(完整word版)高中數(shù)學(xué)解析幾何題型(入門基礎(chǔ)篇)

1、第七講解析幾何新題型【考點(diǎn)透視】一.直線和圓的方程1 .理解直線的斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程.2 .掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系.3 . 了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.4 . 了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡單的應(yīng)用.5 . 了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法.6 .掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.二.圓錐曲線方程1 .掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì).2 .掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線

2、的簡單幾何性質(zhì).3 .掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).4 . 了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.【例題解析】考點(diǎn)1.求參數(shù)的值求參數(shù)的值是高考題中的常見題型之一，其解法為從曲線的性質(zhì)入手，構(gòu)造方程解之.22例1.若拋物線y2 2 Px的焦點(diǎn)與橢圓 左 上1的右焦點(diǎn)重合，則 p的值為（）62A.2B. 2 C.4D. 4考查意圖：本題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質(zhì)22解答過程：橢圓 土 L 1的右焦點(diǎn)為（2,0）,所以拋物線y2 2Px的焦點(diǎn)為（2,0），則p 4 ,62故選D.考點(diǎn)2.求線段的長求線段的長也是高考題中的常見題型之一，其解法為從曲線的性質(zhì)入手，

3、找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式解之例2.已知拋物線 y-x2C.士匕 1106+3上存在關(guān)于直線 x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn) A、B,則|AB|等于A.3B.4C.3 2D.4 . 2考查意圖：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和距離公式的應(yīng)用解：設(shè)直線AB的方程為yyx2 3y x b2x2 x b 3 0x x21進(jìn)而可求出AB的中點(diǎn)M (- 211b),又由 M (221b)在直線x y 0上可求出2b 1 ,x2x 2 0 ,由弦長公式可求出AB 1 12j12 4 ( 2) 3衣.故選C22例3 .如圖，把橢圓x y 1的長軸 125 16AB分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作 x軸的垂線交橢圓的

4、上半部分于P,P2,P3,P4,P5,P6, P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則 |PF| |BF| P3F |P4F| P5F Rf| P7F 考查意圖：本題主要考查橢圓的性質(zhì)和距離公式的靈活應(yīng)用22斛答過程：由橢圓 土 _y_ 1的方程知a2 25, a 5. 25 16|PF |P2F| P3F |P4F| P5F |P6F| P7F -22a 7 a 7 5 35.故填35.考點(diǎn)3.曲線的離心率曲線的離心率是高考題中的熱點(diǎn)題型之一，其解法為充分利用： 橢圓的離心率e=_cC(0,1)(e越大則橢圓越扁);(2)雙曲線的 離心率e=cC(1, +oo ) (e越大則雙曲線開口越大). a

5、結(jié)合有關(guān)知識(shí)來解題.例4.已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)是(4,0) , (4,0),則雙曲線方程為2222A.土匕 1B.土匕 14 1212 422D.人士1610考查意圖：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)等基本概念解答過程：Q e £ 2,c 4,所以 a 2,b2 12.故選(A). a ''小結(jié)：對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)等基本概念，要注意認(rèn)真掌握.尤其對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中分母大小關(guān)系要認(rèn)真體會(huì)例5.已知雙曲線3x2 y2 9,則雙曲線右支上的點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離之比等于()A. 2B. 2

6、_2C. 2D.43考查意圖：本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和離心率e=_cC(1,+8)的有關(guān)知識(shí)的應(yīng)用能力.a解答過程：依題意可知a J3,c 、,牙丁屯一9 2g考點(diǎn)4.求最大(小)值求最大(小)值，是高考題中的熱點(diǎn)題型之一.其解法為轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題或利用不等式求最大(小)值:特別是，一些題目還需要應(yīng)用曲線的幾何意義來解答.例6.已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(xi,yi),B(X2,y2)兩點(diǎn)，則yi2+y22的最小值是考查意圖：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:設(shè)過點(diǎn)P(4,0)的直線為y k x 4 , k2 x2

