反常積分1反常積分概念

1、第十一章 反常積分、主要內(nèi)容與教學(xué)要求主要內(nèi)容問題的提出，兩類反常積分 （ 無窮積分，無界函數(shù)的反常積分或瑕積分 ）的定義?？挛魇諗繙?zhǔn)則，無窮積分的性質(zhì)，比較判別法，絕對收斂與條件收斂，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法。瑕積分的性質(zhì)與收斂判別。教學(xué)要求1 理解無窮積分和瑕積分的收斂與發(fā)散概念、絕對收斂和條件收斂的概念。2 掌握無窮積分和瑕積分的性質(zhì)和各種斂散性判別方法。3 會應(yīng)用斂散性的定義、性質(zhì)及判別方法計(jì)算兩類反常積分和證明兩類反常積分有關(guān)的問題教學(xué)重點(diǎn)1 無窮積分和瑕積分的收斂與發(fā)散概念、絕對收斂和條件收斂的概念2 無窮積分和瑕積分的性質(zhì)和各種斂散性判別方法3 無窮積分和瑕積分的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)

2、1 兩類反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e2 兩類反常積分相關(guān)的證明問題。二、本章教材處理建議1. 結(jié)合實(shí)際例子說明定積分在處理實(shí)際問題時(shí)條件的局限性，由如何突破條件的限制引入無窮積分 與瑕積分的概念。2. 通過變量替換，瑕積分與無窮積分可以互化，因此，它們有平行的理論和結(jié)果，講課過程中，可以 無窮積分為主，將相應(yīng)的結(jié)論推廣到瑕積分。進(jìn)行反常積分的計(jì)算時(shí)， 使學(xué)生3. 反常積分具有線性運(yùn)算性質(zhì)，換元積分法和分步積分法仍然成立， 明確，定積分的有關(guān)計(jì)算的方法與技巧仍然適用。4. 注意對反常積分審斂（包括絕對收斂，條件收斂和發(fā)散）進(jìn)行歸納總結(jié)，要記住某些重要結(jié)果。三、本章習(xí)題處理意見1. §11.1

3、反常積分概念 （P269）： 橫線以上 1， 2兩題為直接通過計(jì)算判斷反常積分?jǐn)可⑿缘幕绢}，要求學(xué)生必須掌握。 橫線以下各題可在課堂或習(xí)題課上討論，注意4，5,6 這三題之間的聯(lián)系。2. §11.2 無窮積分的性質(zhì)與收斂判別（ P275）：2，4,5三題可作為課外練習(xí) .第 3題課堂討論， 6，7,8， 9這四題可在習(xí)題課上講授或給予提示，同樣要注意各題之間內(nèi)在的聯(lián)系。第10題可在講解阿貝爾判別法這一部分內(nèi)容時(shí)講授。3. § 11.3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別(P279):第3題可作為課外練習(xí).4,5, 6三題習(xí)題課講授。4. §總練習(xí)題(P280):1 , 2,

4、3,4四題要求學(xué)生掌握，5, 6兩題作為較高要求，給予提示。§1反常積分概念一、問題的提出為什么要推廣Riemann積分b定積分f f(x)dx有兩個(gè)明顯的缺陷：其一，積分區(qū)間a,b必須是有限區(qū)間；其二，若 f亡Ra,b,a則3M >0，使得對于任意的X引a,b , |f(x)|蘭M (即有界是可積的必要條件)。這兩個(gè)缺陷限制了定積分的應(yīng)用，因?yàn)樵谠S多實(shí)際問題和理論問題中涉及到積分區(qū)間是無窮區(qū)間或被積函數(shù)出現(xiàn)無界的情形。 例如教材P264兩例1 dx又例如：(1) -f=，當(dāng)x= 1時(shí)函數(shù)無界。、J1 -x2-be 1(2) J 冷dx，積分區(qū)域是無界的。1 x(3)已知 f

5、忘 C0, +=c)，且 f (畑)=1，求 limx解：設(shè)Xo qx,X +1，則有x+冷x +lim r f(t)dt=lim f f(t)dt+lim f f(t)dt=-f f(t)dt + f f(t)dt=OX0%怎么推廣通過極限工具，把常規(guī)積分向兩個(gè)方向推廣：的定義中：”X0”址= J(t)dt+L f(t)dt1、無窮區(qū)間；2、無界函數(shù)。這兩種情形可統(tǒng)一在下面、兩類反常積分的定義1.無窮積分概念和幾何意義：定義1 (無窮積分定義)教材 P 265-beJf =F(P)-F(a).aAF(A)a幾何意義：例3討論無窮積分訟df型的斂散性xp1 x例4討論以下積分的斂散性0 dx

6、: dx補(bǔ)例1:討論以下積分的斂散性0(1) f exdx(2)計(jì)算積分-bedx1 20 x + 2x + 50(3)/X-bef cosxdx的斂散性.a2 .瑕積分概念和幾何意義： 先介紹函數(shù)的瑕點(diǎn).定義2 (瑕積分的定義)教材P 267以點(diǎn)b為瑕點(diǎn)給出定義.然后就點(diǎn)a為瑕點(diǎn)、點(diǎn)c迂(a, b)為瑕點(diǎn)以及有多個(gè)瑕點(diǎn)的情況給出說明幾何意義：判斷積分的斂散性0 J1-X2討論瑕積分1爛(qg的斂散性，并討論積分0 xqdf空的斂散性.J p0 x補(bǔ)例2：討論以下積分的斂散性1(1)n(1-x)dx11 1 一(3) f exdx注1.瑕積分與無窮積分的關(guān)系設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),bJf(x)dx

7、a-hetx設(shè) a > 0,有 Jg(x)dx =可見1b -ab-X0Jg1aty”2dt,把瑕積分化成了無窮積分t2Ig牒，把無窮積分化成了瑕積分瑕積分與無窮積分可以互化.因此，它們有平行的理論和結(jié)果2.廣義積分計(jì)算技巧線性運(yùn)算公式(§2內(nèi)容提前講解)：bbn設(shè)廣義積分f f(x)dx和f g(x)dx均收斂，則對一切 “、B有 "a"a注(1)f (a f(X) + Pg(x)dxf f (x)dx + P f g(x)dx-be例 8： J(x2 +1)(x2 +2)dx址11例 9： (一)dx x x+1（2）關(guān)于ML公式若f（x）在（a,b）除

8、去有限個(gè)奇點(diǎn)外幾乎處處連續(xù)，又它在（a,b）存在原函數(shù)F（x），則當(dāng)a< b時(shí):bf f(x)dx = Fab；=F(br_F(aTa注意：a） a= OC時(shí)，F(xiàn)(a+)改為 F(-oc);當(dāng) b=+ 比時(shí)，F(xiàn)(b)改為 F(p);b）原函數(shù)可作廣義理解,F忘C（a,b）且除有限個(gè)點(diǎn)外,F'(x)= f(x);c）若F（aT和F（bT至少有一個(gè)發(fā)散時(shí)，廣義積分Jaf (x) dx 發(fā)散;補(bǔ)例3:求下列廣義積分:1 dx 1 dxI肩、打E嚴(yán)dx2=1 +xd）必須注意原函數(shù)的連續(xù)性，否則會錯(cuò),J 嚴(yán)7 = -arctg 1 +C1 +xx如:1-be但是若用F(x)=-arctg-來求J -x+xdx2，