高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 10.3 排列數(shù)、組合數(shù)公式

1、1第 十 章第 十 章排列、組合、二排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率項(xiàng)式定理和概率210.3 排列數(shù)、組合數(shù)公式排列數(shù)、組合數(shù)公式考點(diǎn)考點(diǎn)搜索搜索排列數(shù)、組合數(shù)基本公式，階乘的排列數(shù)、組合數(shù)基本公式，階乘的計(jì)算公式計(jì)算公式組合數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)組合數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)高考高考猜想猜想以函數(shù)、方程、不等式及實(shí)際問題為以函數(shù)、方程、不等式及實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)公式的應(yīng)背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)公式的應(yīng)用用.3 1. n的階乘的階乘n!=_. 2. =n(n-1)(n-2)(n-m+1)=_. 3. = =_. 4.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)是組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)是:_; _. 5.規(guī)定規(guī)定0!_； =_. 6

2、.n(n-1)!=_. n(n-1)(n-2)2111n!mnAmnCmnmmAA!(-)!nnm!( -)!nmn m-mn mnnCC-11mmmnnnCCC0mC4 盤點(diǎn)指南：盤點(diǎn)指南：n(n-1)(n-2)21; ; ; ; ; 1; 1; n!.!( -)!nn m!( -)!nm n m-mn mnnCC-11mmmnnnCCC5 若若nN*，且，且n10，則，則(10-n)(11-n)(100-n)等于等于( ) 解：解：積的個(gè)數(shù)為積的個(gè)數(shù)為(100-n)-(10-n)+1=91. 故選故選C.C10-90100- 100-9192100-100-A. B. C. D. nnnn

3、nAAAA6 若若 ，則則S的個(gè)位數(shù)字是的個(gè)位數(shù)字是( ) A. 8 B. 5 C. 3 D. 0 解：解： =1， =2， =6， =24，而而 ， ， 的個(gè)位數(shù)字均為的個(gè)位數(shù)字均為0，從而從而S的個(gè)位數(shù)字是的個(gè)位數(shù)字是3.C12341001234100SAAAAA11A22A33A44A55A66A100100A7 組合數(shù)組合數(shù) (nr1，n、rZ)恒等于恒等于( ) 解：解：由組合數(shù)的變形公式得由組合數(shù)的變形公式得 . DrnC-1-1-1-1-1-1-1-11A. B. (1)(1)1C. D. rrnnrrnnrCnrCnnnrCCr-1-1rrnnnCCr8 1. 計(jì)算下列各式的值

4、：計(jì)算下列各式的值： (1) ;(2) . 解：解：(1)原式原式= . (2)原式原式 . 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：排列數(shù)、組合數(shù)公式的化簡(jiǎn)與運(yùn)排列數(shù)、組合數(shù)公式的化簡(jiǎn)與運(yùn) 算，算，就是公式的順用、逆用和變用的結(jié)合就是公式的順用、逆用和變用的結(jié)合.題型題型1 排列數(shù)、組合數(shù)的四則運(yùn)算排列數(shù)、組合數(shù)的四則運(yùn)算54886599-AAAA98971001003101CCA444488885554999845554-33 927AAAAAAAA233100100101331011011133!6CCCAC9 計(jì)算：計(jì)算： . 解：解：據(jù)題意，據(jù)題意， ，所以，所以 . 又又nN*，故，故n=6. 所以原式所以原

5、式= = = = .33 -13 -217-1312112nnnnnnnnCCCC31317-2 nnnn171332n181716111918171211111918171219 18 1712124CCCCCCCC10 2. 解下列方程：解下列方程： (1) ； (2) . 解：解：(1)方程可化為方程可化為 ， 即即 ，所以，所以(x-3)(x-6)=40， 即即x2-9x-22=0，所以，所以x=11或或x=-2(舍去舍去). 經(jīng)檢驗(yàn)，經(jīng)檢驗(yàn)，x=11是原方程的解是原方程的解. 題型題型2 解排列數(shù)、組合數(shù)方程解排列數(shù)、組合數(shù)方程-72-3-435xxxCA1-1-2311nnnnnn