7、 8x 164x,k2x2 8k2 4 x 16k2 0,y： v； 4 Xi x24 8k-T 16 2 口 32.1 2kk故填32.考點(diǎn)5圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓錐曲線第二定義的統(tǒng)一性，都是考試的重點(diǎn)內(nèi)容，要能夠熟練運(yùn)用；常用的解題技巧要熟記于心例7.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為2段的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓£ 匚=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.a29(1)求圓C的方程；(2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q,使Q到橢圓右焦點(diǎn) F的距離等于線段 OF的長.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不

8、存在，請(qǐng)說明理由.考查目的本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí) 進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.解答過程(1)設(shè)圓C的圓心為(m, n)則m n，解得m 2，n 2 2 2,n 2.所求的圓的方程為(x 2)2 (y 2)2 8(2)由已知可得2a 10 , a 5.22橢圓的方程為 t 1 ,右焦點(diǎn)為F( 4, 0);259假設(shè)存在 Q 點(diǎn) 2 2J2 cos ,2 2>/2 sin使 QF OF ,2 2、2cos2 2 2 sin整理得 sin 3cos2&,代入 sin2cos21 .212.2812,2 2.2信:10cos 12.

9、2 cos 7 0, cos 1010因此不存在符合題意的Q點(diǎn).例8.如圖，曲線G的方程為y2 2x(y0).以原點(diǎn)為圓心，以t(t0)為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于 A與點(diǎn)B.直線AB與x軸相交于點(diǎn)C.(I )求點(diǎn) A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式；(n)設(shè)曲線 G上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a 2,求證：直線CD的斜率為定值考查目的本小題綜合考查平面解析幾何知識(shí)，主要涉及平面直角坐標(biāo)素中的兩點(diǎn)間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系,考查運(yùn)算能力與思維能力，綜合分析問題的能力 解答過程(I)由題意知，A(a,V2).因?yàn)?|OA| t,所以a2 2a t2.由于 t

10、0,故有t <a2 2a.(1)由點(diǎn)B (0, t), C (c, 0)的坐標(biāo)知，直線 BC的方程為-1.c t又因點(diǎn)A在直線BC上，故有a 、2a 1 c t ,將(1)代入上式，得a 房 1解得c a 2 J(a 2). c a(a 2)，(II)因?yàn)镈(a 2v2a 2A所以直線CD的斜率為*：2(a 2)；2(a 2)- 2)kCD'1a 2 c a 2 (a 2 . 2(a 2), 2(a 2)所以直線CD的斜率為定值.M(2,1)是弦AB的中點(diǎn)，若22例9.已知橢圓E：x2 1(a b 0), AB是它的一條弦, a b以點(diǎn)M(2,1)為焦點(diǎn)，橢圓E的右準(zhǔn)線為相應(yīng)準(zhǔn)線

11、的雙曲線C和直線AB交于點(diǎn)N(4, 1),若橢圓離心率e和雙曲線離心率e1之間滿足ee 1 ,求:(1)橢圓E的離心率；(2)雙曲線C的方程.解答過程：(1)設(shè) A、B 坐標(biāo)分別為 A(x 1,y1), B(x 2,y2),b2kABVi y2XiX222x2y 21和 F 1 'a b2(xix?)b(Viy2)a二式相減得:22b_ k1x1，a2 MN 2 4所以2b22(a2 c2) , a22c2 ,則 e £ 更;a 2(2)橢圓2E的右準(zhǔn)線為x2c(亞c)2 2c，雙曲線的離心率e1設(shè)P(x, y)是雙曲線上任一點(diǎn)，則:|PM| ,(x 2)2 (y 1)22|

