高中數學專題講義-直接證明與間接證明

1、板塊二.直接證明與間接證明典例分析題型一：綜合法11【例1】若1-0,則下列結論不正確的是()a bA. a.【例5】下面的四個不等式： a2 b2 c2 ab bc ca ；a 1 a ；4a b22222 2;a b ? c d ac bd .其中不成立的有 b a(A) 1 個 (B) 2 個(C) 3 個(D) 4 個 2 【例6】已知a,b R且a,b 0 ,則在? ab ;b - 2； 2a bb2B. abb2 c. 2 D. a b | a ba b【例2】如果數列an是等差數列，則（(A) a-a4%(B)qa8a4 a5(C) a-a8a4a5(D) a-a8a4a5(D)

2、 300 或 1500【例3】在 ABC中若b 2asin B,則A等于()(A) 300或600(B) 450或600(C) 600或 1200【例4】下列四個命題：若0 a 11【例 12】設 a 0,b 0,e 0,右a b e 1,則一一一 ,則cos 1 a cos 1 a若0 a 1 ,則 2若a、b R,則a2 b2 ab 1 a b。其中正確的是(A)(B)(C)02a ;若 x、y R,滿足 y x2,則 log2 2x2y的最小值是7 ; 8)。(D)【例8】已知不等式(x y)(-) x y( )A. 2B, 4【例9】、 為銳角a sinab （2_b）2；（£

3、;_b）1 a b e【例13】函數y f x在（0, 2）上是增函數，函數 y f x 2是偶函數，則f 1 , f 2.5 , f 3.5的大小關系是 a_b-這四個式子中，恒成立的個數是 222（ ）A1個 B2個C3個 D4個【例7】已知a,b,c均大于1,且logac 10gbe 4,則下列各式中，一定正確的是 （）A ac b B ab e C be a D ab e9,對任意正實數x, y恒成立，則正實數a的最小值是C. 6D. 8sin ，則a、b之間關系為C. a bD.不確定BAC 30 ,定義 f (M) (m,n,p),【例10】設M是 ABC內一點，且 AB AC 2

4、曲,11 4其中m、n、p分別是 MBC , MCA, MAB的面積，若f(P) (,x,y),則- 2x y的最小值是()A. 8B. 9C. 16D. 183o【例11】右函數y (m 1)x 2mx 3是偶函數，則f( 一)，f (a a 1) (aC R)43【例14】已知2,b 5 ,向量a與b的 夾角為120° ,則（2a b）. a =的大小關系是f( 3)f(a2 a 1). 4【例15】定義運算a ba (a b),例如, b (a b)12 1,則函數f (x)x2 (1 X)的最大【例16若a b c , n值為N*,且恒成立，則n的最大值是 a b b c a

5、 c【例17】已知集合M是滿足下列條件的函數f (x)的全體：當X 0,)時，函數值為非負實數；對于任意的s,t 0,),都有f(s) f(t) f(s t)在三個函數f,(x) x, f2(x) 2X 1,f3(x) ln(x 1)中，屬于集合M的是 。【例18】給出下列四個命題：若a b 0,則工工； a b11右a b 0,則a b 一；ab若a b 0 ,則當一b -; a 2bb若a0,b0,且2ab1,則2二的最小值為9. a b其中正確命題的序號是 .(把你認為正確命題的序號都填上)【例19如圖，在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD中，當底面四邊形 ABCD滿足條件(或任何能推導

6、出這個條件的其他條件，例如ABCD是正方形、菱形等)時，有AiCBiDi (注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情 形)圖【例20】用一根長為12m的鋁合金條做成一個“目”字形窗戶的框架(不計損耗)，要使這個窗戶通過的陽光最充足，則框架的長與寬應為 .【例 21】若 a, b , c 0 ,求證：abc > (a b c)(b c a)(a c b).【例22】若a , b , c R ,求證:aabbcb > (abc)abc-3-【例23】已知a, b, c是全不相等的正實數，求證aJ a 3abc【例24】證明：已知：a Qb 0 ,求證：a= 2日 <

7、b b . a【例25】已知 (。，,工求丫 sin cos2的最大值。(ax ay)2 1【例 26】設 0 a 1, x y 0,求證：log a log a -.【例27】某公司一年購買某種貨物 400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的 總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x 噸.【例28】在銳角三角形 ABC中，求證：sin A sin B sinC cosA cosB cosC題型二：分析法【例29】設m n , x m4 m3n , y n3m n4,則x與y的大小關系為()。(A) x y;(B) x y;(C) x y;(D) x y【例30

8、】已知 c 1,a Jd Jc,b Vc 后7,則正確的結論是()。(A) a b(B)a b(C)a b(D)a、b大小不定【例31】設a、b、m都是正整數，且avb,則下列不等式中恒不成立的是（(A)(D)abab(B)(D)【例32】已知f n不能等于(A)f(1) +2f(1)+ nf (1)n(n 1)(B) f 2(C)n(n+1)(D)n (n+1) f (1)【例33脆2晚與再近的大小關系是.【例34】在十進制中2004 4100010101022103,那么在5進制中數碼2004折合成十進制為?！纠?5】設P V2,Q 77 后R 展 J2 ,那么P, Q, R的大小順序【例

9、36】有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎?！币艺f：“甲、丙都未獲獎?！北f：“我獲獎了?！倍≌f：“是乙獲獎。”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是 【例 37】若 a, b,c是 ABC的三邊長，求證：a4 b4 c4 2(a2b2 b2c2 c2a2)【例38】AABC的三個內角A、B、C成等差數列,求證:【例39】用分析法證明：若a>0,則'a2 -y V2 a - 2 aa【例40】設f(x) ax2bx c(a 0)若函數f (x 1)與f (x)的圖象關于軸對稱，求證1 ，一一f (x 5)為偶函數【例41

