2018-2019學(xué)年云南省昆明市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題解析版

1、絕密啟用前云南省昆明市2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理 )試題評(píng)卷人得分、單選題1 .設(shè)集合 A=x -1 <x <1,B=-1,0,1,2 ，則 Ap| B=()A. -1,0,1B. -1,0C. 0,1D. 1,2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義，即可求出結(jié)果?！驹斀狻縜Jb =fo,1),故選 Co【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算。2.2i1 -iA. 1 +iB. 1+iC. 1i【答案】B【解析】D. 1 -i【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可得計(jì)算結(jié)果【詳解】2i1 -i_ 2i 1 i一 1-i 1 i-1 i故選B.3【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，屬于基

2、礎(chǔ)題.才 才44 43.已知向量 a = (1,x), b=(2,4), a/(ab )，則 x=()B. -1C. 3D. 1【解析】【分析】先求出a_b的坐標(biāo)，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，列出方程，求出 x.【詳解】a a -b =(3,x-4)由 a/(ab )得，1 (x 4) 3x = 0解得x = -2,故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查向量的加減法運(yùn)算以及向量平行的坐標(biāo)表示。224.已知雙曲線C : ' -L =1 ,則C的漸近線方程為()164A . *x±y=0B. x ±V6y =0C. x±2y=0D. 2x±y = 0【答案】C【

3、解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，即可求出?！驹斀狻?2令=0 ,即有x工2 y =0164雙曲線C的漸近線方程為x±2y=0,故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線漸近線方程的求法。55. (12x)展開(kāi)式中的x3系數(shù)為()A. 40B. -40C. 80D. -80【答案】D【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，賦值即可求出?！驹斀狻?rr rr r(1 2x )展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是 Tt=C5(2x) =C5 (-2) x33令r =3,所以x3系數(shù)為C5(-2) =-80 ,故選D?！军c(diǎn)睛】 本題主要考查如何求二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)。6 .古印度“漢諾塔問(wèn)題”：一塊

4、黃銅平板上裝著 A,B,C三根金銅石細(xì)柱，其中細(xì)柱A上套著個(gè)大小不等的環(huán)形金盤(pán)，大的在下、小的在上.將這些盤(pán)子全部轉(zhuǎn)移到另一根柱子上，移動(dòng)規(guī)則如下：一次只能將一個(gè)金盤(pán)從一根柱子轉(zhuǎn)移到另外一根柱子上，不允許將較大盤(pán)子放在較小盤(pán)子上面 .若A柱上現(xiàn)有3個(gè)金盤(pán)（如圖），將A柱上的金盤(pán)全部移到B柱上，至少需要移動(dòng)次數(shù)為（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】B【解析】【分析】設(shè)細(xì)柱A上套著n個(gè)大小不等的環(huán)形金盤(pán)，至少需要移動(dòng)次數(shù)記為anL則an =2斗+1,利用該遞推關(guān)系可求至少需要移動(dòng)次數(shù).【詳解】設(shè)細(xì)柱A上套著n個(gè)大小不等的環(huán)形金盤(pán)，至少需要移動(dòng)次數(shù)記為an.要把最下面的第 n個(gè)金盤(pán)移到另一

5、個(gè)柱子上，則必須把上面的n-1個(gè)金盤(pán)移到余下的一個(gè)柱子上，故至少需要移動(dòng) an二次.把第n個(gè)金盤(pán)移到另一個(gè)柱子上后，再把n-1個(gè)金盤(pán)移到該柱子上， 故又至少移動(dòng)an次，所以an =2an,+1 ,a=1,故22=3, a3=7,故選 B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，要求根據(jù)問(wèn)題情境構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，從而解決與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.7 .函數(shù)y=e2 ex的圖象可能是（）A.、g ；B.C爐 ；D一。一【答案】B【解析】【分析】根據(jù)f(0)>0可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè) f (x)=e2ex, f (0)=e21A0, A, C, D均是錯(cuò)誤的，選 B .【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的識(shí)別，注