6、nnCCCC( -3)!( -4)!35( -7)!4!( -6)!xxxx 3( -3)54!-6xx11 (2)方程可化為方程可化為 ， 即即 ，所以，所以 ， 即即 ，所以，所以n2-3n-4=0. 所以所以n=4或或n=-1(舍去舍去). 故故n=4是原方程的解是原方程的解. 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：解排列數(shù)、組合數(shù)方程時(shí)，一般先解排列數(shù)、組合數(shù)方程時(shí)，一般先把排列式、組合式化成全排式把排列式、組合式化成全排式(階乘式階乘式)，然后，然后約去一些公共因式，得到基本方程，最后求得約去一些公共因式，得到基本方程，最后求得的解需符合排列式、組合式的意義的解需符合排列式、組合式的意義.2221311(2)

7、nnnnCCCCn2122222nnnnCCCC122nnCC( -1)22n nn12 某參觀團(tuán)共某參觀團(tuán)共18人，從中選人，從中選出出2人擔(dān)任聯(lián)絡(luò)工作，要求選出的人擔(dān)任聯(lián)絡(luò)工作，要求選出的2人人中至少要有一個(gè)男人，而其中有中至少要有一個(gè)男人，而其中有2個(gè)老個(gè)老年男人不能入選，已知符合要求的選年男人不能入選，已知符合要求的選法共有法共有92種，求該參觀團(tuán)男女成員各種，求該參觀團(tuán)男女成員各多少人？多少人？ 13 解：解：設(shè)參觀團(tuán)有女人設(shè)參觀團(tuán)有女人n個(gè)，則男人個(gè)，則男人有有18-n個(gè)，且個(gè)，且0n15，nN*. 由已知由已知 ， 所以所以n(16-n)+ (16-n)(15-n)=92， 即即

8、n2-n-56=0， 所以所以n=8或或n=-7(舍去舍去). 故參觀團(tuán)有男人故參觀團(tuán)有男人10人，女人人，女人8人人.11216-16-92nnnCCC1214 3. 解下列不等式解下列不等式: (1) ; (2) . 解解：(1)原不等式可化為原不等式可化為 ，即，即 ， 得得-75x9. 又又1x-26，故，故3x8，xN*. 所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是3，4，5，6，7，8.題型題型3 解排列數(shù)、組合數(shù)不等式解排列數(shù)、組合數(shù)不等式-2966xxAA-4-2-1212121xxxCCC9!66(9- )!(8- )xx ！9 8 769-x 15 (2)原不等式可化為原不等

9、式可化為 ， 即即 ， 即即 ， 21!21!21(25- )( -4) (23- )!( -2)! (22- )( -1)xxxxxx！11(25- )(24- ) ( -2)( -3)1123-1xxxxx x(25- )(24- ) ( -2)( -3)23-1422xxxxx xx16 由此解得，由此解得，4x12(xN*).所以所以原不等式的解集是原不等式的解集是x|4x12，xN*. 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：解排列式、組合式型的不解排列式、組合式型的不等式有兩個(gè)關(guān)鍵之處：一是先轉(zhuǎn)化為等式有兩個(gè)關(guān)鍵之處：一是先轉(zhuǎn)化為常規(guī)的不等式，二是符合公式意義的常規(guī)的不等式，二是符合公式意義的自然數(shù)解自然數(shù)解

10、.17 設(shè)集合設(shè)集合 ，求集合求集合M共有多少個(gè)子集？共有多少個(gè)子集？ 解：解：不等式可化為不等式可化為 ， 即即 ， 345112 |-,*nnnMnnNCCC624-( -1)( -2)( -1)( -2)( -3)240 (5)( -1)( -2)( -3)( -4)n nnn nnnnn nnnn4401-3 ( -3)( -4)nnn18 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得n2-11n-120，解得，解得-1n12. 因?yàn)橐驗(yàn)閚5，且，且nN*， 所以所以M=5，6，7，8，9，10，11，從而其子集的個(gè)數(shù)為從而其子集的個(gè)數(shù)為 =27=128(個(gè)個(gè)).017777 CCC19 1. 證明下列等式：證明下列

