線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納整理

1、-4 - / i5歸納整理誠毅學(xué)生 編01、余子式與代數(shù)余子式- 2 -02、主對(duì)角線- 2 -03、轉(zhuǎn)置行列式- 2 -04、行列式的性質(zhì)- 3 -05、計(jì)算行列式- 3 -06、矩陣中未寫出的元素- 4 -07、幾類特殊的方陣- 4 -08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則- 4 -09、矩陣多項(xiàng)式- 6 -10、對(duì)稱矩陣- 6 -11、矩陣的分塊- 6 -12、矩陣的初等變換- 6 -13、矩陣等價(jià)- 6 -14、初等矩陣- 7 -15、行階梯形矩陣與行最簡形矩陣- 7 -16、逆矩陣- 7 -17、充分性與必要性的證明題- 8 -18、伴隨矩陣- 8 -19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：- 9 -20、矩陣的秩：-

2、9 -21、矩陣的秩的一些定理、推論- 10 -22、線性方程組概念- 10 -23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）- 10 -24、行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念- 11 -25、線性方程組的向量形式- 12 -26、線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念- 12 -27、向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)的向量組必然線性相關(guān)- 12 - 12 -28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題29、線性表示與線性組合的概念- 12 -30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系其例題- 12 -31、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的3 個(gè)定理 - 12 -32、

3、最大線性無關(guān)組與向量組的秩- 12 -33、線性方程組解的結(jié)- 12 -01、余子式與代數(shù)余子式aiiai2(1)設(shè)三階行列式D=a2ia22ai3a23 ,則a33a3ia32元素a”，a% ai3的余子式分別為:Mii =a22a23,M i2=a2ia23, Mi3=a2ia22a32a33a3ia33a3ia32,.一 . a22 a 23 、 *對(duì)Mii的解釋：劃掉第i行、第i歹I，剩下的就是一個(gè)二階行列式，這個(gè)a32 a 33行列式即元素a”的余子式Mii。其他元素的余子式以此類推。元素 a”，a% ai3 的代數(shù)余子式分別為:Aii = ( - i)i+iMii , Ai2= (

4、 - i)i2Mi2 , Ai3=(-i)i+3Mi3 .對(duì) Aij 的解釋(i 表示第 i 行，j 表示第 j 列)：Aij = (i)i+j M ij .(N階行列式以此類推)(2)填空題求余子式和代數(shù)余子式時(shí)，最好寫原式。比如說，作業(yè) Pi第i題:一 0M3i =0，A3i = (-i)3+i(3)例題：課本P8、課本P2i-27、作業(yè)Pi第i題、彳業(yè)Pi第3題02、主對(duì)角線一個(gè)n階方陣的主對(duì)角線，是所有第 k行第k列元素的全體，k=i, 2, 3 - n,即從左上到右下 的一條斜線。與之相對(duì)應(yīng)的稱為副對(duì)角線或次對(duì)角線，即從右上到左下的一條斜線。03、轉(zhuǎn)置行列式行列式。'稱為行列

5、式u的轉(zhuǎn)置行列式.即元素au與元素 3的位置對(duì)調(diào)(i表示第i行，j表示第j歹【)，比如說，ai2與a4的位置對(duì)調(diào)、a35與a53的位置對(duì)調(diào)04、行列式的性質(zhì)詳見課本P5-8 （性質(zhì)1.1.1 1.1.7其中，性質(zhì)1.1.7可以歸納為這個(gè)：A.AA , i=k,一，一 ，一ai1 Ak1 + ai2Ak2 + + ainAkn =（i 表小弟 i 仃，k 表小弟 k 歹ll）0 , i k熟練掌握行列式的性質(zhì)，可以迅速的簡化行列式，方便計(jì)算。例題：作業(yè)P1第2題05、計(jì)算行列式（1）計(jì)算二階行列式a11 a12 ：a21 a 22方法（首選）：a11 a12 = a“a22 a12a21（即，左

