1.2反常積分Γ函數(shù)ppt課件

1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一、定積分的換元法一、定積分的換元法 ( )dbaf xx( )xt( ( ) ( )dfttt5.3 內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧(第二換元第二換元)( ( ) ( )dbafxxx( ( )d ( )bafxx(第一換元第一換元)(注注:湊微分不換限湊微分不換限), ,)(aaCxf設(shè)( )daaf xx,d)(20 xxfa,0f(x)為連續(xù)偶函數(shù)時為連續(xù)偶函數(shù)時,f(x)為連續(xù)奇函數(shù)時為連續(xù)奇函數(shù)時.二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 , ,)(, )(1baCxvxu設(shè)那那么么機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 dbbaau vuvdbav u(上、

2、下限為上、下限為x的范圍的范圍)(1)!nnJJ 2, n 為偶數(shù)為偶數(shù)1, n 為奇數(shù)為奇數(shù)20sindnnIx x20cosdnx x二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分(定積分定積分)常義積分常義積分積分限有限積分限有限被積函數(shù)有界被積函數(shù)有界推廣推廣一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 反常積分反常積分 ( (廣義積分廣義積分) )5.4 5.4 反常積分反常積分 第五章第五章 (廣義積分廣義積分)一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分引例引例. 曲線曲線21xy 和直線和直線1x及及 x 軸所圍成的開口曲軸所圍成的開口曲邊梯形的面積邊梯

3、形的面積21xy A1可記作可記作12dxxA其含義可理解為其含義可理解為 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義定義1. 設(shè)設(shè), ),)(aCxf,ab 取假假設(shè)設(shè)xxfbabd)(lim存在存在 , 則稱此極限為則稱此極限為 f (x) 的無窮限反常積分的無窮限反常積分, 記作記作lim( )dbabf xx這時稱反常積分這時稱反常積分xxfad)(收斂收斂 ;如果上述極限不存在如果上述極限不存在,就稱反常積分就稱反常積分xxfad)(發(fā)散發(fā)散 .類似地類似地 , 假設(shè)假設(shè), ,()(bCxf則定義則定義xxfxxfbaabd)(l

4、imd)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( )daf xx()ab, ),()(Cxf若則定義則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù)為任意取定的常數(shù),常取常取 c =0 )只要有一個極限不存在只要有一個極限不存在 , 就稱就稱( )df xx發(fā)散發(fā)散 .無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分. ,并非不定未定式并非不定未定式 ,說明說明: 上述定義中若出現(xiàn)上述定義中若出現(xiàn) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 它表明該反常積分發(fā)散它表明該反常積分發(fā)散 . .; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx

5、則有類似則有類似N L公式的計算表達式公式的計算表達式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 注注:F(+)與與 F(-)均收斂均收斂!否則反常積分發(fā)散否則反常積分發(fā)散.若若F(x)是是f(x)的原函數(shù)的原函數(shù),引入下面記號引入下面記號,可方便反常積分的計算可方便反常積分的計算例例1. 計算反常積分計算反常積分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xoy211xy考慮考慮: ?01d2對嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積

6、分發(fā)散原積分發(fā)散 !注意注意: 對反常積分對反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性質(zhì)的性質(zhì), 否則會出現(xiàn)錯誤否則會出現(xiàn)錯誤 .例例2. 計算反常積分計算反常積分. )0(d0ptettp解解:tpept原式01dptetptpep21021.p機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 注注: 反常積分也有分部積分法、換元法等反常積分也有分部積分法、換元法等.且分部與換元的標(biāo)準(zhǔn)一般情況下與對應(yīng)的不定積分且分部與換元的標(biāo)準(zhǔn)一般情況下與對應(yīng)的不定積分是一致的是一致的.0例例3. 證明證明apxxd證證:當(dāng)當(dāng) p =1 時有時有 axxdaxlnapxxd

7、appx11當(dāng)當(dāng) p 1 時有時有 1p1p,11pap當(dāng)當(dāng) p 1 時收斂時收斂 ; p1 時發(fā)散時發(fā)散 .,因而因而, 當(dāng)當(dāng) p 1 時時, 反常積分收斂反常積分收斂 , 其值為其值為;11pap當(dāng)當(dāng) p1 時時, 反常積分發(fā)散反常積分發(fā)散 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義定義2. 設(shè)設(shè), ,()(baCxf而在點而在點 a 的右鄰域內(nèi)無界的右鄰域內(nèi)無界,0取存在存在 ,( )dbaf xx這時稱反常積分這時稱反常積分xxfbad)(收斂收斂 ;如果上述極限不存在如果上述極限不存在,就稱反常積分就稱反常積分xxfbad)(發(fā)散發(fā)散 .類似地類似地 , 假設(shè)假設(shè), ),)(baC

8、xf而在而在 b 的左鄰域內(nèi)無界的左鄰域內(nèi)無界,xxfxxfbabad)(limd)(0若極限若極限baxxfd)(lim0數(shù)數(shù) f (x) 在在 a , b 上的反常積分上的反常積分, 記作記作則定義則定義機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 則稱此極限為函則稱此極限為函 二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分0lim( )dbaf xx若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類 說明說明: ,)(,)(外連續(xù)上除點在若bcacbaxf而在點而在點 c 的的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,(也稱瑕積分也稱瑕積分)