12、X 2c |x 2c |兩端平方且將 N(4, 1)代入得:當(dāng)c 1時(shí)，雙曲線方程為：(x2)2 (y 1)2 0 ,不合題意，舍去;當(dāng)c 3時(shí)，雙曲線方程為：(X10)2 (y 1)2 32 ,即為所求.小結(jié)：(1) “點(diǎn)差法”是處理弦的中點(diǎn)與斜率問題的常用方法；(2)求解圓錐曲線時(shí)，若有焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，則通常會(huì)用到第二定義考點(diǎn)6利用向量求曲線方程和解決相關(guān)問題利用向量給出題設(shè)條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡單化，便于理解和計(jì)算 典型例題:2 2例10.雙曲線C與橢圓 上 y_ 1有相同的焦點(diǎn)，直線 y=V3x為C的一條漸近線 84求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)P(0,4)的直線l ,交雙曲線C于A,B兩

13、點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合)umruuu uuu 口PQ iQA 2QB,且 128時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).3考查意圖：本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識(shí)綜合解題的能力 數(shù)形結(jié)合思想，方程和轉(zhuǎn)化的思想解決問題的能力22解答過程：(I)設(shè)雙曲線方程為 上上1, a2 b222由橢圓二y_ i,求得兩焦點(diǎn)為(2,0),(2,0), 84對(duì)于雙曲線C：c 2,又y J3x為雙曲線C的一條漸近線，以及運(yùn)用雙曲線C的方程為22ydx131,b23,(H)解法一:由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.設(shè)l的方程:y kx4,A(x”yi), B(M,y2)MQ(4 k，0).uuuQ P

14、QuuriQA,4)4i(xi -，yi).ki(xi4)Xi4 iyiyiQ A(x1,y1)在雙曲線C上,16/1 i、2 了()k i16216 216 32 i 16 i k322 一k 0.(16k2)32 i16 216 k2 0.3同理有：(16 k2) 22 32 216, 216 k 0.3若16k2 0,則直線l過頂點(diǎn)，不合題意16k20,2 是二次方程(16 k2)x2 32x 1616 k30.的兩根.2 -38, k2 4,此時(shí)k2 1630, k 2.所求Q的坐標(biāo)為(2,0).解法二：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零設(shè)1 的方程，y kx 4,A(xi,yi),

15、B(x2, y2)，則 Q(，,0). kuuu Lua八 uiu /Q PQ iQA, Q分PA的比為i.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得4k i0 Li1X1iiyiXi-(i i) k i4yi一i卜同解法解法三：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零設(shè)l的方程:y kx4, A(。yi), B(x2,y2),則 Q( - ,0) . kuurQ PQuuu iQAuuu2QB，4、，i(xi, yi)2(x2k4 、 k，y2).iyi上yi±, y2kx4代入iyiiy2工，即3(yi 3y2)2%丫2.2x21得(3 k2)y2 24y 48 3k230.ViV2243Fyiy248

16、3k23 k2243 k2c 48 3k2 -3 kQ( 2,0).解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)l的方程：y kx 4 , A(,yi),B(x2,y2),則Q(4k，0)uuvQ PQuuviQA，、,4、4)i(xi, yi).kXi4k4k4.同理 kxi 4kx2 42*)即 2k x1x2 5k(x1 x2) 8 0.kx 42L 1322消去 y 得(3 k )x 8kx 19 0.當(dāng)3 k2 0時(shí)，則直線1與雙曲線得漸近線平行，不合題意,3 k2 0.由韋達(dá)定理有:x1x28k3 k2193 k2代入(*)式得k24,k2.所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0).例11

17、.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1, 0)和B(1, 0)的距離分別為d1和d2,/APB =2 0,且存在常數(shù)入(0入v 1 =，使得d1d2 sin2 0 =入.(1)證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出 C的方程；(2)過點(diǎn)B作直線交雙曲線 C的右支于M、N兩點(diǎn)，試確定入的范圍使OM ' ON = 0,其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).考查目的本小題主要考查直線、雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知 識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.解答過程解法 1 : (1)在 APAB 中，aB 2，即 22 d； d2 2d1d2cos24(d1d2)24d1d2sin 2 ,即d1d21y44d

