臨近高考再談兵

1、臨近高考再談兵介紹5年高考及備考中幾道“不小的小題”（詳解）數(shù)學(xué)思想的精髓，是以最少的代價(jià)去獲取最大的成果.這也就是孫子兵法中以少勝多,甚至“不戰(zhàn)而屈人之兵”的思想. 現(xiàn)在離2010年的高考僅有一個(gè)月了,讓考生們到那些多如牛毛的調(diào)考題,月考題,周考題,甚至天天練中去掙扎,既不現(xiàn)實(shí),也不可能有多大的效果為此，筆者精選了5年高考及備考中幾道“不小的小題”，試圖用孫子兵法的思想加以探究，并公布出來(lái)，希望對(duì)今年參加高考的學(xué)子們有所幫助.（一）數(shù)形結(jié)合，借尸還魂【題1】（2009.遼寧卷12題）若滿(mǎn)足2x+=5, 滿(mǎn)足2x+2(x-1)=5, +=（ ）（A） (B)3 (C) (D)4【分析】本題有“

2、數(shù)”無(wú)“形”，僅靠枯燥的數(shù)字分析或推理，試圖分別求出x1與x2，再求它們的和是不可能的.唯一的出路是“借尸還魂”，到圖中去尋找答案.【解析】.將條件式改寫(xiě)為及.令 .如圖，曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).設(shè)直線分別與曲線及直線交于，則點(diǎn)A,B亦關(guān)于圖1點(diǎn)M對(duì)稱(chēng).由，故選C.（二）調(diào)虎離山 命題轉(zhuǎn)換1開(kāi)始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色先染1，再染2個(gè)偶數(shù)2、4；再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5、7、9；再染9后面最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；再染16后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，則在這

3、個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開(kāi)始的第2010個(gè)數(shù)是 高考資源網(wǎng)【分析】按題示規(guī)則,對(duì)全體正整數(shù)操作如下：36811131518202224272931333538如果僅就現(xiàn)在的排列方法,很難找出規(guī)律.于是想到:何不將那些“染紅”了的數(shù)調(diào)出來(lái),用適當(dāng)?shù)姆绞街匦屡帕心?【解析】在以上各數(shù)中，我們將所有打了圈的數(shù)稱(chēng)為“合格數(shù)”， 12 45 7 9 10 12 14 16 17 19 21 23 25并將所有“合格數(shù)”按奇,偶相間的原則列成三角形數(shù)表如圖2：立即發(fā)現(xiàn)其排列規(guī)律是：1.第n行的最后1個(gè)數(shù)字是；2.前n行共有個(gè)“合格數(shù)”數(shù).題目已經(jīng)暗示：2010一定是“合格數(shù)”,設(shè)2010位于這張表的第n行,那

4、么：,即圖3圖2 ,故滿(mǎn)足（1）式的最大值是63. 當(dāng)n=63時(shí),最后1個(gè)數(shù)是第個(gè),其值為,這是個(gè)奇數(shù).據(jù)此,這一行應(yīng)全為奇數(shù).由此倒推6數(shù),則第2010個(gè)“合格數(shù)”是3969-2×6=3957.（三）抽絲剝繭,水落石出【題3】滿(mǎn)足：且,則圖3中第5行所有數(shù)的和是（ ）A.62 B.64 C.32 D.34【分析】求和的前提條件是找出這個(gè)遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式.可是由遞推關(guān)系找到求通項(xiàng)的規(guī)律,不是輕而易舉的事,需要作逐步精密的探究.如果不作,這道題很難.【解析】第一步：遞推關(guān)系式的右式,分子的次數(shù)高于分母的次數(shù),且分子為單項(xiàng)式,分母為多項(xiàng)式,不便于推理運(yùn)算,因此考慮岸邊取倒數(shù).由第二步,

