復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)與解析

1、第九節(jié)第九節(jié) 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)解析復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)解析一一. . 復(fù)數(shù)域與復(fù)數(shù)的表示法復(fù)數(shù)域與復(fù)數(shù)的表示法 1i ,im,re,ic zyzxryxyxz復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)集集：cc),()1()0( c1復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域數(shù)域數(shù)域構(gòu)成一個構(gòu)成一個于是復(fù)數(shù)集于是復(fù)數(shù)集及逆元及逆元單位元單位元，數(shù)集中有零元數(shù)集中有零元交換律，分配律，且復(fù)交換律，分配律，且復(fù)法與乘法的法與乘法的中的四則運(yùn)算滿足：加中的四則運(yùn)算滿足：加復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集 z復(fù)復(fù)平平面面復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域有有序序數(shù)數(shù)組組復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) ),(yxiyxz復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的表表示示法法：三三角角表表示示法法）或或向向量量復(fù)復(fù)平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)()sini(cos.

2、3),(.2i.1 rzopyxpyxz（指指數(shù)數(shù)表表示示法法） irez .4, 1, 0,2arg.arg,(.22 kkzargzzzargzzyxzr 為為內(nèi)內(nèi)的的幅幅角角為為主主幅幅角角，記記范范圍圍個個幅幅角角，稱稱在在任任一一非非零零復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)有有無無窮窮多多的的幅幅角角的的模模其其中中： 在在第第四四象象限限在在第第三三象象限限在在第第二二象象限限在在第第一一象象限限zxyzxyzxyzxyzarctanarctanarctanarctanarg 21212121)(argzargzzzargargzargzzzarg 212121212121zzzzzzzzzzzz ）（，性性

3、質(zhì)質(zhì)：212121212,zzzzzzzzzzz 復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的乘乘冪冪：)sini(cos)(),sini(cos nnrreznzrreznnini 為為次次冪冪的的則則設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的方方根根：)1,2,1 ,0()2sini2(cos ),sini(cos1 nknknkrznzrreznni 為為次次方方根根的的則則設(shè)設(shè)二二. . 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) ：一個復(fù)變函數(shù)一個復(fù)變函數(shù) 二個二元實(shí)函數(shù)二個二元實(shí)函數(shù) ),(),()(:yxivyxuzfwuvxyivuwiyxzf 平面上的點(diǎn)集平面上的點(diǎn)集平面上的點(diǎn)集平面上的點(diǎn)集例如：例如：xyyxvyxyxuixyyxiyxzz

4、fw2),(,),(,2)()(222222 定定義義域域. .函函數(shù)數(shù)值值集集合合定定義義集集合合復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)稱稱其其為為常常常常為為一一個個平平面面區(qū)區(qū)域域今今后后的的討討論論中中稱稱為為的的稱稱為為或或簡簡記記為為記記為為上上的的是是定定義義在在則則稱稱與與之之對對應(yīng)應(yīng)中中有有一一個個或或多多個個復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)在在通通過過點(diǎn)點(diǎn)中中每每一一個個如如果果對對一一個個確確定定的的對對應(yīng)應(yīng)規(guī)規(guī)則則是是和和復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)集集設(shè)設(shè)有有復(fù)復(fù)平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)集集, , : , , ggzzfwwgzfgzfwzfwzfgfwgfzgfgg 定義定義1可以利用二元實(shí)函數(shù)的極限，連續(xù)等概念來定可以利用二元實(shí)函數(shù)

