無窮小量與無窮大量07

1、1/34.101 210 10 )(2處處極極限限是是否否存存在在和和在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxxxf解：解：處處在在0 x)(lim0 xfx 0 左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等)(lim0 xfx不存在不存在. .)(lim0 xx )(lim0 xfx 1 )1(lim20 xx2/34.101 210 10 )(2處處極極限限是是否否存存在在和和在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxxxf解：解：處處在在1 x)(lim1xfx 2 2)(lim)(lim11 xfxfxx)1(lim21 xx)(lim1xfx 2 2lim1 x2)(lim1 xfx二、無窮小量的性質(zhì)

2、二、無窮小量的性質(zhì)三、無窮大量三、無窮大量四、無窮小量與無窮大量的關(guān)系四、無窮小量與無窮大量的關(guān)系一、無窮小量的概念一、無窮小量的概念infinitely small ( large) quantity4/34一、無窮小量的概念一、無窮小量的概念1.11.1、定義、定義5/34 定義定義：極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小量無窮小量( (無窮小無窮小) )。1.11.1、定義、定義為為無無窮窮小小時(shí)時(shí)則則稱稱若若即即)(, 0)(lim,xfxxfx 為為無無窮窮小小時(shí)時(shí)則則稱稱若若)(, 0)(lim00 xfxxxfxx 例如例如: :, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)的無窮小

3、時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng) xx, 01lim nn.1時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng) nn為為無無窮窮小小xxxxln, 1, 0lnlim1 為為無無窮窮小小當(dāng)當(dāng)_ xeyx為為無無窮窮小小當(dāng)當(dāng)_1 xeyx 06/34 兩點(diǎn)注意事項(xiàng)兩點(diǎn)注意事項(xiàng): :無窮小是相對(duì)自變量的某一變化過程而言的無窮小是相對(duì)自變量的某一變化過程而言的; ;例如例如: :;0 ,時(shí)時(shí)則則不不是是無無窮窮小小而而當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)是是無無窮窮小小當(dāng)當(dāng) xxeyx.0 ,2,cos時(shí)時(shí)不不是是無無窮窮小小當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)是是無無窮窮小小當(dāng)當(dāng) xxxy 無窮小是變量，不能與很小的正數(shù)混淆；無窮小是變量，不能與很小的正數(shù)混淆； 0 0是可以作為無窮小

4、的唯一的數(shù)是可以作為無窮小的唯一的數(shù). .7/34一、無窮小量的概念一、無窮小量的概念1.11.1、定義、定義1.21.2、函數(shù)極限與無窮小量、函數(shù)極限與無窮小量 的關(guān)系的關(guān)系8/341.21.2、函數(shù)極限與無窮小量的關(guān)系、函數(shù)極限與無窮小量的關(guān)系: :證證 必要性必要性,)(lim0axfxx 設(shè)設(shè),)()(axfx 令令, 0)(lim0 xxx 則有則有).()(xaxf 定理定理)()()(lim0 xaxfaxfxx .)(0時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中xxx 0, 0 恒有恒有時(shí)時(shí)使得使得,00 xx axf)( 0)( axf即即時(shí)的無窮小量時(shí)的無窮小量是是0)(xxx

5、即即f(x)可表示為極限與一個(gè)無窮小量的和可表示為極限與一個(gè)無窮小量的和.9/341.21.2、函數(shù)極限與無窮小量的關(guān)系、函數(shù)極限與無窮小量的關(guān)系: :證證充分性充分性),()(xaxf 設(shè)設(shè),)(0的的無無窮窮小小是是其其中中xxx axfxx )(lim0則則 定理定理)()()(lim0 xaxfaxfxx .)(0時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中xxx 0)(lim0 xxx 即即0, 0 恒有恒有時(shí)時(shí)使得使得,00 xx 0 0)( axf即即 axf)( 即即10/341.21.2、函數(shù)極限與無窮小量的關(guān)系、函數(shù)極限與無窮小量的關(guān)系: : 定理定理)()()(lim0 xaxf

6、axfxx .)(0時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中xxx .同同樣樣成成立立定定理理對(duì)對(duì) x注：注：意義意義 將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題( (無無窮小窮小); );給出了給出了 f(x) 在在 x0 0 附近的近似表達(dá)式：附近的近似表達(dá)式：).(,)(xaxf 誤誤差差為為 11/34一、無窮小量的概念一、無窮小量的概念1.11.1、定義、定義1.21.2、無窮小與函數(shù)極限、無窮小與函數(shù)極限 的關(guān)系的關(guān)系二、無窮小量的性質(zhì)12/34性質(zhì)性質(zhì)1 1 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量。有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量。注意注意: 無限個(gè)無窮小量的和不