5、由以上結(jié)果及,知是首項(xiàng)且公差d=1的等差數(shù)列.這個(gè)“過(guò)渡數(shù)列”的通項(xiàng)公式是：.第三步,我們發(fā)現(xiàn)雖然不是等比數(shù)列,但其比值是一個(gè)簡(jiǎn)單的一次式.這種情況適合“疊乘法”求通項(xiàng)：已知這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（n=1也適合）于是“水落石出”,圖5中第5行所有數(shù)的和是：故選A.（四）瞞天過(guò)海 暗云飛渡【題4】（武漢二月調(diào)考.15題）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F,設(shè)P為第一象限內(nèi)曲線上的任意一點(diǎn)，若PFA=FAP,則的值為【分析】無(wú)論是選擇題,還是填空題,都是無(wú)需講道理的.既如此,解題人就可以省去一切繁文縟節(jié),“不擇手段”地去找出正確的答案.顯然,本題的答案與非零實(shí)數(shù)a的取值范圍無(wú)關(guān),我們就可以挑選一個(gè)最

6、便于計(jì)算的特殊位置解之.xyOA（-a,0）F（2a,0）P（2a,3a）圖4-1【解析】如圖4，取圖形的特殊位置,使PFAF.由條件知有A（-a,0）,F（2a,0）.在雙曲線方程中令x=2a,有：.得P（2a,3a）.在直角三角形AFP中，PAF=45°，而PFA=90°=2PAF.=2.【說(shuō)明】（1）原題沒(méi)有對(duì)點(diǎn)P在第一象限曲線上的位置有所限制，這意味著的取值與點(diǎn)P的具體位置無(wú)關(guān)，也就是是一個(gè)常數(shù).這就是本題可以取特殊位值的根本原因.（2）本題源于如下軌跡題：已知定點(diǎn)A（-a,0）,F（2a,0）.xyOA(-a,0)F(2a,0)P(x,y)圖422一動(dòng)點(diǎn)p（x,y

7、）滿(mǎn)足PFA=2PAF,求點(diǎn)P的軌跡.【解析】如圖42，設(shè)PAF=，則PFA=2.由正切的二倍角公式：所求軌跡為雙曲線的右支（不含右頂點(diǎn)）.（五）他山之石 可以攻玉（3,1）的直線交x軸正半軸于A, 交y軸正半軸于B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB周長(zhǎng)的最小值為（ ）A.8 B.10 C.12 D.【分析1】本題是名副其實(shí)的“不小的小題”，不能用特殊值法解決，從形式上看，由于題中有坐標(biāo)系為背景，是一道解析法求最值的問(wèn)題.但是若真用解析幾何的方法去做，卻何其難也.假如思考方向不限于解析法，例如用三角法去做，卻是“山窮水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”O(jiān)ABP(2,1)xyMN1122【解析1】如圖1，作PMx

8、軸于M，PNy軸于N，則ON=2,ON=1.設(shè)OAB=NPB=，則NB=2ton,MA=cot,AP=csc,PB=2sec.于是OAB的周長(zhǎng)圖511于是，故選B.【說(shuō)明】進(jìn)一步研究：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等式成立.此時(shí).于是，滿(mǎn)足OA+AB+OB=10.【分析2】在華中師大數(shù)學(xué)通訊網(wǎng)站上，一位朋友利用幾何思想給出了本題的絕妙解法，現(xiàn)介紹如下：xyOP(2,1)ABMNQ(a,a)H圖52【解析2】首先證明：直角三角形的周長(zhǎng)等于其斜邊上旁切圓的直徑.如圖2，設(shè)直角OAB斜邊上旁切圓的圓心為Q（a,a）作QHAB于H, QMx軸于M，QNy軸于N那么QM=QN=QH=a.由QAMQAP知QM=QH,且A

9、M=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.連PQ,則.令即（舍），或.于是所求OAB的最小值為L(zhǎng)=2a=10.本題還可以用導(dǎo)數(shù)法求解,這里從略.（六）避實(shí)擊虛 反客為主【題6】(2007.北京海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)期中試題8)：已知函數(shù).若實(shí)數(shù)使得有實(shí)根，則的最小值為（）(A) （B） （C）1 （D）2【分析題目給定的是關(guān)于變量x的分式方程,就提論題地去做,無(wú)異于打一場(chǎng)耗時(shí)費(fèi)力的攻堅(jiān)戰(zhàn),希望渺茫.但若將方程中的輔助變量a,b“反客為主”,則在我們面前很快展現(xiàn)出一方可以自由馳騁的新天地.【解解析】將改寫(xiě)為：.令在直角坐標(biāo)系aOb中，設(shè)為直線（1）上一點(diǎn)，則.又設(shè)原點(diǎn)到直線