6、上角x右下角一右上角x左下角） a21 a22、faI1 a12方法：=a” A“+a12 A12 = a“a22 a12a21a21 a 22例題：課本P14an a12 a13（2）計(jì)算三階行列式a21 a22 a23 :a31 a32 a 33an a12 a13.,、1 + 11+21 +3a21 a22 a23 = a“A11+ a2A12+ a13A13 = a11 （ 1）M11 + a12 （ 1） M12 + a13 （ 1）M13a31 a32 a33N階行列式的計(jì)算以此類推。通常先利用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，0元素較多時(shí)方便計(jì)算.（r是row、即行。 c 是 col

7、umn、即歹U）例題：課本P5、課本P9、課本P14、作業(yè)P1第4題、彳業(yè)P2第3小題（3） n階上三角行列式（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）D= a11a22 ann （主對(duì)角線上元素的乘積）例題：課本P10、作業(yè)P3第4小題有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對(duì)應(yīng)加到第一行”轉(zhuǎn)化成上三角行列式例題：課本P11(4)范德蒙行列式：詳見課本P12-13(5)有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對(duì)應(yīng)加到第一行”提取出“公因式”，得到元素全為1的一行，方便化簡行列式。例題：作業(yè)P2第1小題、作業(yè)P2第2小題06、矩陣中未寫出的元素課本P48下面有注明，矩陣中未寫出

8、的元素都為 007、幾類特殊的方陣詳見課本P30-32(1)上(下)三角矩陣：類似上(下)三角行列式(2)對(duì)角矩陣：除了主對(duì)角線上的元素外，其他元素都為0(3)數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上的元素都相同(4)零矩陣：所有元素都為0,記作O(5)單位矩陣：主對(duì)角線上的元素都為1,其他元素全為0,記作E或En (其行列式的值為1)08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則(1)矩陣的加法(同型的矩陣才能相加減，同型,即矩陣 A的行數(shù)與矩陣B的行數(shù)相同；矩陣A的列數(shù)與矩陣B的列數(shù)也相同)：課本 P32 “A+B”、“AB”加法交換律：A+B=B+A加法結(jié)合律：A+ (B+C) = (A+ B) +C(2)矩陣的乘法(基本規(guī)則詳見課

9、本 P34陰影):數(shù)與矩陣的乘法：I .課本 P33 “kA”II . kA = kn A (因?yàn)閗A只等于用數(shù)k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式)同階矩陣相乘(高中理科數(shù)學(xué)選修矩陣基礎(chǔ))：ana12b11b12anbna12b21anb12a12b22x=a21a22b21b22a21b11a22b21a21b12a22b22-17 - / 15描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計(jì)算得到的矩陣為A的值為:中第1行的每個(gè)元素分別乘以中第1列的每個(gè)元素,并將它們相加。即 A= aii x bii + ai2 x b2iB的值為:中第i行的每個(gè)元素分別乘以中第2列的每個(gè)元素,并將它

10、們相加。即 B= aii x bi2 + ai2 x b22C的值為:中第2行的每個(gè)元素分別乘以中第i列的每個(gè)元素,并將它們相加。即 C= a2i x bii + a22 x b2iD的值為:中第2行的每個(gè)元素分別乘以中第2列的每個(gè)元素,并將它們相加。即 D= a2i x bi2 + a22 x b22.aiiai2ana2ia22a23a3i332a33bii bi2b21 b22b31 b32bi3b23b33aiibna2ibna3ibiiai2b2ia22b2ia32b2ia3b3ia23b3ia33b3iaiibi2 a21bi2 a31bi2ai2b22a22b22a32b22ai

11、3b32a23b32a33b32aiibi3a21bi3a31bi3ai2 b23 a22b23 a32b23ai3b33 a23b33 a33b33描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計(jì)算得到的矩陣為A的值為：中第1行的每個(gè)元素分別乘以中第1列的每個(gè)元素，并將它們相加。即A= aii x bii + ai2 x b2i + ai3 x b3iB、C、D E、F、G H I的值的求法與 A類似。數(shù)乘結(jié)合律：k (lA) = (kl) A , (kA) B = A (kB) =k (AB)數(shù)乘分配律：(k+ l) A=kA+ lA , k (A+B) = kA+ kB乘法結(jié)合律：(AB) C

