線性代數(shù)線性相關性判定定理

1、3.3 線性相關性判定定理線性相關性判定定理線性代數(shù)線性相關性判定定理定理定理1 1向量組向量組 （當（當 時）線性相關時）線性相關的充分必要條件是的充分必要條件是 中至少有一個向中至少有一個向量可由其余量可由其余 個向量線性表示個向量線性表示m ,212 mm ,211 m證明證明充分性充分性 設設 中有一個向量（比如中有一個向量（比如 ）能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 故故 01112211 mmma 因因 這這 個數(shù)不全為個數(shù)不全為0， 1,121 m m故故 線性相關線性相關.m ,21必要性必要性設設 線性相關，線性相關，m

2、 ,21則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一個不為中至少有一個不為0，mkkk,21不妨設不妨設 則有則有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.1 向量組向量組 （當（當 時）線性時）線性無關無關的充分必要條件是的充分必要條件是 中中任何一個任何一個向向量都量都不能不能由其余由其余 個向量線性表示個向量線性表示m ,212 mm ,211 m定理定理1的逆否命題的逆否命題例例1 向量組向量組 線性相關的充線性相關的充要條件是要條件是12,m (2)m 12,m （A） 中有一零向

3、量中有一零向量（B） 中任意兩個向量的分量成比例中任意兩個向量的分量成比例12,m （C） 中有一向量是其余向量的中有一向量是其余向量的線性組合線性組合12,m 12,m （D） 中任意一個向量是其余向中任意一個向量是其余向量的線性組合量的線性組合例例2 若向量組若向量組 線性相關，則線性相關，則 是其余向量的線性組合，這種說法對嗎？是其余向量的線性組合，這種說法對嗎？12,m 1 不對不對例如例如123(1,0,0),(0,1,0),(0,2,0) 但但 不能寫成其余向量的線性組合不能寫成其余向量的線性組合1 所以線性相關所以線性相關123020由于由于例例3 假定假定 能用能用 表示為表示

4、為 12,m 問向量組問向量組 是否線性相關？是否線性相關？12,m 1122mmkkk 由定理由定理1知知 線性相關線性相關12,m .,:,: 121且表示式是唯一的且表示式是唯一的線性表示線性表示必能由向量組必能由向量組向量向量則則線性相關線性相關組組而向量而向量線性無關線性無關設向量組設向量組ABArr 定理定理2 證證11220rrkkkk設設線性無關，線性無關，而向量組而向量組線性相關，線性相關，k，（，（否則與否則與線性無關線性無關矛盾）矛盾）1122rrkkkk 1212rrkkkkkk 可由可由線性表示線性表示. .即有即有下證下證唯一性唯一性：1122;rr 1122rr

5、兩式相減有兩式相減有 1112220rrr 線性無關，線性無關，11220,0,0rr 1122,rr 即表達式唯一即表達式唯一. .設設定理定理2的逆否命題的逆否命題 設向量組設向量組A： 線性無關，而向量線性無關，而向量不能不能由向量組由向量組A線性表示，則向量組線性表示，則向量組B： 線性線性無關無關。,12r ,12r （A）如果存在不全為零的數(shù)）如果存在不全為零的數(shù) 使使12,mk kk11220mmkkk則則 線性無關線性無關12,m （B）若向量組）若向量組 線性相關，線性相關，12,m 則則 可由其余向量線性表示可由其余向量線性表示m （C）向量組）向量組 線性無關的充要條件是

6、線性無關的充要條件是12,m 不能由其余不能由其余m1個向量線性表示。個向量線性表示。1 （D）若）若 不線性相關，則一定線性無關不線性相關，則一定線性無關12,m 例例4 設設 是一組是一組n維向量，則下列結維向量，則下列結論正確的是論正確的是12,m 例例5 命題：如果命題：如果 線性無關，且線性無關，且 不能由不能由 線性表示則線性表示則 線性無關。是否為真命題？線性無關。是否為真命題？12,m 12,m 12,m 答答此命題為定理此命題為定理2 的逆否命題，所以為真命題的逆否命題，所以為真命題12,m 例例6 命題：設命題：設 可由可由 線性表示，線性表示，且表示法唯一，則且表示法唯一