10、（1）的距離為，那么再令上增，故.也就是的最小值為，選（A）（七）擒賊擒王 解題尋根【題7】（）：在這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A，0 B，1 C，2 D，3【分析】雖然是一道小題，可就是這一道不起眼的小題，那一屆卻難倒了一大批考生.即使是考后，有些教師為了解這道題也費(fèi)了九牛二虎之力.為什么因?yàn)轭}中的四個(gè)函數(shù)，如果逐一探究，哪都不是省油的燈.為此人們不得不反思：擒賊擒王，解題尋根.這道題的根究竟在哪里呢？原來(lái)除直線函數(shù)外，無(wú)論什么函數(shù)的圖像都是曲線，而曲線只有“上凸”和“下凹”兩種簡(jiǎn)單形式，這就是本題的“根”.【解析】解本題應(yīng)先掌握凸，凹函數(shù)的性質(zhì)，如圖61，曲線在弦AB的上方，

11、我們稱(chēng)它是上凸的函 數(shù)，在曲線上任取兩點(diǎn)A，B，作有 圖62圖61交于C，AB于M，那么 ，如圖 62，曲線在弦AB的下方，我們稱(chēng)它是下凹的函 數(shù)，同理，由，又說(shuō)明下凹函數(shù)有性質(zhì)：以上結(jié)論與曲線所在象限無(wú)關(guān)，這是因?yàn)榍€經(jīng)過(guò)平移后，不影響它們的數(shù)量關(guān)系. 題中的四個(gè)函數(shù)， 所以在（0，1）內(nèi)，式子不是恒成立。又是下凹的，只有是上凸的，這就是說(shuō)，在（0，1）內(nèi)，使式子恒成立的函數(shù)只有一個(gè)。選B。（參看圖7，14）。圖74圖73圖72圖71后記：無(wú)獨(dú)有偶，今年的北京卷也有類(lèi)似的試題：對(duì)于函數(shù)，有如下結(jié)論： 當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是本題的正確答案是，它與湖北卷第6題有異曲同工之妙. （八）惜

12、墨如金 小題小作將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（ ）A B C D 【說(shuō)明】對(duì)于這一題，筆者從某參考資料上看到的答案十分繁雜，原文如下：【解析】正四面體的高最小時(shí)，即四個(gè)小鋼球與正四面體的各個(gè)面相切。首先求出一個(gè)小球的球心O1到另三個(gè)小球球心所在平面O2O3O4的距離（如圖7-1）。O1O2=O2O3=O3O4=O4O1=2 O2E= O2O= OO1=然后再求出最上面的小球的球心O1到正四面體的頂點(diǎn)A的距離AO1，（如圖7-2）設(shè)AB=x 則BO，= OA= O1A=-1=O1BAO，O，B O1B2=O，O12+O，B2 （-1）2=12+

13、-+1=1+ -=0 xO x=O，A=×=4 O1A=3由題意可知三個(gè)球面到正四面體底面的距離為1 ，正四面體的高的最小值為 3+1+=4+以上是正文。原文還有點(diǎn)評(píng)，這里從略。就本題而言，以上的解法確實(shí)太繁了.在高考的有限時(shí)間里，花這么大的代價(jià)是不值的.以下提出兩種簡(jiǎn)略些的方法.【解1】為求正四面體的高的最小值，只須解決三個(gè)問(wèn)題：其一，這4個(gè)鋼球兩兩外切，其球心也連成一個(gè)正四面體，因?yàn)槠淅忾L(zhǎng)為2，所以它的高為2·=；其二，這個(gè)球心四面體與原正四面體的兩底面距離為1（等于球的半徑）；其三，這個(gè)球心四面體與原正四面體的兩頂距離為3（等于球的半徑的3倍），因此 ，這個(gè)正四面體的高的最小值為，選C?！窘?】我們不妨稱(chēng)原四面體為 “容器正四面體”,四個(gè)球心連成的四面體為“球