11、等式： (1) ； (2) . 題型題型 證明排列數(shù)、組合數(shù)恒等式證明排列數(shù)、組合數(shù)恒等式-11mmmnnnAmAA1-11-1-mmnnmn mCCn mm20-11!( -)!( -1)!( -1)! ( -1)!( -1)! ( -1)( -1)!(1)(1)! ( -1)!(1-)! mmnnmnnnAmAmn mn mn n mnmn mn mnn mmn mn nnn mnmA證明：證明：(1)證法證法1：21 證法證法2：從從a1，a2，an+1這這n+1個(gè)不同元素中任取個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素作排列，共個(gè)元素作排列，共有有 個(gè)排列個(gè)排列. 其中含有元素其中含有元素a1的排列數(shù)的

12、排列數(shù)為為 ；不含有元素；不含有元素a1的的排列數(shù)為排列數(shù)為 . 由分類計(jì)數(shù)原理，由分類計(jì)數(shù)原理，得得 .1mnA1-1-1mmmnnAAmAmnA-11mmmnnnAmAA22(2)因?yàn)橐驗(yàn)?， ，所以所以 .111!-(1)!( -1)! !( -)!mnmnmmnCn mn mmn mnCm n m-1-1-1!(-1)!( -1)! !( -)!mnmnn mn mnCmmmn mnCm n m1-11-1-mmnnmn mCCn mm23 2. 化簡(jiǎn)下列各式：化簡(jiǎn)下列各式： (1) ; (2) . 解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)?， 所以原式所以原式 . 題型題型 化簡(jiǎn)、求和問題化簡(jiǎn)、求和問

13、題12+23!(1)!nn！!(1)!(2)!()!0!1!2!mmmmnn(1)-111-(1)!(1)! (1)!kkkkkk11111(1-)(-)-223! (1)!11-(1)!nnn！24(2)原式原式0121121221111(1)! (2)!()! 1!2! !()!()!()!.nmmmm nmmnmmm nmmm nm nmnm nm nmmm nmmmm nm CCCCm CCCm CCm Cm C 25 3. 規(guī)定規(guī)定 ，其中，其中xR，m是正整數(shù)，且是正整數(shù)，且 =1，這是組合，這是組合數(shù)數(shù) (n、m是正整數(shù)，且是正整數(shù)，且mn)的一種推的一種推廣廣. (1)求求 的

14、值；的值； (2)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)： ； 是否都能推廣到是否都能推廣到 (xR，m是正整數(shù)是正整數(shù))的情形？若能推廣，則寫出推的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由由.( -1)( -1)!mxx xx mCmmnC0 xC38C-mn mnnCC-11mmmnnnCCCmxC26 解：解：(1) . (2)性質(zhì)性質(zhì) 不能推廣不能推廣. 例如取例如取x= 時(shí)，時(shí)， 有定義，但有定義，但 無意義無意義. 性質(zhì)能推廣，其推廣形式是性質(zhì)能推廣，其推廣形式是 (xR，m是正整數(shù)是正整數(shù)).3-8-8 (-9) (-10)-

15、1203!C212C2-12C-11mmmxxxCCC27證明：證明：當(dāng)當(dāng)m=1時(shí)，時(shí)， .當(dāng)當(dāng)m2時(shí)，時(shí)， 故能推廣故能推廣.10111xxxCCxC -11( -1)( -2)( -1)!( -1)( -2)( -2) (-1)!( -1)( -2)( -2) ( -11)(-1)!(1) ( -1)( -2) ! .mmxxmxx xxx mCCmx xxx mmx xxx mx mmmxx xx mmC28 1. 公式的應(yīng)用體現(xiàn)為三種形式，即正向應(yīng)公式的應(yīng)用體現(xiàn)為三種形式，即正向應(yīng)用、逆向應(yīng)用和變式應(yīng)用，其中變式應(yīng)用是較用、逆向應(yīng)用和變式應(yīng)用，其中變式應(yīng)用是較難掌握的，它要根據(jù)實(shí)際問題的需要進(jìn)行變式，難掌握的，它要根據(jù)實(shí)際問題的需要進(jìn)行變式，如利用組合數(shù)性質(zhì)的變式：如利用組合數(shù)性質(zhì)的變式： 求和求和. 2. 對(duì)含排列數(shù)、組合數(shù)的代數(shù)式的計(jì)算，對(duì)含排列數(shù)、組合數(shù)的代數(shù)式的計(jì)算，要注意利用階乘的性質(zhì)、組合數(shù)性質(zhì)和提取公要注意利用階乘的性質(zhì)、組合數(shù)性質(zhì)和提取公因式等手段簡(jiǎn)化運(yùn)算