5、的極限，連續(xù)等概念來定義復(fù)變函數(shù)的極限，連續(xù)。義復(fù)變函數(shù)的極限，連續(xù)。),(),(lim)(lim),(),(000yxivyxuzfyxyxzz 極極限限例例如如： ),(),(lim ),(),(lim )()(lim,(),(),( )(00),(),(00),(),(000000000yxvyxvyxuyxuzfzfyxyxvyxuzzfyxyxyxyxzz （）（）連連續(xù)續(xù)在在，連連續(xù)續(xù)在在因此，復(fù)變函數(shù)具有與實(shí)函數(shù)類似的關(guān)于極限，因此，復(fù)變函數(shù)具有與實(shí)函數(shù)類似的關(guān)于極限，連續(xù)的性質(zhì)。但連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域上的最大連續(xù)的性質(zhì)。但連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域上的最大(小小)值應(yīng)理解為連續(xù)的復(fù)變函數(shù)模的

6、最大值應(yīng)理解為連續(xù)的復(fù)變函數(shù)模的最大(小小)值定理值定理. zzzxyxyarglim,arglimarg0000為為在在負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸上上不不連連續(xù)續(xù)，因因三三. . 復(fù)變復(fù)變函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 000000000000limdd,limlim,zzzfzfzwzfzzfzzfzwzzzfzfzzfwzzzzzzz 記記作作的的在在其其極極限限值值稱稱為為可可導(dǎo)導(dǎo)在在則則稱稱存存在在果果極極限限如如的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定義定義2定義定義3.)()(|),(|)()(),(,)()(0000000zldwzzfzlzzfwzozlzfzzfwznzzzlzz

7、nzfw 處的微分，記作處的微分，記作在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)處可微，并稱處可微，并稱在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱總有總有使得對使得對無關(guān)的復(fù)常數(shù)無關(guān)的復(fù)常數(shù)如果存在與如果存在與內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，在在設(shè)復(fù)變函數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù)dzzfdwzfl)(),(00 所所以以可可導(dǎo)導(dǎo)，且且可可微微 .),(內(nèi)可導(dǎo)(可微)內(nèi)可導(dǎo)(可微)d d在在zfdzf稱稱則則可微可微內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)在區(qū)域在區(qū)域如果如果例例1. 求求f(z)=zn, (n 為正整數(shù)為正整數(shù) ) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解 zzzzzzfzzfzfnnzz 00lim lim 112210lim nnnnnznzzzzcnz 1 nnnzz的的連連續(xù)

8、續(xù)性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性。討討論論zzf )( 在在復(fù)復(fù)平平面面處處處處連連續(xù)續(xù)解解iyxzzf )( yixyixzzzzzzzzfzzfyxzzz )0,0(),(000limlimlim lim1limlim000 yiyiyixyixyyx而而1limlim000 xxyixyixxxy例例2 。在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)不不存存在在，因因而而zzfyixyixzzfzzfyxz )0,0(),(0lim lim可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo)連續(xù)不一定可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則: ;, 0)1(為為復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)其其中中cc ;)2(1 nnnzz ;)4(z

9、gzfzgzfzgzf ;)3(zgzfzgzf ;0,)5(2 zgzgzgzfzfzgzgzf ;,)6(zgwzgwfzgf 其中其中 . 0,1)7( wwzf 且且數(shù)數(shù)的的單單值值函函數(shù)數(shù)其其中中與與為為兩兩個個互互為為反反函函極極限限。對對應(yīng)應(yīng)于于二二元元實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義中中的的極極限限函函數(shù)數(shù)的的極極限限，而而復(fù)復(fù)變變定定義義中中的的極極限限是是一一元元實(shí)實(shí)因因?yàn)闉橐灰辉獙?shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)本本質(zhì)質(zhì)上上有有很很大大的的不不同同。然然形形式式上上一一樣樣，但但在在實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義，雖雖數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義與與一一元元需需要要注注意意的的