10、】自然狀態(tài)下魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其 再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n N，且>0.不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量 都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數依次為正常數a,b,c.(I )求xn 1與xn的關系式；(II)猜測：當且僅當x1, a,b,c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持 不變？(不要求證明)【例42】設函數f (x) xsin x(x R).(1)證明：f (x 2k ) f (x) 2k sin x, k Z ；4(2)設xo為f (x)的一個極值點，證明f(x

11、o)2 x°y1 xo(1)若 a b c 且 f 10,證明：f x的圖像與x軸有兩個相異交點(2)證明：若對 x1,x2,且 x1 x2 , f x1f x2，則方程f xf x1f x22【例43】已知二次函數f x ax2 bx c,必有一實根在區(qū)間(為，x2 )內;(3)在(1)的條件下，是否存在m R,使f m a成立時，f m 3為正數.題型三：反證法【例44下列表中的對數值有且僅有一個是錯誤的:x358915lg x2a ba c3 3a 3c4a 2b3a b c 1請將錯誤的一個改正為 lg =【例45】用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時

12、，反設正確的是()(A )假設三內角都不大于 60° ;(B)假設三內角都大于 60° ;(C)假設三內角至多有一個大于60° ; (D)假設三內角至多有兩個大于 60°。【例46】已知p3 q3=2,關于p+q的取值范圍的說法正確的是()(A) 一定不大于2(B) 一定不大于2<2(C) 一定不小于2顯(D) 一定不小于2【例47】否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()(A)有一個解(B)有兩個解(C)至少有三個解(D)至少有兩個解1 11【例48】設a,b,c大于0,則3個數：a 1, b 1, c的值()bca(A)都大于2(B)至少

13、有一個不大于 2(C)都小于2(D)至少有一個不小于 2【例49】已知a n § = l, a a、b § ,若a、b為異面直線，則()(A) a、b都與l相交(B) a、b中至少一條與l相交(C) a、b中至多有一條與l相交 (D) a、b都與l相交【例50】用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60° ”時，反設正確的是()A、假設三內角都不大于 60度； B、假設三內角都大于 60度；C、假設三內角至多有一個大于 60度；D、假設三內角至多有兩個大于 60度?！纠?1】命題“關于x的方程ax 0(a 0)的解是唯一的”的結論的否定是()A、無解B

14、、兩解C、至少兩解D、無解或至少兩解【例52】用反證法證明命題“如果 a b,那么 指 循”時，假設的內容應為 .【例53】用反證法證明" f(x) x2 px q ,求證：| f,| f，| f(3)|中至少有一個1不小于1 ”時的假設為2【例54】用反證法證明“若a b>0,則22 a 1 2 b ”時的假設為 a b【例55】用反證法證明命題“ a,b N,ab可以被5整除，那么a,b中至少有一個能被5整 除?！蹦敲醇僭O的內容是【例56】證明： 械,j3,非不能為同一等差數列的三項.【例57】對于直線1:尸kx+1,是否存在這樣的實數 k,使得l與雙曲線C: 3x2y2

15、=1的交點A、B關于直線y=ax (a為常數)對稱？若存在，求出 k的值；若不存 在，請說明理由?！纠?8】已知a, b R , a3 b3 = 2 ,求證：a b < 2【例 59】若 a,b,c 均為實數，且 a x2 2y - ,b y2 2z ,c z2 2x 一。 236求證：a,b,c中至少有一個大于 0。【例60】求證：形如4n 3的正整數不能寫成兩個整數的平方和【例 61若 a10、a11 , a n 12 an (n 1,2,)1 an求證：an 1 an ;1(2)令a11,寫出a2、a3、a,、a5的值，觀察并歸納出這個數列的通2項公式a(3)證明：存在不等于零的常

16、數 P.使 " P是等比數列,并求出公比q的值. an【例62】設a 0,函數f(x) x3 ax在1,)上是單調函數.(1)求實數a的取值范圍；(2)設 X0 > 1, f (x) > 1,且 f (f(X0) X0,求證：f(X0) X0.【例63】設集合W由滿足下列兩個條件的數列an構成：an an 2an 1 ；2存在實數M ,使為 w M . ( n為正整數)在只有5項的有限數列an,bn中，其中a11 , a2 2 ,a33,a44 , a5 5;“ 12 4, b3 5 , b4 4 ,b5 1 ;試判斷數列2 , bn是否為集合 W的元素；設Cn是各項為正

17、的等比數列，Sn是其前n項和，C3 - , S3 7,44證期數列1 W ；并寫出M的取值范圍；設數列dn W,且對滿足條件的M的最小值M0,都有dn Mn n N* .求證：數列dn單調遞增.【例64】設f(x)是定義在0,1上的函數，若存在 x (0,1),使得f(x)在0,x 上單 、一、»、 > _ * . . . . . .調遞增，在x ,1上單調遞減，則稱f(x)為0,1上的單峰函數，x為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間.對任意的0,1上的單峰函數f(x),下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法.(1)證明：對任意的 x1,x2 (0,1), x1x2，若 f(x1)f (x2)，則(0, x2)為含峰區(qū)間；若f(xj f(x2),則(Xi,1)為含峰區(qū)間；Xi 2r ,使得(2)對給定的r(0 r 0.5),證明：存在十公 (0,1),滿足X2由(1)所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5 r ;(3)選取 x1,x2（0,1）, XiX2,由（1