12、 = A (BC)乘法分配律：A (B+C) =AB + AC , (A+B) C = AC+BC需注意的：I .課本P34例題兩個(gè)不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣II .課本P34例題數(shù)乘的消去律、交換律不成立III .一般來講，(AB) kwA k B k,因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律IV .課本P40習(xí)題第2題：(A+B) 2不一定等于A2+2AB+B2 , (A+B) 2不一定等于A2+ 2AB+B2, (A+B) (A-B)不一定等于A2-B2.當(dāng)AB=BA時(shí)，以上三個(gè)等式均成立 (3)矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律：(At)t = A(A±B)t = A t± B t（kA）T

13、=kAT（AB）T=B TAT（ABC）T = CTB TAT（ABCD）T=DTCTB TAT（4）同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個(gè)方陣的行列式的乘積：（詳見課本P46）AB = A B（5）例題：課本P35、課本P36-37、課本P40第4大題、課本P40第5大題、課本P51第1 大題、課本P51第4大題、課本P60第4大題、作業(yè)P5全部、作業(yè)P5第3大題、作業(yè) P5第4大題09、矩陣多項(xiàng)式詳見課本P 3610、對(duì)稱矩陣（1）對(duì)稱矩陣、實(shí)對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣的概念（ 詳見課本P37）（2）同階對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣的和、差仍是對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣數(shù) 與 對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣的乘積仍是對(duì)稱（反

14、對(duì)稱）矩陣對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣的乘積不一定是對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣11、矩陣的分塊線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本P38-4012、矩陣的初等變換三種行變換與三種列變換：詳見課本P 42例題：作業(yè)P6全部13、矩陣等價(jià)若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換后變成矩陣 B,則稱矩陣A與矩陣B等價(jià)，記為A B14、初等矩陣(1)是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本P48-49(2)設(shè)A為mxn矩陣，則對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在 A的左邊乘上一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣；A施行一次初等列變換相當(dāng)于在 A的右邊乘上一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣. 詳見課本P50-51(3)課本P51第3大題15、行階梯形

15、矩陣與行最簡形矩陣(1)對(duì)任意一個(gè)非零矩陣，都可以通過若干次初等行變換(或?qū)Q列)化為行階梯型矩陣(2)行階梯形矩陣與行最簡形矩陣：若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為 0,每個(gè)臺(tái)階只有一行(臺(tái)階數(shù)即是非零行 的行數(shù))，階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元素，也就 是非零行的第一個(gè)非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎(chǔ)上，若非零行的第一個(gè) 非零元素為都為1,且這些非零元素所在的列的其他元素都為0,則稱該矩陣為行最簡形矩陣。例題：課本P45、作業(yè)P6全部、課本P51第2大題16、逆矩陣(1)設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B,使得AB= BA= E,則稱方陣A是可

16、逆的, 并稱B為A的逆矩陣.(由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣)(2)如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將 A的逆矩陣記作A 1, AA-=E(3) n階方陣A可逆的充要條件為|A W0,并且，當(dāng)A可逆時(shí),(證明詳見課本P54)例題：課本P59第1大題(4)可逆矩陣也稱為非奇異方陣(否則稱為奇異方陣)(5)性質(zhì)：設(shè)A, B都是n階的可逆方陣,常數(shù)kw0,那么(AT)T=AAT 也可逆，并目(AT )-1 = (A-1)T(kA)-1= 1 A-1kA也可逆，并且k AB也可逆.并日(AB)-1 = B-1A-1A+B不一定可逆，而且即使 A+B可逆，一般(A+B)-1wA-1

17、 + B-1A1aa-1 = eQ| aa-1 = E =1 Aa-1 =1 q例題：課本P58例2.3.7、作業(yè)P7第1題(6)分塊對(duì)角矩陣的可逆性： 課本P57(7)由方陣等式求逆矩陣：課本P58例2.3.6(8)單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的(初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1*0可逆，所以初等矩陣可逆)(9)初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣(10)任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣(11)方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積(證明：課本P67)(12)利用初等行變換求逆矩陣:A