6、意從函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)等方面刻畫(huà)函數(shù)的圖像.8.設(shè)m，n為兩條不同的直線， a,B為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A . ct 1 P, m ±a,n _L P ,則 m _L nB, u_LP,m_L%nuP.Um_LnC,4 ®m 燙 a,nBJUm_LnD . / / 3 m燙 a,n3 ,則 m/n【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置逐個(gè)判斷即可【詳解】直線m，n所在的方向向量分別記為 ：,b,則它們分別為 J P的法向量， 因"，0,故：，6,從而有m -L n , A正確.B、C中m, n可能平行，故 日c

7、錯(cuò)，d中m,n平行、異面、相交都有可能，故d錯(cuò).綜上，選A.【點(diǎn)睛】 本題考查空間中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷，屬于基礎(chǔ)題59.設(shè)隨機(jī)變量 X B(2,p ),若 P(X >1 )=-,則 E(X 產(chǎn)()9A. 2B, -C. 2D. 133【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，先求出P ,再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【詳解】54, P(X 之 1 ) = 1 -P(X =0)=-,二 P(X =0)二rr2 412 .即(1-p)=，所以 p= , E(X)=2p = ,故選 A。933【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵。-1110

8、 .設(shè)a =ee,b = ln拒JlnS'Cnn，,則下列正確的是()3A. a >c>b【答案】B【解析】【分析】B. c>a >bC. ob >aD . a >b >c471n9依據(jù)y = In x的單調(diào)性即可得出 a,b, c的大小關(guān)系。1 I c In2 In3 3ln2-2ln3 ,b = ln 2 In3 =3236-而a=eeA0c = n3A0）所以b最小。11p111111又 Ina =lnee =-<一 , lnc = lnn2 =-Inn >一， e 222所以In c>ln a ,即有c >a ,

9、因此c>a >b ,故選B。本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。 .1 11 .在平行四邊形 ABCD中，/BAD=，點(diǎn)E在AB邊上，AD=AE= AB=1,32將ADE沿直線DE折起成L ADE , F為AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()1A.直線AE與直線BF共面B. BF =2C. |_AEC可以是直角三角形D. AC 1 DE【答案】C【解析】【分析】(1)通過(guò)證明A； E, B, F是否共面，來(lái)判斷直線 AE與直線BF是否共面；1,. _(2)取特殊位置，證明 BF =3是否成立；(3)尋找L A'EC可以是直角三角形的條件是否能夠滿足；(4)用反證法思想，說(shuō)明

10、 A'C _L DE能否成立?！驹斀狻緾如圖，因?yàn)锽,C,E,A'四點(diǎn)不共面，所以E迎面ABC,故直線A'E與直線BF不共面；1Lade沿直線de折起成La de，位置不定，當(dāng)面a de，面bcde ，此時(shí)bf豐一；2取 DE 中點(diǎn)，連接 AG,CG ,則 AG _L DE ,若有 A'C _L DE ,則 DE，面 A'CG即有DE _LCG,在RtADGC中，CD =2, DG =1,/CDE =60。明顯不可能，故不2符合；在 A'EC 中，A'E=1,CE=V3,而 AC=J7 A 2,所以當(dāng) AC = 2時(shí)，AEC 可以 是直角

11、三角形;【點(diǎn)睛】本題通過(guò)平面圖形折疊，考查學(xué)生平面幾何知識(shí)與立體幾何知識(shí)銜接過(guò)渡能力，涉及反- 7 對(duì)稱，且f (x )在|0,證法、演繹法思想的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象和邏輯推理能力。12.已知函數(shù)f (x )=sin®x(0 >0)的圖象關(guān)于直線上為單調(diào)函數(shù)，下述四個(gè)結(jié)論:滿足條件的0取值有2個(gè)i：,。為函數(shù)f (x )的一個(gè)對(duì)稱中心f (x )在!i-,0 上單調(diào)遞增_ 8f (x )在(0,n )上有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依照題意找出 切的限制條件，確定仍，得到函數(shù)f(X)的解析式，再根據(jù)函數(shù)