10、是是，復(fù)復(fù)變變函函 .limlim)(00000存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)，即即極極限限在在設(shè)設(shè)zzfzzfzwzzfzz zzfzzfxzyzxz 000lim0,0時時，有有沿沿實(shí)實(shí)軸軸趨趨于于零零，即即當(dāng)當(dāng) xvixuxyxivyxuyxxivyxxux 000000000,lim時時，有有沿沿虛虛軸軸趨趨于于零零，即即當(dāng)當(dāng)0,0 yizxz yuiyvyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfyyiz 00000000000000,limlimyuiyvxvixu yuxvyvxu柯西黎曼柯西黎曼(cauchy-riemann)方程方程（可可導(dǎo)導(dǎo)的的必必要要條條件件）定定理理1 .9處處處

11、處不不可可導(dǎo)導(dǎo)。，中中如如例例 yuxvyvxuyvxvyuxuyyxvxyxuiyxzzf,1,0,0, 1),(,),(,)( 2.),(),(),(),(),()(00000yuxvyvxurcyvxvyuxuyxyxvyxudiyxzdyxivyxuzf ，條條件件：，且且滿滿足足，處處有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則二二元元函函數(shù)數(shù)且且在在點(diǎn)點(diǎn)上上有有定定義義，在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)但但不不可可導(dǎo)導(dǎo)。條條件件，滿滿足足在在證證明明： 0imre)( rczzzzf .條條件件滿滿足足rc 例例30),(,),(,imre)( yxvxyyxuxyzzzf證證：)0

12、 , 0(0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0()0 , 0(0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(00 xyyyxxvyuyuuvxuxuu 不不存存在在zfzfz 0lim0的的充充分分條條件件條條件件不不是是復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)說說明明例例rc 3不不可可導(dǎo)導(dǎo)。在在0)( zzf kikxkixkzfzfxxkyzxxkiz 1)1()(lim0lim)0(200)1(趨趨于于零零時時，有有沿沿但但當(dāng)當(dāng)（可可導(dǎo)導(dǎo)的的充充要要條條件件）定定理理2 .9處處連連續(xù)續(xù)在在),(, 00yxyvxvyuxu . ),(),(),(2),(),(),(10000yuxvyvxu

13、rcyxyxvyxuyxyxvyxu ，條條件件：處處滿滿足足在在點(diǎn)點(diǎn)）（處處可可微微；在在點(diǎn)點(diǎn)二二元元函函數(shù)數(shù)）（ 處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)則則上上有有定定義義，在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)diyxzzfdyxivyxuzf000)(),(),()( )()()(,)(12212100210yxyaxbiyxybxayixiyixibaviuzfzzfyixziibazf ，則則設(shè)設(shè)0)()(lim, 0)()(lim2212002221001221 yxyxyxyxyxyaxbvyxybxauyxyx 而而 )0lim()(lim)()(000000000 zzzzzfzfzzfzzfzz

14、fzfzzf可可導(dǎo)導(dǎo)，即即有有在在必必要要性性）設(shè)設(shè)證證處處可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)充充分分性性）),(),(),(00yxyxvyxuyixviuzwyxoyvxvvyxoyuxuuyxyx )()()()(2222yixyxoyvxviyxoyuxuyxyx )()()()(2222前前已已證證得得。條條件件處處滿滿足足在在處處可可微微在在點(diǎn)點(diǎn),),(),(),(),(),(),(0000rcyxyxvyxuyxyxvyxu xxzivuzw 0lim.)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在 zzfyixyxoyixivuyixyxoyuxviyvxuxxxxxxrc )()()()()()2222（條件條件yixy

15、xoyvxviyxoyuxuyxyx )()()()(2222 .,.,;,0000奇點(diǎn)奇點(diǎn)解析函數(shù)解析函數(shù)在d內(nèi)解析在d內(nèi)解析解析點(diǎn)解析點(diǎn)解析解析z z在在0 0的的為為那末稱那末稱不解析不解析在在如果如果內(nèi)的一個內(nèi)的一個是是或稱或稱則稱則稱內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在在若若的的是是或稱或稱則稱則稱導(dǎo)導(dǎo)及其某個鄰域內(nèi)處處可及其某個鄰域內(nèi)處處可在在如果函數(shù)如果函數(shù)zfzzzfdzfzfdzfzfzzfzzf定義定義4內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域dzfdzf)()(兩個兩個解析函數(shù)的和、差、積、商解析函數(shù)的和、差、積、商(除去分母除去分母為零的點(diǎn)為零的點(diǎn))都是解析函數(shù)都是解析函數(shù),