18、|E初等行變換E|A-1(例題：課本P68、課本P71)(13)形如AX=B的矩陣方程，當(dāng)方陣 A可逆時(shí)，有A-1 AX= A-1B.即X = A-1B.此時(shí)有：A|B 初等行變換E |X矩陣方程的例題：課本P35、課本P69、課本P41第6大題、課本P56、課本P58、課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題矩陣方程計(jì)算中易犯的錯(cuò)誤：課本P56 ”注意不能寫成”17、充分性與必要性的證明題(1)必要性：由結(jié)論推出條件(2)充分性：由條件推出結(jié)論例題：課本P41第8大題、作業(yè)P5第5大題18、伴隨矩陣(1)定義：課本P52定義2.3.2(2)設(shè)A為n階方陣

19、(n>2),則AA* = A*A= A En (證明詳見課本P53-54)(3)性質(zhì)：(注意伴隨矩陣是方陣)m A = |AA 1(kA)* = kA (kA)-1 = knA 1A-1 = k n - - A A-1 = kn-1A* (kw0) kk |A*| = | AA 1 | = An | A 1| = An - X (因?yàn)榇嬖?A 1,所以 A wo ) = A一一 1A一一(A*)* = (AA1)*= | AA 1 |.(AA1)T= |An | A 1| - 1 (A 1) 1A(因?yàn)锳A 1 = E,所以A-的逆矩陣是A,即(A-)1 )=A n-1 - 4TA =

20、An-2A網(wǎng)網(wǎng)(AB) *= B*A*(A*)-1 = (A-1) *=R(4)例題：課本P53、課本P55、課本P58、課本P60第6大題、作業(yè)P7第2題、作業(yè)P8全部19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：(1)定義：課本P61-62(2)任何一個(gè)非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形20、矩陣的秩:(1)定義：課本P63(2)性質(zhì)：設(shè)A是mxn的矩陣，B是pXq的矩陣，則 若k是非零數(shù)，則R (kA)=R (A) R (A)=R (AT) 等價(jià)矩陣有相同的秩，即若 A B,則R (A) = R (B) 00R (Am n)< min m , nR (AB)<min R(A),R(B)設(shè)A與B

21、都是mxn矩陣，則R (A+B)&R (A) + R (B)(3) n階方陣A可逆的充耍條件是：A的秩等于其階數(shù).即 R (A) = n(4)方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積。(證明：P67)(5)設(shè)A是mxn矩陣.P、Q分別是 m階與n階可逆方陣.則R (A)=R (FA)=R (AQ)=R (PAQ)(6)例題：課本P64、課本P66、課本P71、作業(yè)P7第3題、彳業(yè)P9全部21、矩陣的秩的一些定理、推論線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本P7022、線性方程組概念線性方程組是各個(gè)方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。線性方程組經(jīng)過初等變換后不改變方程組的解

22、。23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組(不含向量)(1)定義：課本P81(2)方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81(3)系數(shù)矩陣A、增廣矩陣A、矩陣式方程：課本P82(4)矛盾方程組(方程組無解)：課本P85例題(5)增廣矩陣的最簡階梯形：課本P87(6)系數(shù)矩陣的最簡階梯形： 課本P87(7)課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個(gè)未知量的位置，不改變方程組的解。為了方 便敘述，在解方程組時(shí)不用交換列。(8)克萊姆法則：初步認(rèn)知：anX1+ aX2+ a13X3= bana12213已知三元線性方程組a2"1+ 222X2+ a23X3= b2,其系數(shù)行列式D =a

23、21a22a23231X1+ a 32X2+ a33X3= b3a31a32a33當(dāng) DW0 時(shí)，其解為：X1=D1 , X2=D, X3=D DDDb a12 a13an b 213211212 b（其中D1 =b2222 a23,D2 =a 21 b2223,D3 =221222 b2b3a32a33231b3233231232 b3(Dn以此類推)定義：課本P15使用的兩個(gè)前提條件： 課本P18例題：課本P3、課本P16-17、課本P18、作業(yè)P3第7題(9)解非齊次線性方程組(方程組施行初等變換實(shí)際上就是對(duì)增廣矩陣施行初等行變換)例題:課本P26、課本P42、課本P82、課本P84、課

