，連接AE、BF求證：（1）AE=BF；（2）AEBF 考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)1925643分析：（1）可以把要證明相等的線段AE，CF放到AEO，BFO中考慮全等的條件，由兩個等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF

48、，再找夾角相等，這兩個夾角都是直角減去BOE的結(jié)果，當然相等了，由此可以證明AEOBFO；（2）由（1）知：OAC=OBF，BDA=AOB=90°，由此可以證明AEBF解答：證明：（1）在AEO與BFO中，RtOAB與RtOEF等腰直角三角形AO=OB，OE=OF，AOE=90°BOE=BOF，AEOBFO（SAS），AE=BF；（2）延長AE交BF于D，交OB于C，則BCD=ACO，由（1）知：OAC=OBF，BDA=AOB=90°，AEBF17（2006蘭州）如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC上的一點，BE與CD交于點O，給出下列四個條件：DBO=ECO

49、；BDO=CEO；BD=CE；OB=OC（1）上述四個條件中，哪兩個可以判定ABC是等腰三角形？（2）選擇第（1）題中的一種情形為條件，試說明ABC是等腰三角形考點：等腰三角形的判定1925643分析：（1）要證ABC是等腰三角形，就要證ABC=ACB，根據(jù)已知條件即可找到證明ABC=ACB的組合；（2）可利用DOB與EOC全等，得出OC=OB，再得出OCB與OBC相等，就能證明ABC與ACB相等解答：解：（1），和；（2）以為條件，理由：OB=OC，OBC=OCB又DBO=ECO，DBO+OBC=ECO+OCB，即ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形18（2006萊蕪）兩個全等的含

50、30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連接ME，MC試判斷EMC的形狀，并說明理由 考點：等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)1925643分析：欲判斷EMC的形狀，需知道其三邊關(guān)系根據(jù)題意需證EM=CM，由此證明EMDCMA即可依據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)易證解答：解：連接MAEAD=30°，BAC=60°，DAB=90°，EDACAB，DA=AB，ED=AC，DAB是等腰直角三角形，又M為BD的中點，MDA=MBA=45°，AMBD（三線合一），AM=BD=M

51、D，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）EDM=MAC=105°，在MDE和CAM中，ED=AC，MDE=CAM，MD=AMMDECAMDME=AMC，ME=MC，又DMA=90°，EMC=EMA+AMC=EMA+DME=DMA=90°MEC是等腰直角三角形19（2006郴州）如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高（1）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請說明理由 考點：等腰三角形的性質(zhì)1925643分析：（1）連接AD，根據(jù)三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進行分析證明；（2）類似（1）的思路，仍然用計算面積的方法來確定線段之間的關(guān)系即三角形ABC的面積=三角形ABD的面積三角形ACD的面積解答：解：（1）DE+DF=CG證明：連接AD，則SABC=SABD+SACD，即ABCG=ABDE+ACDF，AB=AC，CG=DE+DF（2）當點D在BC延長線上時，（1）中的結(jié)論不成立，但有DEDF=CG理由：連