16、解析函數(shù)的復(fù)合函解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)數(shù)、反函數(shù)(單值單值)仍是解析函數(shù)仍是解析函數(shù). xyyxvuvurcyxzdyxvyxudyxvyxuzf , :,i,:,i,00方程方程而且滿足而且滿足可微可微內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)在在和和充要條件是充要條件是上解析的上解析的在在函數(shù)函數(shù)定理定理 9.3 yuyvxvxuzf ii 且且一般用驗(yàn)證偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)來代替驗(yàn)證函數(shù)可微。一般用驗(yàn)證偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)來代替驗(yàn)證函數(shù)可微。)sin(cos)(1 yiyezfx ）（解解析析？可可導(dǎo)導(dǎo)？何何處處判判斷斷下下列列函函數(shù)數(shù)何何處處)()sin(cos)( )(zfyiyeivuzfzfxxx 解解析析，且且處處處處

17、在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，例例4解解條條件件，且且滿滿足足在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處連連續(xù)續(xù)，而而rcyevyevyeuyeuyeyxvyeyxuxyxxxyxxxx cos,sin,sin,cossin),(,cos),(ixyyxzf )(2）（條條件件時時滿滿足足但但僅僅在在在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處連連續(xù)續(xù)，而而rcyxvvuuxvyvuuxyyxvyxyxuyxyxyxyx 1, 1, 1, 1),(,),(解解. 1)(不不解解析析處處處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，在在復(fù)復(fù)平平面面上上在在izzf iyxzf 2)(3）（條條件件上上滿滿足足但但僅僅在在直直線線在在復(fù)復(fù)平平面面

18、上上處處處處連連續(xù)續(xù)，而而rcxvvuuvvuxuyyxvxyxuyxyxyxyx 21,1, 0, 0,2),(,),(2解解. 21)(不不解解析析處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，在在復(fù)復(fù)平平面面上上上上在在直直線線 xzf例例5表表示示。無無關(guān)關(guān)，可可以以單單獨(dú)獨(dú)用用必必與與為為解解析析函函數(shù)數(shù)，那那么么證證明明：如如果果zzwyxivyxuw),(),( 。求求的的虛虛部部已已知知解解析析函函數(shù)數(shù))(,)(22zfyxyvzf )()(2 )(222222222xgyxxdyyxxyuyxxyvuxy zcyxiyxcivuzfcxgxgyxyxvxgyxyxuyx1)( )(,0)( )( )()

19、( 222222222222 解解例例6四四 初等初等函數(shù)函數(shù)1. 1. 指數(shù)指數(shù)函數(shù)函數(shù))sin(cosyiyeewxz 不不存存在在。）（處處處處解解析析，且且有有周周期期性性：）（性性質(zhì)質(zhì)：zzzzikzzzzzzzzzzxzeeeeeeeeeeekyargeee z2lim 5 )()4()3(,)2(2,121212121 復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)中中無無中中值值定定理理公公式式實(shí)實(shí)指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)）注注： 0)( , 0)2()(sincos0)(01(zzxziyxeeeeeuleryiyewxewy2. 2. 對數(shù)對數(shù)函數(shù)函數(shù))2i(arglniarglnln kzzzzzw )arg