18、1d2 sin2212 (常數(shù))，點(diǎn)P的軌跡C是以A, B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長2a 2M的雙曲線. 22方程為：x y 1 1設(shè) M (X, %)， N(x2, v2當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x 1 , M (1,1) , N(1, 1)在雙曲線上.即,1 121 01疾,因?yàn)?1,所以 近.122當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y k(x 1).22, X y由1y k(X ,1得:(122)k x 2(1)k2X (1)(k由題意知:%丫21)(12)k，所以X1X22k2(1)k2X1X2(1)(k2).""(1 ""因?yàn)镺M ONX1X2y1

19、y2X1X20X1X20由知,解法2 :(1)當(dāng)Xi因?yàn)楫?dāng)X1又kMNk2(X11)(X21)k2 2(1)V0,且M, N在雙曲線右支上,所以k2k2同解法M (x15X21,1時(shí),所以X2時(shí),kBE4。X0(1)2N(X2,(12-)1由/ MON -得 22X。MN的中點(diǎn)為E(xo,X。.1所以（1)y22X0于是由(1(1)yQ2)y；因?yàn)閄q所以解得：-5-22X112X212V12V2所以2V。(1)y2kMN2X0Xq ；X。.y。MN212X012(1)Xq(1(1X0X。，X2 2(1)Xq由第二定義得)2X0 )2.(1得)2,XqMN2(1)22 3e(X1 X2)22a

20、Ji 1,又。2 32 .由知_5_321,考點(diǎn)7利用向量處理圓錐曲線中的最值問題利用向量的數(shù)量積構(gòu)造出等式或函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)求最值的方法求最值，要比只利用 解析幾何知識(shí)建立等量關(guān)系容易例12.設(shè)橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在x軸上，離心率為叵,過點(diǎn)C( 1,0)的直線UUUT交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，且CAULUU2BC ,求當(dāng) AOB的面積達(dá)到最大值時(shí)直線和橢圓E的方程.解答過程：因?yàn)闄E圓的離心率為故可設(shè)橢圓方程為2x23y2 t(t 0),直線方程為my x2x2my2 L 一3yt 得：(2m2x 13)y24my 2 t 0 ,設(shè) A(x i,y。B(x4my V22m 3UUU

21、TUUU ,又 CA 2BC,故(x1 1,y1) 2(1 x2, V2 ,即yi2y 2由得：y18m2， y22m2 34m2;，2m 3則 Saob 1|y1my2| 6|獷_ =6332|m| 目 |m|此時(shí)2 t丫也2-1 2m2 3所以，直線方程為叵時(shí)，AOB面積取最大值，2232m,即 t 10,(2m2 3)2x巫y 1 0 ,橢圓方程為2x2223y 10.小結(jié)：利用向量的數(shù)量積構(gòu)造等量關(guān)系要比利用圓錐曲線的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系容易UUU 例13.已知PA (x- UUU一 L UUUULU布,y) , PB (x 痣,y),且 |PA| |PB | 6 , 求 | 2x 3y

22、12| 的取大值和最小值.解答過程：設(shè)P(x, y),A(石0) , B(j5, 0),一 ,uuu因?yàn)閨PA |uuu|PB|所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為 6的橢圓,橢圓方程為22x_ y_ 1,令 x 3cos , y 2sin , 94則|2x 3y12|=|6&cos(-) 12|，4當(dāng)cos( _)1時(shí)，|2x 3y 12|取最大值12 6展,當(dāng)cos( -) 1時(shí)，|2x 3y 12|取最小值12 6氏小結(jié)：利用橢圓的參數(shù)方程，可以將復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算化為簡單的三角運(yùn)算考點(diǎn)8利用向量處理圓錐曲線中的取值范圍問題解析幾何中求變量的范圍，一般情況下最終都轉(zhuǎn)化成方程是

23、否有解或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題.2例14. (2006年福建卷)已知橢圓上y2 1的左焦點(diǎn)為F,。為坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求過點(diǎn)O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程;(II)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與X軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.考查意圖：本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力解答過程：(I) Qa22,b21,1,F( 1,0), l : x 2.Q圓過點(diǎn)O、F,圓心M在直線xx1上.2設(shè)M ( 11)則圓半徑 22)2)由 OM| r,得“ 1)2t232,解得t .2.所