7、一定是無窮小無限個(gè)無窮小量的和不一定是無窮小。例如：例如：1).2(lim222 nnnnnnnn性質(zhì)性質(zhì)2 2 有界量與無窮小量的積仍是無窮小。有界量與無窮小量的積仍是無窮小。xxxsinlim xxx1sinlim0, 1sin01, xxx又又例例1 1 計(jì)算計(jì)算0sinlim xxx故故解解: :例例2 2 計(jì)算計(jì)算解解: :, 11sin,0 xxx又又為為無無窮窮小小01sinlim 0 xxx故故13/34性質(zhì)性質(zhì)1 1 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量。有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量。注意注意: 無限個(gè)無窮小量的和不一定是無窮小無限個(gè)無窮小量的和不一定是無窮小。例如：例如

8、：1).2(lim222 nnnnnnnn性質(zhì)性質(zhì)2 2 有界量與無窮小量的積仍是無窮小。有界量與無窮小量的積仍是無窮小。性質(zhì)性質(zhì)2 2的推論的推論常量與無窮小量的積是無窮小量；常量與無窮小量的積是無窮小量；有限個(gè)無窮小量的積是無窮小量。有限個(gè)無窮小量的積是無窮小量。14/34一、無窮小量的概念一、無窮小量的概念1.11.1、定義、定義1.21.2、無窮小與函數(shù)極限、無窮小與函數(shù)極限 的關(guān)系的關(guān)系二、無窮小量的性質(zhì)三、無窮大量3.13.1、定義、定義15/34 定義定義：3.13.1、定義、定義 對(duì)于任意給定的正數(shù)對(duì)于任意給定的正數(shù)m, ,在自變量的變化過程中在自變量的變化過程中, ,因變量因

9、變量y變化到一定程度以后變化到一定程度以后, ,恒有恒有 | |y| |m則稱則稱 y 在此變化過程中為無窮大量。記在此變化過程中為無窮大量。記 ylim簡言之簡言之: : 絕對(duì)值無限增大的變量稱為絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大無窮大. .例如例如: : 2lim xx.2”是無窮大”是無窮大時(shí)“時(shí)“當(dāng)當(dāng)xx 11lim1xx.111”是無窮大”是無窮大時(shí)“時(shí)“當(dāng)當(dāng) xx16/34注意：注意：lim下未注明自變量變化趨勢下未注明自變量變化趨勢, ,指對(duì)各種指對(duì)各種極限都成立極限都成立; ;無窮大是變量無窮大是變量, , 不能與很大的數(shù)混淆；不能與很大的數(shù)混淆； )(lim0 xfxx切勿切勿認(rèn)

10、為無窮大認(rèn)為無窮大的極限存在的極限存在. ., mymymy.lim, yymy記作記作為負(fù)無窮大為負(fù)無窮大則稱則稱若若;lim, yymy記作記作為正無窮大為正無窮大則稱則稱若若正負(fù)無窮大正負(fù)無窮大17/34如圖所示如圖所示例如例如,1lim:0 xx.10;1,0;1,0 xxxxxx時(shí)時(shí)，而而例例3.3. y=lnx何時(shí)為無窮大何時(shí)為無窮大？ 解：解：如圖所示如圖所示.ln,0ln,0ln,ln,為負(fù)無窮大為負(fù)無窮大當(dāng)當(dāng)為正無窮大；為正無窮大；當(dāng)當(dāng)xxxxxxxx 對(duì)數(shù)函數(shù)在兩個(gè)變化過程中對(duì)數(shù)函數(shù)在兩個(gè)變化過程中分別為正無窮大和負(fù)無窮大分別為正無窮大和負(fù)無窮大. .xy1 yxo1xyo

11、xyln 18/34常用結(jié)論：常用結(jié)論： xx1lim0 xx1lim0 xxelim0lim xxe0lim xxe xxelim不存在不存在xxe10lim 0,0,011xxexex是正無窮大是正無窮大19/34無窮大無窮大無界無界例如：例如：?sin, xxx.sin,:大大是是無無界界函函數(shù)數(shù)但但不不是是無無窮窮如如圖圖所所示示解解xxyx y0 x20/34一、無窮小量的概念一、無窮小量的概念1.11.1、定義、定義1.21.2、無窮小與函數(shù)極限、無窮小與函數(shù)極限 的關(guān)系的關(guān)系二、無窮小量的性質(zhì)三、無窮大量3.13.1、定義、定義3.23.2、無窮大量的性質(zhì)、無窮大量的性質(zhì)21/3