24、本P85、課本P86第1大題、課本 P88、課本P91、作業(yè)P10第1題(10)解齊次線性方程組例題：課本P17、課本P18、課本P85、課本P86、課本P90、課本P91、作業(yè)P1第5題、彳業(yè)P10第2題(11) n元非齊次線性方程組 AX=b的解的情況：(R (A)不可能> R (A )<R (A) < R (A ) <=> 無解f< n =>有無窮多個(gè)解(R (A) = R (A ) U>有解 <“=n 1=>有唯一解特別地，當(dāng)A是j AW0 <=：>有唯一解n階方陣時(shí)，可R R (A) < R (A)無解由行

25、列式來判斷 R (A) = R (A ) <=>有解 也 A=0有無窮多個(gè)解例題：課本P86第2大題、課本P88、課本P92、作業(yè)P11第三題(12) n元齊次線性方程組AX= O的解的情況：(只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充 要條件是只有零解，有無窮多個(gè)解的充要條件是有非零解)R R (A) = n<>只有零解(有唯一解，為0)t R (A) < n有非零解(有無窮多個(gè)解)特別地，當(dāng)A是n階方陣;A *0 =>只有零解(有唯一解，為0)時(shí)，可由行列式來判斷A=0有非零解(有無窮多個(gè)解)例題：課本P24、課本P90-91、作業(yè)P11全部24、行向量、列

26、向量、零向量、負(fù)向量的概念詳見課本P92-93將列向量組的分量排成矩陣計(jì)算時(shí)，計(jì)算過程中只做行變換，不做列變換。初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換：列變換只在矩陣中用。(行列式的性質(zhì)包括行與列的變換)手寫零向量時(shí)不必加箭頭。25、線性方程組的向量形式詳見課本P9326、線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念詳見課本P93-94例題：課本P101第6大題、作業(yè)P14第五大題27、向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)的向量組 必然線性相關(guān)線代老師課上提到的結(jié)論。28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題詳見課本P94定理3.3.1、定理3.3.2例題：課本P94

27、-95例3.3.2、課本P101第3大題、課22本P101第5大題、作業(yè)P12第3 小題、作業(yè)P12第二大題、作業(yè)P13第三大題、作業(yè)P13第四大題29、線性表示與線性組合的概念詳見課本P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系其例題詳見課本P95-96定理3.3.3例題：課本P95-96例3.3.431、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的3個(gè)定理詳見課本P96定理3.3.4、課本P97定理3.3.5、課本P98定理3.3.632、最大線性無關(guān)組與向量組的秩詳見課本P98-100定義3.3.5、定義3.3.6、定3.3.7單位列向量，即“只有一個(gè)元素為1,且其余元素都為0”的一

28、列向量（求最大線性無關(guān)組 用）例題：課本P100例3.3.5、課本P101第4大題、作業(yè)P14第六大題33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)看此內(nèi)容之前，最好先復(fù)習(xí)下n元非齊次線性方程組 AX=b的解的情況”與“ n元齊次線性方程組AX=O的解的情況”。（1） n元齊次線性方程組AX=O解的結(jié)構(gòu) 定理3.4.1:詳見課本P101-102定義3.4.1 （并理解“基礎(chǔ)解系、通解、結(jié)構(gòu)式通解、向量式通解”）：詳見課本P102 定理3.4.2:詳見課本P102解題步驟（“注”為補(bǔ)充說明）（以課本P104例3.4.1為例）：(I) A =10000100210073004100注：往“行最簡形矩陣”方向轉(zhuǎn)化（因?yàn)樵诮夥匠探M時(shí)不用列變換，所以一般沒法真正轉(zhuǎn)化成行最簡形矩陣，所以說“往方向轉(zhuǎn)化”x=2x37x44x5（II）得到同解方程組*=x33x4 x5注：由x1 2x3 7x4 4x5 =X2x3 3x4 x5= 00得到同解方程組（III） .此方程組的一組解向量為:211 =1007301041001注：在草稿紙上寫成以下形式,其中未寫出的系數(shù)有的是1有的是0, 一看便知x1 =2x37x44x5x2 =x33x4x5x3 =x3x4 =x4x5 =x5(IV)