24、求圓的方程為(x 1)2(y(II)設(shè)直線AB的方程為y k(x i)(k 0),2代入 土 y2 1 整理得(1 2k2)x2 4k2x 2k2 2 0.2，Q直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F,方程有兩個(gè)不等實(shí)根.記 A(X,y)B(X2,y2), AB 中點(diǎn) N(x0,y0),一2則 X Xx1 x222k 1AB的垂直平分線NG的方程為y y01 ,、一(x X0).kXgc 7曰0,信X0kyo2k22k2k2_ , 21 2kk22k2 112 Z4k 2Xg0,點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為；0).2例15.已知雙曲線C: X_2 a2y2 1(a 0,b b20） , B是右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，點(diǎn)

25、 A在x軸正半軸上,且滿足|OAr |,|潴|,|群|成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線1,垂足為(1)求證:P, uuu uuu PA OPuuu uuPA FP ;若1與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點(diǎn)D,E ,求雙曲線C的離心率e的取值范圍.解答過程：（1）因歌|,|OB|,|群|成等比數(shù)列,uuu uuLr |OB | ioa | uufil |OF|2aA( ,0)，c直線1 : ya,y (xbby -xac)故:uurPA(0,abuuu一),OPa2 ab uu- (-,-),FP c cb2ab)c則:uurPAuuuOP2,2 a bcuur uurPA

26、 FP,即uuu uurPA OPuuuPAuurFP;uur(或PAuuu(OPuirFP)uuu PAuu(PFuuuPO)uuuPAuuuOF0,即uuuPAuuuOPuuuPAuirFP)b(X2a yc)(b22,2 a b4a、22)xb4一2-2 cxb4 2b2b2)由 xX24 2,a c(丁2 2、 a b )（或由kDFb2kDO4 a b7a0得:b2e 2.b b2 aV2)小結(jié)：向量的數(shù)量積在構(gòu)造等量關(guān)系中的作用舉足輕重,而要運(yùn)用數(shù)量積，必須先恰當(dāng)?shù)厍蟪龈鱾€(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)rrr_r r _r例 16.已知 a(x,0) , b(1,y) , (ab)(a雜b),(1)求點(diǎn)

27、P(x, y)的軌跡C的方程；(2)若直線y kx m(m 0)與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，D(0, 1),且|AD | | BD | , 試求m的取值范圍.解答過程：(1)a J3b =(x,。)J3(1,y)(x J3,J3y),a 息=(x,0) 憫1,y) (x 73, V3y), r _rr_r r _r r -r因(aT3b)(a舟)，故(aV3b) (ab)0 ,即（x 百，底）（x 品 V3y）x2 3y2 3 0,2故P點(diǎn)的軌跡方程為y 2 1.3y kx m2 22(2)由 22 得：(1 3k )x 6kmx 3m 3 0,x2 3y2 33k2) 0,設(shè) A(x 1,y1)

28、，B(x 2)2) , A、B 的中點(diǎn)為 M(x 0,y°)則 (6km)2 4(1 3k2)( 3m2 3) 12(m2 16kmXi X2, 2，Xo1 3k即A、B的中點(diǎn)為（3kmXi x22m3 km2， y。1 3k2kx 0 m2 ，3k21 3k21 3k則線段AB的垂直平分線為：ym , 1、，2 ()(x 1 3k2 k3km1 3k2)將D（0, 1）的坐標(biāo)代入，化簡得:22 八m 1 3k 0 /日2則由得：m24m 3k2 14m 0 ,解之得m 0或m考點(diǎn)9利用向量處理圓錐曲線中的存在性問題2又4m 3k 11,所以m).1故m的取值范圍是（一,0）U（4,