7、，則 線性無關。是線性無關。是否為真命題？否為真命題？12,m 證證12,m 由已知由已知 可由可由 線性表示線性表示 存在一組數(shù)存在一組數(shù) 使得使得12,ml ll1122mmlll 11220mmkkk設設兩式相加得兩式相加得111222()()()mmmklklkl 因因 由由 唯一的線性表示唯一的線性表示 12,m 所以所以111222,mmmkllkllkll 所以所以120,0,0mkkk 即即 線性無關線性無關12,m 所以此命題為所以此命題為真命題真命題, 也線性相關。也線性相關。若干個向量后所得的向量組若干個向量后所得的向量組線性相線性相關關若向量組若向量組,21r 定理定理

8、3,2r 1,rm 1則增加則增加證證因為因為12,r 線性相關線性相關故存在一組不全為零的數(shù)故存在一組不全為零的數(shù)12,rk kk使使11220rrkkk從而從而11221000rrrmkkk 其中其中12,0,0rk kk不全為零不全為零所以所以121,rrm 線性相關線性相關部分相關則整體相關部分相關則整體相關整體無關則部分無關整體無關則部分無關例例7 n維向量組維向量組 線性無關的充要條件是線性無關的充要條件是12,m （A）存在一組不全為零的數(shù)）存在一組不全為零的數(shù)12,mk kk使使11220mmkkk（B） 中任意兩個向量均線性無關中任意兩個向量均線性無關12,m （C） 中存在

9、一個向量不能由其余中存在一個向量不能由其余向量線性表示向量線性表示12,m （D） 中任意一個向量都不能用其中任意一個向量都不能用其余向量線性表示余向量線性表示12,m 例例8 設向量組設向量組 線性相關，向量組線性相關，向量組 線性無關，問線性無關，問123, 234, 1 能否由能否由 線性表示？證明你的結論線性表示？證明你的結論23, 解解能能因為因為 線性無關，線性無關，234, 所以所以 線性無關線性無關23, 整體無關則部分無關整體無關則部分無關而而 線性相關線性相關123, 由定理由定理2， 可唯一的由可唯一的由 線性表示線性表示1 23, ., 12階子式階子式的的稱為矩陣稱為

10、矩陣階行列式，階行列式，的的中所處的位置次序而得中所處的位置次序而得變它們在變它們在不改不改元素元素處的個處的個），位于這些行列交叉），位于這些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩陣矩陣在在定義定義kAkAknkmkkkAnm . 個個階子式共有階子式共有的的矩陣矩陣knkmCCkAnm 1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 例如例如 1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 是是A的一個二階子式的一個二階子式 1131D 定理定理4 設設n維行向量組維行向量組A：12,TTTr構成一個構成一個r n型矩陣型矩陣111211

11、21222212TnTnTrrrnraaaaaaAaaa 其中其中r n，則向量組，則向量組A線性無關的充分必要條線性無關的充分必要條件是：在矩陣件是：在矩陣A中至少存在一個不等于零的中至少存在一個不等于零的r階子式階子式定理定理4當當rn時，我們有如下推論時，我們有如下推論推論推論1 n個個n維向量線性無關的充要條件是它維向量線性無關的充要條件是它們所構成的們所構成的n階方陣的行列式不等于零。階方陣的行列式不等于零。推論推論2 n個方程的個方程的n元齊次線性方程組元齊次線性方程組Ax0有有非零解的充要條件是系數(shù)行列式非零解的充要條件是系數(shù)行列式0A 推論推論3 當當mn時，時，m個個n維向量維向量12,m 一定線性相關。這就是說，向量的個數(shù)超過一定線性相關。這就是說，向量的個數(shù)超過維數(shù)的向量組一定線性相關。維數(shù)的向量組一定線性相關。例例 討論下列矩陣的行向量組的線性相關性討論下列矩陣的行向量組的線性相關性233102A 123221343B 132202132015C 解解矩陣矩陣A中有中有3個個2維行向量，由推論維行向量，由推論3知必線知必線性相關。性相關。因為因為 由推論由推論1知知B的三個行向量的三個行向量線性無關。線性無關。 20B 矩陣矩陣C的的4個個3階子式全為零，故階子式全為零，故C的的3個行個行向