1.2反常積分Γ函數(shù)ppt課件

1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 一、定積分的換元法一、定積分的換元法 ( )dbaf xx( )xt( ( ) ( )dfttt5.3 內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧(第二換元第二換元)( ( ) ( )dbafxxx( ( )d ( )bafxx(第一換元第一換元)(注注:湊微分不換限湊微分不換限), ,)(aaCxf設(shè)( )daaf xx,d)(20 xxfa,0f(x)為連續(xù)偶函數(shù)時(shí)為連續(xù)偶函數(shù)時(shí),f(x)為連續(xù)奇函數(shù)時(shí)為連續(xù)奇函數(shù)時(shí).二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 , ,)(, )(1baCxvxu設(shè)那那么么機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 dbbaau vuvdbav u(上、

2、下限為上、下限為x的范圍的范圍)(1)!nnJJ 2, n 為偶數(shù)為偶數(shù)1, n 為奇數(shù)為奇數(shù)20sindnnIx x20cosdnx x二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分(定積分定積分)常義積分常義積分積分限有限積分限有限被積函數(shù)有界被積函數(shù)有界推廣推廣一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 反常積分反常積分 ( (廣義積分廣義積分) )5.4 5.4 反常積分反常積分 第五章第五章 (廣義積分廣義積分)一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分引例引例. 曲線曲線21xy 和直線和直線1x及及 x 軸所圍成的開口曲軸所圍成的開口曲邊梯形的面積邊梯

3、形的面積21xy A1可記作可記作12dxxA其含義可理解為其含義可理解為 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 定義定義1. 設(shè)設(shè), ),)(aCxf,ab 取假假設(shè)設(shè)xxfbabd)(lim存在存在 , 則稱此極限為則稱此極限為 f (x) 的無窮限反常積分的無窮限反常積分, 記作記作lim( )dbabf xx這時(shí)稱反常積分這時(shí)稱反常積分xxfad)(收斂收斂 ;如果上述極限不存在如果上述極限不存在,就稱反常積分就稱反常積分xxfad)(發(fā)散發(fā)散 .類似地類似地 , 假設(shè)假設(shè), ,()(bCxf則定義則定義xxfxxfbaabd)(l

4、imd)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ( )daf xx()ab, ),()(Cxf若則定義則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù)為任意取定的常數(shù),常取常取 c =0 )只要有一個(gè)極限不存在只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱就稱( )df xx發(fā)散發(fā)散 .無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分. ,并非不定未定式并非不定未定式 ,說明說明: 上述定義中若出現(xiàn)上述定義中若出現(xiàn) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 它表明該反常積分發(fā)散它表明該反常積分發(fā)散 . .; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx

5、則有類似則有類似N L公式的計(jì)算表達(dá)式公式的計(jì)算表達(dá)式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 注注:F(+)與與 F(-)均收斂均收斂!否則反常積分發(fā)散否則反常積分發(fā)散.若若F(x)是是f(x)的原函數(shù)的原函數(shù),引入下面記號(hào)引入下面記號(hào),可方便反常積分的計(jì)算可方便反常積分的計(jì)算例例1. 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xoy211xy考慮考慮: ?01d2對(duì)嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積

6、分發(fā)散原積分發(fā)散 !注意注意: 對(duì)反常積分對(duì)反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性質(zhì)的性質(zhì), 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .例例2. 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分. )0(d0ptettp解解:tpept原式01dptetptpep21021.p機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 注注: 反常積分也有分部積分法、換元法等反常積分也有分部積分法、換元法等.且分部與換元的標(biāo)準(zhǔn)一般情況下與對(duì)應(yīng)的不定積分且分部與換元的標(biāo)準(zhǔn)一般情況下與對(duì)應(yīng)的不定積分是一致的是一致的.0例例3. 證明證明apxxd證證:當(dāng)當(dāng) p =1 時(shí)有時(shí)有 axxdaxlnapxxd