12、圖像逐一 判斷以下結(jié)論是否正確?！驹斀狻恳?yàn)楹瘮?shù)f (x ) = sin&x(® >0)的圖象關(guān)于直線x = 對(duì)稱，所以 a = +ti4424 10 = (+k) A0,k WZ ,又f x )在.0,-上為單倜函數(shù)，元12，即6 E2,3 2. 4-42-2所以8=或切=2,即 f (x )=sin x或 f (x) = sin2x33所以總有f(31)=0,故正確；2由f (x )=sin x或f (x )=sin 2x圖像知，f (x )在|一一 ,0上單倜遞增，故正確; 3一 82 當(dāng)x = (0,n)時(shí)，f x = sin x只有一個(gè)極大值點(diǎn)，不符合題意，故

13、不正確；3綜上，所有正確結(jié)論的編號(hào)是。【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，意在考查學(xué)生綜合分析解決問(wèn)題的能力。第II卷(非選擇題)請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明 評(píng)卷人、填空題13.在等差數(shù)列 匕中，4=7, a?+% =18,則公差d =【答案】2利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得 a5,從而d =a5 -a4 .【詳解】因?yàn)?a2+a8=18,故 a5=9,所以 d=a5a4=9 7 = 2,填2,【點(diǎn)睛】一般地，如果an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則有性質(zhì)：(1)若 m,n, p,q w N*, m+n = p +q ,則 am + an = ap + aq ； & =n(ak ；an

14、*=i,2，, n 且 &n,= (2n-1)an ；Sc(3) Sn = An2+Bn且為等差數(shù)列；(4) Sn, &與如-S2n,川為等差數(shù)列.14.函數(shù)f (x ) = lnx2x的圖象在點(diǎn)P(1, f (1)處的切線方程為 【答案】x y 1 = 0【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，由點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出切線方程。【詳解】7 f (x) =- -2 ,，k = f '(1) = T ,又 f (1) = -2所以切線方程為 y (2)=(1)(x1),即 x + y+1=0?！军c(diǎn)睛】9本題主要考查函數(shù)圖像在某點(diǎn)處的切線方程求法。15.已知C是以AB

15、為直徑的半圓弧上的動(dòng)點(diǎn),。為圓心，P為OC中點(diǎn)，若AB = 4,【答案】-2【解析】【分析】I先用中點(diǎn)公式的向量式求出pA+晶，再用數(shù)量積的定義求出(pA+pBpC的值?！驹斀狻縴PA PB -2PO， PA PB PC = 2pO pC=2 11cos180 =-2【點(diǎn)睛】本題主要考查向量中的中點(diǎn)公式應(yīng)用以及數(shù)量積的定義。2216.已知橢圓C:x2+七=1(a、b>0), 0(0,0), P(3,1)，斜率為1的直線與C相a b交于A,B兩點(diǎn)，若直線 OP平分線段AB ,則C的離心率等于【答案】JL3利用點(diǎn)差法求出b2b2的值后可得離心率的值. a2222"dye，則/+春嚕

16、i222祥+口=0即a bX X2X1X2小-、2 Vly2b26V1 - V2231因?yàn)?P 為 AB 的中點(diǎn)，故 -2" +2 = 0即 2 2 = 0 ,aX1 -X2b a b所以 a2 =3（a2 -c2 ）ip -c- 2,故 e =更，填.a2333【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于a,b,c的一個(gè)等式關(guān)系.而11離心率的取值范圍，則需要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于a, b,c的不等式或不等式組.另外，與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，可用點(diǎn)差法求解.評(píng)卷人得分三、解答題17.桅子原產(chǎn)于中國(guó)，喜溫暖濕潤(rùn)、陽(yáng)光充足的環(huán)境，較耐寒 .葉，