20、,lnln2,.(zvzrukverreerezivuwezuiivuiw 則則，設(shè)設(shè)反反函函數(shù)數(shù)的的對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)為為指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)), 2, 1(2lnlnlnarglnlnlnlnarg.)ln(ln1 kikzzzzizzzzzargzzkzk 的的主主值值支支，即即的的主主值值，記記為為時時，相相應(yīng)應(yīng)的的對對數(shù)數(shù)稱稱為為取取主主值值當(dāng)當(dāng)，記記為為可可確確定定的的一一個個單單值值分分支支，于于每每個個固固定定的的為為無無窮窮多多值值函函數(shù)數(shù)。對對應(yīng)應(yīng)）注注：（ikikiixx )12(2)1ln()1(ln)1arg(1ln)1ln()3()0(ln2 如如在在復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)中中

21、不不成成立立?！柏?fù)負(fù)數(shù)數(shù)無無對對數(shù)數(shù)”的的說說法法實(shí)實(shí)對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)正正實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的對對數(shù)數(shù)主主值值就就是是）（) lnlnln,lnln)(ln121212121（理理解解為為二二集集合合相相等等運(yùn)運(yùn)算算性性質(zhì)質(zhì)同同實(shí)實(shí)對對數(shù)數(shù)：）（性性質(zhì)質(zhì)：zzzzzzzz .lnln)111ln(lnargarglim,arglimln(ln)2(00有有相相同同的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值點(diǎn)點(diǎn)處處解解析析，且且與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外的的其其它它的的各各個個分分支支在在除除原原點(diǎn)點(diǎn)與與）（）（其其它它點(diǎn)點(diǎn)處處解解析析在在除除原原點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外的的）除除原原點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外連連續(xù)續(xù)除除原原點(diǎn)點(diǎn)外外連

22、連續(xù)續(xù)，其其它它點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)在在除除原原點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外的的解解析析性性：zzzeezzzzzzzwwyy .)2(,25)(ln的的值值并并計計算算此此時時一一個個分分支支，使使求求iwiiwzw iiiiiwkikikiiiiwkzizzw 232ln )2)2(arg(2ln)2(125)22( )2(argln)()2(arglnln 解解例例7）（錯錯誤誤。）證證：（命命題題：對對悖悖論論）在在：（指指出出下下列列論論斷斷的的錯錯誤誤所所)12(argln)ln(-)2(arglnln.ln)(ln ln2)(ln2ln)(ln)(1.ln)(ln, 0bernoulli

23、2222 kzizzkzizzzzzzzzzzzzz思考題：思考題：3.3.冪函數(shù)冪函數(shù)為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)）（ ,0(),2, 1,0ee) i2(ln)iarg(lnln zkezwkzzzz有有無無窮窮多多值值對對其其他他的的次次方方根根的的時時，即即為為為為正正整整數(shù)數(shù)特特別別，當(dāng)當(dāng)個個值值時時的的取取）時時，互互質(zhì)質(zhì)（當(dāng)當(dāng)為為有有理理數(shù)數(shù)次次冪冪的的為為正正整整數(shù)數(shù)時時，即即為為特特別別，當(dāng)當(dāng)單單值值為為整整數(shù)數(shù)時時，當(dāng)當(dāng)）性性質(zhì)質(zhì)：（ znznnqqkezqqpqpzzqpkzqpzqpz, )(1 1, 2 , 1 , 0,e 0, e1i2lnlnln 的的主主值值稱稱為為相相應(yīng)應(yīng)的的時時取取主主值值）（ zezzzzln,lnln2 1)( ln)3( zzzz處處解解析析，且且有有點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外的的其其它它點(diǎn)點(diǎn)的的各各個個單單值值分分支支在在除除原原的的各各個個單單值值分分支支，對對應(yīng)應(yīng)于于解解析析性性：2i)2(1(1i ）計計算算（), 2, 1, 0 ei2), 2, 1, 0 e1) 1 (i)212(2)(iarg(ln222)12(i)12()1(iarg1(ln)1( keekeeekiilnikkiiilni（）（）（ 解解例例84.4.三角函數(shù)三角函數(shù)2eecos2ie-esini -i-iizzzzzz 無無界界時時如如不