7、appx11當(dāng)當(dāng) p 1 時(shí)有時(shí)有 1p1p,11pap當(dāng)當(dāng) p 1 時(shí)收斂時(shí)收斂 ; p1 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散 .,因而因而, 當(dāng)當(dāng) p 1 時(shí)時(shí), 反常積分收斂反常積分收斂 , 其值為其值為;11pap當(dāng)當(dāng) p1 時(shí)時(shí), 反常積分發(fā)散反常積分發(fā)散 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 定義定義2. 設(shè)設(shè), ,()(baCxf而在點(diǎn)而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無界的右鄰域內(nèi)無界,0取存在存在 ,( )dbaf xx這時(shí)稱反常積分這時(shí)稱反常積分xxfbad)(收斂收斂 ;如果上述極限不存在如果上述極限不存在,就稱反常積分就稱反常積分xxfbad)(發(fā)散發(fā)散 .類似地類似地 , 假設(shè)假設(shè), ),)(baC

8、xf而在而在 b 的左鄰域內(nèi)無界的左鄰域內(nèi)無界,xxfxxfbabad)(limd)(0若極限若極限baxxfd)(lim0數(shù)數(shù) f (x) 在在 a , b 上的反常積分上的反常積分, 記作記作則定義則定義機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 則稱此極限為函則稱此極限為函 二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分0lim( )dbaf xx若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類 說明說明: ,)(,)(外連續(xù)上除點(diǎn)在若bcacbaxf而在點(diǎn)而在點(diǎn) c 的的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,(也稱瑕積分也稱瑕積分)

9、無界點(diǎn)常稱為瑕點(diǎn)無界點(diǎn)常稱為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)奇點(diǎn)) .鄰域內(nèi)無界鄰域內(nèi)無界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(0lim( )dcaf xx0lim( )dbcf xx例如例如,xxxd11112xxd) 1(11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn),而不是反常積分而不是反常積分. 則本質(zhì)上是常義積分則本質(zhì)上是常義積分, 則定義則定義注意注意: 若瑕點(diǎn)若瑕點(diǎn),)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計(jì)算表達(dá)式的計(jì)算表達(dá)式 : ( )d( )bbaaf xxF x)()(aFbF( )d( )bbaaf xxF x)()(aFbF( )d( )bbaaf xxF x)()(aFbF則也

10、有類似則也有類似N L公式的公式的假設(shè)假設(shè) b 為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn), 那么那么假設(shè)假設(shè) a 為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn), 那那么么假設(shè)假設(shè) a , b 都為瑕點(diǎn)都為瑕點(diǎn), 那那么么, ),(bac那那么么xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 均收斂才收斂均收斂才收斂,否則發(fā)散否則發(fā)散均收斂才收斂均收斂才收斂,否則發(fā)散否則發(fā)散注注: 上面的敘述中上面的敘述中 a b .112dxx211111x下述解法是否正確下述解法是否正確: , 積分收斂積分收斂例例4. 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分. )0(d022axaxa解解: 顯然瑕點(diǎn)為顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以所以原式原式0ar

11、csinaax1arcsin2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例5. 討論反常積分討論反常積分112dxx的收斂性的收斂性 . 解解:由于由于120dxx101x所以反常積分所以反常積分112dxx發(fā)散發(fā)散 .原式原式0arcsin|axa2例例6. 證明反常積分證明反常積分baqaxx)(d證證: 當(dāng)當(dāng) q = 1 時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng) q 1 時(shí)收斂時(shí)收斂 ; q1 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散 .baaxxdbaax ln當(dāng)當(dāng) q1 時(shí)時(shí)baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當(dāng)所以當(dāng) q 1 時(shí)時(shí), 該反常積分收斂該反常積分收斂 , 其值為其值為;1)(1qabq當(dāng)當(dāng) q 1

