回歸模型的殘差分析

1、回歸模型的殘差分析山東 胡大波判斷回歸模型的擬合效果是回歸分析的重要內(nèi)容，在回歸分析中，通常用殘差分析來判斷回歸模型的擬合效果。下面具體分析殘差分析的途徑及具體例子。一、殘差分析的兩種方法1、差分析的基本方法是由回歸方程作出殘差圖，通過觀測殘差圖，以分析和發(fā)現(xiàn)觀測數(shù)據(jù)中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤以及所選用的回歸模型是否恰當(dāng)；在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平區(qū)域中，說明選用的模型比較合適， 這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄， 說明模型的擬合精 度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。nA(yi yJ22、可以進(jìn)一步通過相關(guān)指數(shù)R2 1 冷來衡量回歸模型的擬合效果,(yi y)2i 1規(guī)律是R2越大，殘差平方和就越小，從

2、而回歸模型的擬合效果越好。二、典例分析：(2)列表計(jì)算:次數(shù)Xi成績yiXi2y"Xi yi3030900900900333410891156112235371225136912953739136915211443394215211764163844461936211620244648211623042208505125002601255082Xi由上表可求得x 39.25, y40.875 ,12656Y； 13731 ，18Xiyii 113180，所以8(Xii 18- (Xi x)2i 1x)(yiy)Xi yii 182Xii 18xy1.0415.2Xx 0.00302，

3、(3)計(jì)算相關(guān)系數(shù)所以回歸直線方程為1.0415X0.00302.將上述數(shù)據(jù)代入8 Xi yi 8xyi 1得r0.992704，查表可知.8 2 -2 8 2 -2. (Xi 8x )( yi 8y )i 1i 1r0.050.7°7，r°.05，故y與X之間存在顯著的相關(guān)關(guān)系。(4)殘差分析：作殘差圖如圖2，由圖可知，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比 較合適。計(jì)算殘差的方差得2 0.884113，說明預(yù)報(bào)的精度較高。(5)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2計(jì)算相關(guān)指數(shù) R2 = 0.9855說明該運(yùn)動(dòng)員的成績的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的。(6 )做出預(yù)報(bào)A

4、由上述分析可知，我們可用回歸方程y 1.0415X 0.00302.作為該運(yùn)動(dòng)員成績的預(yù)報(bào)值。將x= 47和x= 55分別代入該方程可得 y= 49和y= 57,故預(yù)測運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練 47次和55次的成績分別為 49和57.點(diǎn)評(píng)：一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在 線性關(guān)系等）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方 程 y= bx+ a）;（4） 按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；（5）得出結(jié)果后分析殘差圖

5、是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī) 的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。例2、某城區(qū)為研究城鎮(zhèn)居民月家庭人均生活費(fèi)支出和月人均收入的相關(guān)關(guān)系，隨機(jī)抽取10戶進(jìn)行調(diào)查，其結(jié)果如下:月人均收入x/元月人均生活費(fèi)y/元3002553903244203355203605704507005207605808006008506301080750試預(yù)測人均月收入為 1100元和人均月收入為1200元的兩個(gè)家庭的月人均生活費(fèi)。 解答：作出散點(diǎn)分布圖如圖，由圖可知，月人均生活費(fèi)與人均收入之間具有線性相關(guān) 關(guān)系。_ _ 10通過計(jì)算可知X 639, y 480.4,

6、x2i 1104610300 ,y2i 12540526 ,1010Xi yii 13417560 ,所以Xiyi 10xyi 1102Xi0.6599.-210xy x 58.751，所以回歸直線方程為y 0.6599X 58.751.計(jì)算相關(guān)系數(shù)得r0.993136，而查表知r°.050.632，故月人均收入與月人均生活費(fèi)之間具有顯著相關(guān)關(guān)系。作殘差圖如圖，由圖可知，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適。計(jì)算相關(guān)指數(shù)得R2 = 0.9863,說明城鎮(zhèn)居民的月人均生活費(fèi)的差異有98.63%是由月人均收入引起的。A由以上分析可知，我們可以利用回歸方程y 0.6599X 58.751.來作為月生活費(fèi)的預(yù)報(bào)值。將x= 1100代入回