17、四季常綠；花，芳香素雅.綠葉白花，格外清麗.某地區(qū)引種了一批桅子作為綠化景觀植物，一段時(shí)間后，從該批桅子中隨機(jī)抽取 100棵測(cè)量植株高度，并以此測(cè)量數(shù)據(jù)作為樣本，得到該樣本的頻率分布直方圖(單位：m ),其中不大于1.50 (單位：m)的植株高度莖葉圖如圖所示.喧樣鼐度藉率分曲直方蓄13 1 2 5 6 81,4 13 34557899不大于LR的地株高度莖葉圖(1)求植株高度頻率分布直方圖中a,b,c的值；(2)在植株高度頻率分布直方圖中，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表，植株高度落入該區(qū)間的頻率作為植株高度取該區(qū)間中點(diǎn)值的頻率，估計(jì)這批桅子植株高度的平均值.【答案】(1) a =0.5,

18、b =1,c = 1.5 ； (2) 1.60.【解析】【分析】(1)根據(jù)莖葉圖可得頻率，從而可計(jì)算a,b, c.(2)利用組中值可計(jì)算植株高度的平均值.【詳解】510(1)由莖葉圖知， 礪.有1a = 0.5,b = = 10.10.1由頻率分布直方圖知0.595+1.45父1+1.55M3+1.65父 4 +cm 0.1+3父 0.1 +4父 0.1 = 1, 所以c =1.5.(2)這批桅子植株高度的平均值的估計(jì)值1.35 0.5 1.45 1 1.55 3 1.65 4 1.75 1.5 0.1 = 1.60.本題考查頻率的計(jì)算及頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題A18. ABC的內(nèi)角A

19、, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cosA = 1sin. 2求A; n-(2)若B=,且b=23, D是BC上的點(diǎn)，AD平分NBAC ,求L ACD的面積.，一 A 兀L【答案】(1) A = (2) V33【解析】【分析】(1)先利用二倍角公式將題目等式化成關(guān)于sin公的方程，求出sin上即可求出角 A22(2)根據(jù)角平分線定義先求出 /BAD ,再依銳角三角函數(shù)的定義求出AD ,最后依據(jù)三角形面積公式求出?！驹斀狻? AA2 A A(1)斛：因?yàn)?1 2sin =1 -sin 一 ,所以 2sin - -sin - 二 0 ,2222AA即 sin- 1 -2sin - 1=022.

20、因?yàn)锳石(0,江)，所以sin 0解得sin =1. 222A 二八A 5二 人， 所以一=一或一=(舍去)2 626ji因此，A =一.3 又因?yàn)锳D為的角/BAC平分線，所以/BAD=E,(2)因?yàn)?A , 3jijiB =一,所以 C =一26,因?yàn)?b = 2J3,所以 AB = J3,6AB在RtAABD中，所以cosZ BAD =，所以AD = 2,AD一,11 一 1-所以 S ADC =-AD AC sin . DAC =- 2 2、3 =、3 .222【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，以及三角形面積的求法。19.已知等比數(shù)列4的前n項(xiàng)和Sn=2n*+九，其中九為常數(shù).(

21、1)求九；(2)設(shè)bn = 10g2 an ,求數(shù)列an + bn 的前n項(xiàng)和Tn .【答案】(1)九=2(2) T = n(n +1)+2n. 22【解析】【分析】(1)利用an =Sn Sn求出當(dāng)n之2時(shí)4 的通項(xiàng)，根據(jù)an為等比數(shù)列得到 4的值 后可得 = -2 .(2)利用分組求和法可求 an十bn的前n項(xiàng)和Tn.【詳解】(1)因?yàn)?Sn =2n+ +九，當(dāng)n=1時(shí)，A =§ =4 +九，當(dāng)n至2時(shí)，Sn=2n+九，所以 an =Sn Snl=2n4-2n = 2n ,因?yàn)閿?shù)列an 是等比數(shù)列，所以an =2n對(duì)n =1也成立，所以4+九=2,即九= 2.(2)由(1)可得

22、an =2n,因?yàn)?bn = log2 an,所以 bn = log 22n = n ,所以 Tn =(2 +22 +23 + IH +2n )+(1 +2 +3+n ) =+n-1)，1 -22即Tn =2n 1-2.S，n=1 一、(1)數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an =!，我們常利用這Sn -S,n-2個(gè)關(guān)系式實(shí)現(xiàn)an與Sn之間的相互轉(zhuǎn)化.(2)數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分 組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆 成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并 項(xiàng)求和法