9、無界點常稱為瑕點無界點常稱為瑕點(奇點奇點) .鄰域內(nèi)無界鄰域內(nèi)無界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(0lim( )dcaf xx0lim( )dbcf xx例如例如,xxxd11112xxd) 1(11機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 間斷點間斷點,而不是反常積分而不是反常積分. 則本質(zhì)上是常義積分則本質(zhì)上是常義積分, 則定義則定義注意注意: 若瑕點若瑕點,)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計算表達式的計算表達式 : ( )d( )bbaaf xxF x)()(aFbF( )d( )bbaaf xxF x)()(aFbF( )d( )bbaaf xxF x)()(aFbF則也

10、有類似則也有類似N L公式的公式的假設(shè)假設(shè) b 為瑕點為瑕點, 那么那么假設(shè)假設(shè) a 為瑕點為瑕點, 那那么么假設(shè)假設(shè) a , b 都為瑕點都為瑕點, 那那么么, ),(bac那那么么xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 均收斂才收斂均收斂才收斂,否則發(fā)散否則發(fā)散均收斂才收斂均收斂才收斂,否則發(fā)散否則發(fā)散注注: 上面的敘述中上面的敘述中 a b .112dxx211111x下述解法是否正確下述解法是否正確: , 積分收斂積分收斂例例4. 計算反常積分計算反常積分. )0(d022axaxa解解: 顯然瑕點為顯然瑕點為 a , 所以所以原式原式0ar

11、csinaax1arcsin2機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 討論反常積分討論反常積分112dxx的收斂性的收斂性 . 解解:由于由于120dxx101x所以反常積分所以反常積分112dxx發(fā)散發(fā)散 .原式原式0arcsin|axa2例例6. 證明反常積分證明反常積分baqaxx)(d證證: 當(dāng)當(dāng) q = 1 時時,當(dāng)當(dāng) q 1 時收斂時收斂 ; q1 時發(fā)散時發(fā)散 .baaxxdbaax ln當(dāng)當(dāng) q1 時時baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當(dāng)所以當(dāng) q 1 時時, 該反常積分收斂該反常積分收斂 , 其值為其值為;1)(1qabq當(dāng)當(dāng) q 1

12、 時時, 該反常積分發(fā)散該反常積分發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 反常積分反常積分積分區(qū)間無限積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界被積函數(shù)無界常義積分的極限常義積分的極限 2. 兩個重要的反常積分兩個重要的反常積分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明: (1) 有時通過換元有時通過換元 , 反常積分和常義積分可以互反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化相轉(zhuǎn)化 .例如例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104222112101dxxxx102

13、112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 當(dāng)一題同時含兩類反常積分時當(dāng)一題同時含兩類反常積分時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 應(yīng)劃分積分區(qū)間應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分分別討論每一區(qū)間上的反常積分.例計算例計算2d2tan sec dxtt t301d(1)xxx2tanxt機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2cos dt t解：解：上限為上限為，下限為瑕點令，下限為瑕點令311(1)(1)(1)xxxxx21sectan secttt原式原式210d(0)sxxexs10dsxxex(s1時時)為無窮限為無窮限10dsxxex(0s0時收斂時收斂)記為

14、記為10dsxxex 函數(shù)函數(shù)1. 定義定義機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 下面給出下面給出函數(shù)的幾條結(jié)論函數(shù)的幾條結(jié)論:)0(d)(01sxexsxs(2) 遞推公式遞推公式)0()() 1(ssss0d) 1 (xex1(1)( )nnn121120( )dxxex! (1)n 特別地特別地:稱為稱為函數(shù)函數(shù).12.(1)當(dāng)當(dāng)s0時時, 函數(shù)收斂函數(shù)收斂(在下冊中證明在下冊中證明)!n函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )0(d)(01sxexsxs例如例如:計算計算20dxex21212令令2,xu,xu1211ddd22xuuuu20dxex121d2uu eu

15、0+例如例如:計算計算220dxex212222令令2,2xu122,xu122dd2xuu220dxex122d2uu eu0+概率論中常用積分概率論中常用積分習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 本節(jié)要求本節(jié)要求:記住記住 函數(shù)的定義及性質(zhì)函數(shù)的定義及性質(zhì),并會應(yīng)用并會應(yīng)用 .作業(yè)作業(yè)P268 3121120( )dxxex2220d2xxex0212d22ttett22xt令2xt3210dttet13( )21 11( )221 121.2備用題備用題 1 計算計算20d(0)(1)(1)kxIkxx解解:I令令xt12021111d(1)(1)ktttt20d(1)(1)kktttt

16、201d1tt201d21tIt 01arctan 2t機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (P271 17(2)（+1）1.4, 1 ,0)(連續(xù)在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2.(分部積分分部積分)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 設(shè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 22221111() d() d .aaaaf xxf xxxxxx3. a0,證明:證證:2,xt令2211()d2aaf tttt左邊=(向右邊靠攏)

17、222111()d()d22aaaaaf ttf tttttt僅證僅證:222111() d() daaaaaf ttf tttttt令2,aut22211()d()auaauafuu211()d( )aafuuuu211() d( )aafuuuu211() d .aaf tttt所以22sinarctan.xxe dx4.求下列積分求下列積分22cos.1xxdxe422sin.1xxexdxe62660cos.sincosxdxxx320sin.sincosxdxxx(且不易求出原函數(shù)時且不易求出原函數(shù)時,負(fù)代換試負(fù)代換試)(且不易求出原函數(shù)時且不易求出原函數(shù)時, 令令x=at試）試）積分區(qū)間為對稱區(qū)間時積分區(qū)間為對稱區(qū)間時積分區(qū)間為積分區(qū)間為0 , a時時如如P245 例例6 及及P250 11(13) P265 7(2) 及及P266 14(1)0( ).f x dx令令1.xt如如266 14(2)P260 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 3第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回