29、 4小結(jié)：求變量的范圍，要注意式子的隱含條件，否則會(huì)產(chǎn)生增根現(xiàn)象存在性問題，其一般解法是先假設(shè)命題存在，用待定系數(shù)法設(shè)出所求的曲線方程或點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)合理的推理，若能推出題設(shè)中的系數(shù)，則存在性成立，否則，不成立.例17.已知A,B,C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn) A是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過橢圓的uur uur 中心O,且AC BCuur0, |BC|uur2|AC|,(1)求橢圓的方程;(2)如果橢圓上的兩點(diǎn)P,QPCQ的平分線垂直于是否總存在實(shí)數(shù)入，使得uurPQuur2AB ?請(qǐng)說明理由;解答過程：(1)以。為原點(diǎn),OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 A(2,0), 、一x2設(shè)橢

30、圓方程為一4不妨設(shè)C在x軸上方,由橢圓的對(duì)稱性,uur|BC|uur uur uur uur2 | AC | 2 |OC | |AC | |OC| ,uur uuu又AC BC 0ACOC,即&CA為等腰直角三角形,由A(2,0)得：C(1,1),代入橢圓方程得:,24b 一，32即，橢圓方程為4(2)假設(shè)總存在實(shí)數(shù)入,uuu 使得PQuuirAAB ,即 AB/ PQ,由 C(1,1)得 B(1,1)，則kAB0 ( 1)2 ( 1)若設(shè)CP : yk(x1)k(x 1) 1 ,x2 3y2由44y k(x1) 1由 C(1,1)得 x由韋達(dá)定理得:_ 22_(1 3k2)x2 6k

31、(k_ 2 一1)x 3k2 6k 11是方程(13k2)x2 6k(k1)x 3k2 6k0的一個(gè)根,3k2 6k 12,1 3k以 k代k得xQQ3k2 6k 12,1 3k故 kpQ 組屈 kQ)2k 1,故 AB/PQ,X p Xqx p x q3uuuuuir即總存在實(shí)數(shù)入，使得PQ2AB .評(píng)注：此題考察了坐標(biāo)系的建立、待定系數(shù)法、橢圓的對(duì)稱性、向量的垂直、向量的共線及探索性問題的處理方法等，是一道很好的綜合題考點(diǎn)10利用向量處理直線與圓錐曲線的關(guān)系問題直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，一般情況下，是把直線的方程和曲線的方程組成方程組，進(jìn)一步來判斷方程組的解的情況，但要注意判別式的使用和題

32、設(shè)中變量的范圍uuur uuu例18 .設(shè)G、M分別是 ABC的重心和外心，A(0, a) , B(0,a)(a0),且GM AB ,(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；(2)是否存在直線m,使m過點(diǎn)(a,0)并且與點(diǎn) C的軌跡交于 P、Q兩點(diǎn)，且uuu uuurOP OQ 0 ?若存在，求出直線 m的萬程；若不存在，請(qǐng)說明理由.解答過程：(1)設(shè)C(x, y),則G(- y)，3'3uuuur uurx因?yàn)?GM AB ,所以 GM/ AB ,則 M( x,0),3由 M 為 ABC 的外4 則 |MA | |MC |,即 J(；)2 a2 后 x)2 y2 ,22一一 x y整理得：1(x 0

33、)；3a a(2)假設(shè)直線 m存在，設(shè)方程為y k(x a),y k(x a) 22222由 x2 v2得：(1 3k )x 6k ax 3a (k 1) 0,2 4 1(x 0)3a a設(shè) P(x1,y1),Q(x 2, y2),則 xi x26k2a2， x-1 3k23a2(k2 1)1 3k22 21 22ryy2k (x1 a)(x 2 a) k x/2，、2, 2k aa(x x2) a =2-，1 3k2uuu uur由 OP OQ 0 得：x1x2 y1y2 0,c 2 八 222門口 3a （k 1） 2k a -在一/曰, 打 即 - 2- 0 ,解之得 kJ3 ,13k1