23、.20.如圖，在四棱錐 PABCD中，PA_L平面ABCD,底面ABCD是菱形, /BAD=三，AB=2, PC=2J7, E,F 分別是棱 PC, AB 的中點(diǎn).3(1)證明：EF/平面PAD；17(2)求二面角 P-BD -A的余弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)19【解析】【分析】(1)依據(jù)線面平行的判定定理， 在面PAD中尋找一條直線與 EF平行，即可由線面平 行的判定定理證出；(2)建系，分別求出平面 PBD ,平面ABD的法向量，根據(jù)二面角的計(jì)算公式即可求出二 面角P-BD A的余弦值?！驹斀狻?1)證明：如圖，取 PD中點(diǎn)為G ,連結(jié)EG,AG ,11則 EG /CD, EG =

24、CD, AF / /CD, AF = CD , 22所以EG與AF平行與且相等，所以四邊形 AGEF是平行四邊形，所以EF/AG, AG u平面PAD , EF0平面PAD,所以EF/平面PAD.(2)令A(yù)C|BD=O,因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，所以O(shè)E，平面ABCD,以。為原點(diǎn)，OAOB,OE所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,在菱形 ABCD 中，AB=2,/BAD=60 :所以，BD =2, AC =2褥，在 RtAPAC 中,PA = jPC2-AC2 =4,則 A(&,0)，P/0,4), B(0,1,0 ), D(0, -1,0), DB=(0,2,0), DP=(J3

25、,1,4)設(shè)平面PBD的法向量為n=(x, y,z),所以2y =0卜.3x y 4z = 0,所以可取 n =(4,0, 73又因平面ABD的法向量m =(0,0,1),所以 cosm,n = -min =-v5719由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角P-BD-A的余弦值為 嚕.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理應(yīng)用以及二面角的求法，常見(jiàn)求二面角的方法有定義法，三垂線法，坐標(biāo)法。一 2 一一21.已知拋物線C :x =2py( p >0)的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線為l ,點(diǎn)A= C , A在l上的射影為B ,且 MBF是邊長(zhǎng)為4的正三角形(1)求 P ;(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線l

26、1,l2,l1與C交于P,Q兩點(diǎn)，l2與C交于M,N兩點(diǎn),設(shè)APOQ的面積為0, AMON的面積為S2 (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S； + &2的最小值.【答案】(1) 2; (2) 16.【分析】(1)設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn) H ,利用解直角三角形可得 HF = p = 2 .(2)直線li : y = kx +1 (k # 0 ),聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達(dá)定理可用關(guān)于k的關(guān)系式表示S2,同理可用關(guān)于k的關(guān)系式表示S；,最后用基本不等式可求 S12+S22 的最小值.【詳解】(1)解：設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)H ,連結(jié)AF ,AB,BF ,因?yàn)?MBF是正三角形，且 BA = AF =

27、BF=4,在坐HF 中，/BHF =90：/FBH =30：BF =4, 所以 HF = p =2.2(2)設(shè) P(xnyi )Q(X2,y2 ),直線 li： y = kx+1(k*0),由(1)知 C :x =4y ,x2 = 4y-聯(lián)立方程：x y ，消y得x24kx 4=0.y 二 kx 1因?yàn)?A=16k2 +16>0,所以 x +x2 =4k,x1x2 = Y,所以 | PQ : J1+k2 JfxT+ x2 ) -4x1x2 =4(1 + k2),.1又原點(diǎn)O到直線l1的距離為d = ，2 ,1k2所以 Si2 =4(1 +k2 ),同理 S22所以 S2 +S22 =4(1+k2 )+4 I1+2 = 8+4 I k2 +2>16 ,當(dāng)且僅當(dāng) k = ±1 時(shí)取等 ,k. k號(hào).故S2+S22的最小