12、 時(shí)時(shí), 該反常積分發(fā)散該反常積分發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 反常積分反常積分積分區(qū)間無限積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界被積函數(shù)無界常義積分的極限常義積分的極限 2. 兩個(gè)重要的反常積分兩個(gè)重要的反常積分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 說明說明: (1) 有時(shí)通過換元有時(shí)通過換元 , 反常積分和常義積分可以互反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化相轉(zhuǎn)化 .例如例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104222112101dxxxx102

13、112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí)當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 應(yīng)劃分積分區(qū)間應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分分別討論每一區(qū)間上的反常積分.例計(jì)算例計(jì)算2d2tan sec dxtt t301d(1)xxx2tanxt機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2cos dt t解：解：上限為上限為，下限為瑕點(diǎn)令，下限為瑕點(diǎn)令311(1)(1)(1)xxxxx21sectan secttt原式原式210d(0)sxxexs10dsxxex(s1時(shí)時(shí))為無窮限為無窮限10dsxxex(0s0時(shí)收斂時(shí)收斂)記為

14、記為10dsxxex 函數(shù)函數(shù)1. 定義定義機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 下面給出下面給出函數(shù)的幾條結(jié)論函數(shù)的幾條結(jié)論:)0(d)(01sxexsxs(2) 遞推公式遞推公式)0()() 1(ssss0d) 1 (xex1(1)( )nnn121120( )dxxex! (1)n 特別地特別地:稱為稱為函數(shù)函數(shù).12.(1)當(dāng)當(dāng)s0時(shí)時(shí), 函數(shù)收斂函數(shù)收斂(在下冊(cè)中證明在下冊(cè)中證明)!n函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 )0(d)(01sxexsxs例如例如:計(jì)算計(jì)算20dxex21212令令2,xu,xu1211ddd22xuuuu20dxex121d2uu eu

15、0+例如例如:計(jì)算計(jì)算220dxex212222令令2,2xu122,xu122dd2xuu220dxex122d2uu eu0+概率論中常用積分概率論中常用積分習(xí)題課 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 本節(jié)要求本節(jié)要求:記住記住 函數(shù)的定義及性質(zhì)函數(shù)的定義及性質(zhì),并會(huì)應(yīng)用并會(huì)應(yīng)用 .作業(yè)作業(yè)P268 3121120( )dxxex2220d2xxex0212d22ttett22xt令2xt3210dttet13( )21 11( )221 121.2備用題備用題 1 計(jì)算計(jì)算20d(0)(1)(1)kxIkxx解解:I令令xt12021111d(1)(1)ktttt20d(1)(1)kktttt

16、201d1tt201d21tIt 01arctan 2t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (P271 17(2)（+1）1.4, 1 ,0)(連續(xù)在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2.(分部積分分部積分)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2. 設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 22221111() d() d .aaaaf xxf xxxxxx3. a0,證明:證證:2,xt令2211()d2aaf tttt左邊=(向右邊靠攏)

17、222111()d()d22aaaaaf ttf tttttt僅證僅證:222111() d() daaaaaf ttf tttttt令2,aut22211()d()auaauafuu211()d( )aafuuuu211() d( )aafuuuu211() d .aaf tttt所以22sinarctan.xxe dx4.求下列積分求下列積分22cos.1xxdxe422sin.1xxexdxe62660cos.sincosxdxxx320sin.sincosxdxxx(且不易求出原函數(shù)時(shí)且不易求出原函數(shù)時(shí),負(fù)代換試負(fù)代換試)(且不易求出原函數(shù)時(shí)且不易求出原函數(shù)時(shí), 令令x=at試）試）積分區(qū)間為對(duì)稱區(qū)間時(shí)積分區(qū)間為對(duì)稱區(qū)間時(shí)積分區(qū)間為積分區(qū)間為0 , a時(shí)時(shí)如如P245 例例6 及及P250 11(13) P265 7(2) 及及P266 14(1)0( ).f x dx令令1.xt如如266 14(2)P260 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 3第五節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回