34、3k又點(diǎn)（a,0）在橢圓的內(nèi)部，直線 m過點(diǎn)（a,0）,故存在直線m,其方程為yT3（x a）.小結(jié)：（1）解答存在性的探索問題，一般思路是先假設(shè)命題存在，再推出合理或不合理的結(jié)果，然后做出正確的判斷；（2）直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，一般最終都轉(zhuǎn)化成直線的方程和圓錐曲線的方程所組 成的方程組的求解問題.【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】、選擇題1 .如果雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（6,於）,且它的兩條漸近線方程是22A. 3 L 136 922.已知橢圓三_3m2B.22L 匕 1 C.819程為A. x15y23.已知2 y 5n2B. yFi,F2為橢圓二 a1和雙曲線15x22y21(ab2x22m2 x -92

35、 y 3n2y2 1D.1-x32x181有公共的焦點(diǎn),那么雙曲線方程是（）那么雙曲線的的漸近線方C.小 D. y3x4b 0）的焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)， MF1垂直于x軸,且 FMF2 60 ,則橢圓的離心率為（）A.124.二次曲線B 2 B.222x_ y_4 mC.史3D.22, 1時(shí)，該曲線的離心率 e的取值范圍是（）A. _2 _3B.2,2C _6D.2,236T,T5.直線m的方程為y kx 1,雙曲線C的方程為x2y2 1 ,若直線m與雙曲線C的右支相交于不重合的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（A. ( , 2, , 2) B. (1, .2) C. .2, .2) D. 1, 2

36、)6 .已知圓的方程為 x2 y2 4,若拋物線過點(diǎn) A（ 1,0）, B（1,0）,且以圓的切線為準(zhǔn)線,則拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程為（2 222A. y- 1(y 0) B. 1(y 0)3 4432222C. - -1(x 0) D. 1(x 0)3443二、填空題227 .已知P是以Fl、 F2為焦點(diǎn)的橢圓x2 與i(a b 0)上一點(diǎn)，若函PF2 0 a btan PFiF2 1，則橢圓的離心率為 .28 .已知橢圓x，2y2=12, A是x軸正方向上的一定點(diǎn)，若過點(diǎn) A,斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為士色， 點(diǎn)A的坐標(biāo)是.3229. P是橢圓上 y- 1上的點(diǎn)，E,F2是橢圓的左右焦

37、點(diǎn)，設(shè)|PFI IPF2I k,則k的最大值43與最小值之差是.10.給出下列命題:圓(x 2)2 (y 1)2 1關(guān)于點(diǎn)M( 1,2)對(duì)稱的圓白方程是(x 3)2 (y 3)2 1; 2 2雙曲線- L 1右支上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為18,那么該點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為注；16 92頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)(4, 3)的拋物線方程只能是 v2-X ；y x4P、Q是橢圓x2 4y2 16上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為原點(diǎn)，直線 OP,OQ的斜率之積為 1 ,4則|OP|2 |OQ|2等于定值20 .把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)填在橫線上 .三、解答題11.已知兩點(diǎn)A(應(yīng)0) , B(近,0),動(dòng)點(diǎn)P在

38、y軸上的射影為Q,uuu ULUuuuuPA PB 2PQ2 ,(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)設(shè)直線m過點(diǎn)A,斜率為k,當(dāng)0 k 1時(shí)，曲線E的上支上有且僅有一點(diǎn) C到直 線m的距離為 夜，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo).C的右準(zhǔn)線，A1, A2是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn) P是雙曲線C右支上異于A 2的一動(dòng)點(diǎn),直線AiP、A2P交雙曲線C的右準(zhǔn)線分別于 M,N兩點(diǎn),(1)求雙曲線C的方程;(2)求證:uuur uuu 日 一士 FM F2N 是te值.13.已知OFQ的面積為S,且uuuOFuuuFQ1,建立如圖所示坐標(biāo)系,1, |Ou| 2,求直線FQ的方程;2 設(shè)|OF| c(c 2),

