不等式恒成立存在性問題的解題方法

1、不等式恒成立、存在性問題的解題方法一、常見不等式包成立問題解法1、用一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于一次函數(shù)f(x) kx b,x m,n有：f (x) 0包成立"m) 0 f (x) 0包成立f(n) 0例1：若不等式2x 1 m(x2 1)對(duì)滿足2解析：我們可以用變換主元的方法，將m(x2 1) (2x 1) 0,;令 f(m) m(x2 1)f (m) 0f(n) 0m 2的所有m都成立，求x的范圍。m看作主變?cè)?，即將原不等式化為?2x 1),則 2 m 2時(shí)，f(m) 0恒成2_立，所以只需f( 2) 0即2，1) (1) 0f (2) 02(x1) (2x 1) 0所以X的范圍是X (

2、七五12、利用一元二次函數(shù)判別式對(duì)于一兀二次函數(shù)f(x) ax2(1) f(x) 0在x R上包成立(2) f(x) 0在x R上包成立bx a ac 0(a 0,x R)有:0且0；1. f(x) 0解集為空集a 0且0；2. f(x) 0解集為空集a 0且例2:若不等式(m1)x2 (m 1)x 2 0的解集是R,求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù) m，所以要討論m-1是否是00(1)當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為2>0包成立，滿足題意；(2) m 1 0時(shí)，只需 m 1 0 ,所以，m 1,9)。(m 1)2 8(m 1) 03、

3、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變換使參數(shù)與主元分別位于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰,操作性更強(qiáng)。一般地有:1) f(x) g(a)(a為參數(shù))恒成立g(a) f (X)max2) f (x) g(a)(a為參數(shù))恒成立g(a) f (X)max例3已知不等式x2 2x a 0在x 1,)時(shí)何成立，求a的取值范圍解：x2 2x a。在x1,)時(shí)恒成立，只要ax2 2x在x 1,)時(shí)恒成立而易求得二次函數(shù)h(x) x22x在1,)上的最大值為3,所以a 3。例4.已知函數(shù)f(x) ax V4x x2, x (0,4時(shí)f(

4、x) 0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：將問題轉(zhuǎn)化為a %4x x對(duì)x (0,4恒成立。 x令 g(x)"x x ,則 ag(x)minx,4x x24由g(x) 1- 1可知g(x)在(0,4上為減函數(shù)，故g(x)min g(4) 0xx.a 0即a的取值范圍為(,0)注：分離參數(shù)后，思路清晰，方向明確，從而能使問題得到順利解決。4、變換主元法處理含參不等式包成立的某些問題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位” 思考，往往會(huì)使問題降次、簡化。例5 .對(duì)任意a 1,1,不等式x2 (a 4)x 4 2a 0包成立，求x的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但若

5、把a(bǔ)看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式(x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上包成立的問題。解：令f (a) (x 2)a x2 4x 4 ,則原問題轉(zhuǎn)化為f (a) 0恒成立(a 1,1)。當(dāng)x 2時(shí)，可得f(a) 0,不合題意。當(dāng)x 2時(shí)，應(yīng)有f(1) 0解之得x 1或x 3。f( 1) 0故 x 的取值范圍為 (,1) (3,)練習(xí)：1已知f(x) x2 ax 3 a ，若 x 2,2, f(x) 0恒成立，求a 的取值范圍 .2 ,對(duì)于不等式(1-m)x 2+(m-1)x+3>0當(dāng)| x |02,上式恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍；(2)當(dāng)| m |02,上式恒成立，求實(shí)數(shù)x

6、的取值范圍.3。若不等式ax2-2x+2>0對(duì)xC (1,4)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。二、存在性問題存在 x D,使得函數(shù) f(x)>a f(x) max>a存在 x C D,使得函數(shù) f(x) < a f(x) min<a例6:已知函數(shù)f(x)=x 2-ax+a,若存在x -1,2使得f(x)>0,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：法一：f(1)=1>0 ,所以對(duì) aCR,均存在 xC-1,2使得 f(x)>0.法二:原題同解于：當(dāng) x -1,2時(shí)，f(x) max> 0,即：f(-1)>0 或 f(2)>0代入可得：1+2a>

7、;0 或4 a>0得 a>或 a<4 a R練習(xí)：1。已知f(x) 2x2 2ax 3 ，若存在 x 1,2,使得 f x 0成立，求 a 的取值范圍 .2. 存在xCR,使得不等式x2 2x a成立，則a的取伯范圍是.三、有解問題不等式f(x)>a, x D有解(解集非空) f(x) ma>a不等式f(x)<a, x CD解集為空集f(x) min呈a方程f(x)=a, x D有解(解集非空) a f(x)|x D即x D時(shí)f (x)的值域。例7:方程x2- 2 x+2 a= 0在區(qū)間(0,3)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是<解：原題同解于：a = x2-2x+