直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式學(xué)案1必修2

1、研卷知古今；藏書教子孫。“點(diǎn)到直線的距離”“點(diǎn)到直線的距離”這一節(jié)課，常規(guī)教案中教師直接提出問題 “已知一點(diǎn)坐 標(biāo)，一直線方程，怎樣求該點(diǎn)到直線的距離？”并且分析了思路，隨后推出點(diǎn)到 直線的距離公式以及兩平行線間的距離公式，要求學(xué)生記憶并應(yīng)用。這樣的設(shè)計(jì) 是以一個(gè)教師的角度出發(fā)，把自己認(rèn)為比較順的一個(gè)變化過(guò)程呈現(xiàn)給了學(xué)生，教師一講到底，既沒有師生間的呼應(yīng)，也沒有學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦的探究，教室成 為了老師表演的舞臺(tái)。針對(duì)這些情況，復(fù)習(xí)引入時(shí)，我們可以有意識(shí)地涉及兩直線的交點(diǎn)及直線問 的關(guān)系，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中自己發(fā)現(xiàn)尚未解決的問題，應(yīng)用變式使新授知識(shí)在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到生長(zhǎng)點(diǎn)，自然的引出新問題。首

2、先，我們來(lái)回顧一下上節(jié)課所學(xué)“交點(diǎn)”的內(nèi)容。練習(xí)：求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且經(jīng)過(guò)下面直線的交點(diǎn)的直線方程 ：li：x -2y 2 =0;l2: 2x -y -2 =0.的 x-2y 2=0 x=2解：-2x-y-2 =0 y=2所以，li與I2的交點(diǎn)為(2, 2)。故所求直線為y=x。變式1求經(jīng)過(guò)直線li , I2交點(diǎn)且與直線3x + y-1 = 0平行的直線l的方程。解：直線l與直線3x + y -1 =0平行，故直線l的斜率k = -3 ,由點(diǎn)斜式知直線l的方程為3x + y-8 = 0。變式2 已知：點(diǎn)P (-1, 2),直線 l : 2x+y10=0求：點(diǎn)P到直線l的距離圖2-1變式2圖像解：過(guò)點(diǎn)P

3、作直線PQ_L l于點(diǎn)Q,則|PQ即為點(diǎn)P到直線l的距離。因?yàn)镻Q_L l ,所以直線l，1的斜率kPQ = -,2由點(diǎn)斜式得直線PQ的1方程 Ipq : y-2=- (x + 1),2y - x - 5 =0 x - 3聯(lián)乂兩式-2x y- 1 0 0 y 4得點(diǎn)Q坐標(biāo)為(3, 4)。由兩點(diǎn)間距離公式得d = PQ = J(3+1)2 +(4-2)2 =屈=2底師：還有其他方法嗎？(師：提示：解決幾何問題時(shí)，我們常常通過(guò)作輔助線來(lái)幫助我們解決不能直接 解決的問題。)(學(xué)生積極思考，在草稿上畫圖，嘗試作輔助線，努力尋求新的方法)生：作輔助線：過(guò)點(diǎn)P作直線PQ垂直直線l于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)P作直線y=2

4、交直線l于點(diǎn)R ( x1，2),作直線x = 1交直線l于點(diǎn)S ( -1 , 丫2),構(gòu)成直角三角形RPS。R、S分別為直線l與兩條輔助線的交點(diǎn)，可求出 R、S的坐標(biāo)為R (4,12), S (-1, 12) o把PS看作底邊，此時(shí)其面積表小為 S =- |PR - PS ;把RS 1PR PS = PQ - RS ,故 d= PQ =PR |-PSRS5 10看作底邊，此時(shí)其面積表小為S2 = PQ - RS o同一二角形面積相等，有師：我們來(lái)看下面的問題。例 1.已知：一點(diǎn) P （ x0, y0）,直線 l: Ax + By +C = 0。圖2-3例1圖（2）求：點(diǎn)P到直線l的距離圖2-2

5、例1圖（1）（留時(shí)間讓學(xué)生思考，演算） 師：有同學(xué)有思路嗎？生：這一題實(shí)際上就是將上一題中的數(shù)字變成了字母，我們可以過(guò)點(diǎn)P做PQ! l于點(diǎn)Q,則d = PQ ,即為所求。由PQ_L l ,可知直線PQ的斜率為-（A¥0）。A根據(jù)點(diǎn)斜式可寫出直線PQ的方程，并由l與PQ的方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；由此 根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出 PQ ,得到點(diǎn)P到直線l的距離d師：很好，這位同學(xué)找出了解決這個(gè)問題的一種方法， 請(qǐng)同學(xué)們按這種方法演算一下。（幾分鐘后，仍然沒有學(xué)生的出最后結(jié)果，有學(xué)生停止運(yùn)算，重新思考，部分學(xué) 生發(fā)出疑問）生：這種題用數(shù)字來(lái)算容易得出結(jié)果，但如果換成字母就非常復(fù)雜，有沒有別的 方法

6、呢？師：這種方法是一種基本方法希望大家掌握， 這種方法思路自然，但對(duì)于字母運(yùn) 算較為復(fù)雜，現(xiàn)在我們就一起來(lái)探討其他的方法，有沒有同學(xué)有思路？生：過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，交l于點(diǎn)R （My。）；作y軸的平行線，交l于點(diǎn)S（xo,y2）。構(gòu)成三角形 PRS,用等面積法有|PR - |RS = PQ | PS ,又 d=PQ=里譬 只要用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出|PR、|PS、|RS就可以得出PQRS了。師：非常好，我們一起按這種思路來(lái)試一下，大家注意這里他作的圖中的直線l是 與x軸，y軸都有交點(diǎn)的，也就是說(shuō)隱藏了一個(gè)條件，直線方程中A#0, B#0。解：A#0, B#0,這時(shí)l與x軸、y軸者B相交。過(guò)P作x

7、軸的平行線，交l于點(diǎn)R ( % , y0 );作y軸的平行線，交l于點(diǎn)S (。，y2 )。由A x1+B y0 +C=0,A x0+B y2 +C=0 得所以，PR = x。-x1 =-By。- Cxi =;，AAx。 By0 C-Ax。-C心二-。DCAx°+Byo+CPS= V。f =Ax。By。C從三角形面積公式可知d PS=PR P S所以Axo+By。+C,A2 B2師：這里我們討論的是 A#。，B#。的情況，那么當(dāng)直線方程中 A=0或B=。時(shí) 我們還能這樣算嗎？生：能。師：為什么？生：畫圖知，當(dāng)A=。時(shí)，直線l與x軸平行，則點(diǎn)P到直線l的距離為By。 C-B2當(dāng)B=0時(shí)，直線l與y軸平行，則點(diǎn)P到直線l的距離為z/ C. c |a%+c-口廠年-，它們都滿足上面的式子師：它滿足所有的情況，所以今后我們只要遇到同類的問題都可以這樣來(lái)算，也可以直接用上面的式子來(lái)算，我們把這個(gè)式子成為點(diǎn)到直線的距離公式A