39、S 2c,若以。為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)4Q,12 .如圖，F(xiàn)( 3,0), F2(3,0)是雙曲線C的兩焦點(diǎn)，直線X ，是雙曲線3得最小值時(shí)的橢圓方程.14 .已知點(diǎn)H( 3,0),點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn) Q在x軸的正半軸上，點(diǎn) M在直線PQ上，且滿3 uuuu-MQ ， 2uuu uuur uuur(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) M的軌跡C;足 HP PM 0 , PM(2)過點(diǎn)T( 1,0)作直線m與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E(X0,0),使得ABE為等邊三角形，求X0的值.(n)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(Xo，y0),為PM與PN的夾角，求tan。.【參考答案】-.1 . C.提示，

40、設(shè)雙曲線方程為(lx y)(lx y),將點(diǎn)(6, J3)代入求出即可.332. D .因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故 橢圓焦點(diǎn)為 (J3m2 5n2,0),雙曲線焦點(diǎn)為“2m2 3n2,0)，由3m2 5n2 2m2 3n2得|m| 2721n | ,所以，雙曲線的漸近線為.6|n |3yx .2|m|43.0設(shè)|51| d,則 |MF2| 2d, |EF2 | T3d,c 2c|F1F2|3d 3e a 2a |MR| |MF2 1d 2d 34. C .曲線為雙曲線，且 W5 1,故選C;或用a2 4 , b2m來計(jì)算.25. B .將兩方程組成方程組，利用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系建立不等式

41、組6. B .數(shù)形結(jié)合，利用梯形中位線和橢圓的定義.7.解：設(shè)c為為橢圓半焦距，: PF1 PF2 0 , 1- PF1 PF2又 tan PF1F212PF12 |PF2 2(2c)2PF1I IPF2 2aPF2 2PF12c 25c、5選D.解得：(一)一ea9,a38.解：設(shè) A (xo, 0) (xo>0),則直線l的方程為y=x-x 0,設(shè)直線l與橢圓相交于P (x1,y1)，Q (x2、y2),由y=x-x 0可得 3x2-4xox+2x 02-12=0 ,x2+2y2=122x1 X24x02x012|J1|，x1 x2，凡33|x1 x2 |(x1 x2)24x1x2j

42、 2288137?.933V1 x2 | x1 x2 |，4.14 一 2“ c 2即 2 2 - 3 36 2x0 33xo2=4 ,又 xo>0 ,xo=2 , . A ( 2, 0).(a ex)(a ex)10.三.11 .解（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, y）,則點(diǎn)uuuQ(0, y) ， PQuuir_(x,0) , PA(J2 x, y),uur 一PB ( V2 x, y),uuu uuu .PA PB x2y2,uuu uuu uuurc因?yàn)镻A PB 2PQ2，所以x2 222即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：y x 2 ;(2)設(shè)直線 m： y k(x72)(0k 1),依題意，

43、點(diǎn)C在與直線m平行，且與 m之間的距離為J2的直線上,設(shè)此直線為m1: y kxb,由史k2 1把y kxb代入y22 一 2x 2,整理得：（k 1）x2kbx (b2 2)0,則4k 2b24(k21)(b2 2)由得：k2.5此時(shí)，由方程組廂b )52,5. 10x C(2 .2, .10).12 .解：（1）依題意得:3,42一,所以a 2, b35,所求雙曲線C的方程為(2)設(shè) P(x0,yO),M(x1,y1), Mx2小)，則 A1(2,0),A 2(2,0),uuiuAiP (x。 2,y。)，umuuuuur 10A2P (x0 2,y°), A1M ("

44、y)，iiuurA2N(i,y2),uuuuumr因?yàn)锳F與A1M共線，故(x0 2)y110 y0, y110y03(x0一,同理：y22）2y03(x0 2)uuuu 13 uuuu 5則 F1MG“ F2N( ”)'luul uuu65所以 FM F2N = 65 y1y2= 659920y2uuu13 .解：(1)因?yàn)?|OF| 2,則 F(2,0),29(x。uuuOF_ ,2、65 20旭)_ = 65 4_4) T 9(x2 4)10 .uuu(2,0),設(shè) Q(x0, y°),則 FQ(x02,y0),uuuuuuOF FQ 2(x0 2) 1,解得 x01 uuu1由S 21OF1