12、43.23.2、無窮大量的性質(zhì)、無窮大量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 無窮大與有界變量的代數(shù)和是無窮大無窮大與有界變量的代數(shù)和是無窮大 . . 性質(zhì)性質(zhì)2 2 無窮大與非零常數(shù)的乘積是無窮大無窮大與非零常數(shù)的乘積是無窮大. . 例如：例如：.11,1是無窮大是無窮大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx性質(zhì)性質(zhì)3 3 無窮大與無窮大的乘積是無窮大無窮大與無窮大的乘積是無窮大. . 例如：例如：.3,sin,2都是無窮大都是無窮大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxx.13也是無窮大也是無窮大 x注：注：無窮大與無窮大無窮大與無窮大和和不一定是無窮大不一定是無窮大. . 22/34四、無窮小與無窮大 的關(guān)系4.14.1、倒數(shù)關(guān)系定理、倒數(shù)關(guān)系定理

13、一、無窮小量的概念一、無窮小量的概念1.11.1、定義、定義1.21.2、無窮小與函數(shù)極限、無窮小與函數(shù)極限 的關(guān)系的關(guān)系二、無窮小量的性質(zhì)三、無窮大量3.13.1、定義、定義3.23.2、無窮大量的性質(zhì)、無窮大量的性質(zhì)23/34定理定理 在自變量的同一過程中在自變量的同一過程中, , 若因變量若因變量y是無窮大量是無窮大量, ,則其倒數(shù)則其倒數(shù)1/ /y為無窮小量；恒不為零的為無窮小量；恒不為零的y是無窮小量是無窮小量, ,則其倒數(shù)則其倒數(shù)1/ /y為無窮大量。為無窮大量。意義：意義：關(guān)于無窮大的討論，都可歸結(jié)為無窮小的討論關(guān)于無窮大的討論，都可歸結(jié)為無窮小的討論. .4.14.1、倒數(shù)關(guān)系

14、定理、倒數(shù)關(guān)系定理.1lim),0(0lim; 01lim,lim yyyyy則則若若則則若若. 0ln/1lim,lnlim00 xxxx如：如：24/34四、無窮小與無窮大 的關(guān)系4.14.1、倒數(shù)關(guān)系定理、倒數(shù)關(guān)系定理一、無窮小量的概念一、無窮小量的概念1.11.1、定義、定義1.21.2、無窮小與函數(shù)極限、無窮小與函數(shù)極限 的關(guān)系的關(guān)系二、無窮小量的性質(zhì)三、無窮大量3.13.1、定義、定義3.23.2、無窮大量的性質(zhì)、無窮大量的性質(zhì)4.24.2、為什么要學(xué)習(xí)、為什么要學(xué)習(xí)?25/344.24.2、為什么要學(xué)習(xí)、為什么要學(xué)習(xí)? 對(duì)一個(gè)函數(shù)而言，在自變量的某個(gè)變化過程中，對(duì)一個(gè)函數(shù)而言，在

15、自變量的某個(gè)變化過程中，其要么有極限，要么無極限，二者必居其一，且僅居其要么有極限，要么無極限，二者必居其一，且僅居其一其一. . 無窮小恰為極限存在時(shí)的特殊情況，無窮大無窮小恰為極限存在時(shí)的特殊情況，無窮大是極限不存在時(shí)的特殊情況是極限不存在時(shí)的特殊情況. . 只要抓住這兩種特殊情只要抓住這兩種特殊情形形, ,就可以有助于解決一般性的問題就可以有助于解決一般性的問題. .21,21, 021,:既既非非無無窮窮大大也也非非無無窮窮小小時(shí)時(shí)故故解解xxxxxx ?)(21, :量量小小是是否否為為無無窮窮大大例例xx 26/34. 則則比比式式 不不不不分子分子若分母若分母分母分母若分子若分子

16、,0, 0. 0則則比比式式例例4.4. 指出下列函數(shù)變化趨勢指出下列函數(shù)變化趨勢?tan, 2/?1, ?)sin( ,?)1ln(,1 ?sin, 02 xxxxxxxxxxxx 0, 0, 不不不不分分子子若若分分母母分分母母若若分分子子一一般般地地我我們們有有：0 27/34型型不不定定式式則則稱稱比比式式為為分分母母若若分分子子型型不不定定式式，則則稱稱比比式式為為分分母母若若分分子子)(,)(0, 000 ?)/1cos(, 0?)/1sin(, 0?cos,?sin,?, 0?, 0/1 xxxxxxxxexexxx28/26型型不不定定式式則則稱稱比比式式為為分分母母若若分分子子型型不不定定式式，則則稱稱比比式式為為分分母母若若分分子子)(,)(0, 000 ?sin,8. xxx例例.sin,:大大是是無無界界函函數(shù)數(shù)但但不不是是無無窮窮如如圖圖所所示示解解xxyx y0 x?)/1cos(, 0?)/1sin(, 0?cos,?sin,?, 0?, 0/1 xxxxxxxxexexxx29/26四、無窮小與無窮大四、無窮小與無窮大 的關(guān)系的關(guān)系4.14.1、倒數(shù)關(guān)系定理、倒數(shù)關(guān)系定理一、無窮小量的概念一、無窮小量的概念1.11