淺埋隧道圍巖應(yīng)力場的計算復(fù)變函數(shù)求解法

1、第31卷增刊1 巖 土 力 學(xué) Vol.31 Supp.1 2010年8月 Rock and Soil Mechanics Aug. 2010收稿日期：2010-04-23基金項目：云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計劃項目（No. KKSA200806040）。文章編號：10007598 (2010 增刊1008605淺埋隧道圍巖應(yīng)力場的計算復(fù)變函數(shù)求解法王志良1，申林方2，姚 激3，高成杰4（1. 同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092；2. 中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所，武漢 430071；3. 昆明理工大學(xué) 工程力學(xué)系，昆明 650024；4. 北京市環(huán)境保護(hù)科學(xué)研究院，北京 100037）摘

2、 要：對于受地表邊界和地面荷載影響的淺埋隧道的圍巖應(yīng)力場，由于在數(shù)學(xué)處理上存在一定的困難，很難用解析解來進(jìn)行分析，而通常采用邊界元或有限元的數(shù)值方法來解答。為了求解淺埋隧道的應(yīng)力場，采用邊界配點來確定邊界條件，同時用保角映射將一個含圓孔的半無限空間區(qū)域映射為圓環(huán)域，然后把這個區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)展開成Laurent 級數(shù)的形式，利用Muskhelishvili 的復(fù)變函數(shù)理論和最小二乘法來確定解析函數(shù)的各項系數(shù)，從而求得淺埋隧道圍巖壓力的半數(shù)值、半解析解，最后通過算例給出了圍巖應(yīng)力的分布情況。計算結(jié)果表明，該方法計算精度高、計算量小，具有應(yīng)用價值。 關(guān) 鍵 詞：保角映射；復(fù)變函數(shù)；淺埋隧道；半數(shù)值

3、半解析解；計算復(fù)變函數(shù)法 中圖分類號：U 451 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：ACalculation of stress field in surrounding rocks of shallow tunnel using computational function of complex variable methodWANG Zhi-liang1, SHEN Lin-fang 2, YAO Ji 3, GAO Cheng-jie 4(1. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;

4、2. Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, China;3. Department of Engineering Mechanics, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650024, China;4. Beijing Municipal Research Institute of Environmental Protection, Beijing 100037, ChinaAbstract: Du

5、e to the influence of surface boundary and ground loads, the analysis of surrounding rocks of shallow tunnel is difficult by mathematic method. The analytic solution is too difficulty to obtain, so many solutions were obtained by using boundary element method or finite element method. In order to ob

6、tain stress field in surrounding rocks of shallow tunnel, the boundary condition is determined by setting finite points; the considered region in the physical plane is mapped to a circular ring region in the image plane by using the complex conformal transformation; and then the analytic functions a

7、re expanded into Laurent series; the Laurent series coefficients is obtained by using the function of complex variable method founded by Muskhelishvili and the least square method. The semi-analytical and semi-numerical solution of shallow tunnels stress field could be obtained by putting the Lauren

8、t Series coefficients into equation. Finally, the stress of surrounding rocks is depicted through an example. The results show that the computational function of complex variable method is precise, efficient and applicable.Key words: conformal mapping; function of complex variable; shallow tunnel; t

9、he semi-analytical and semi-numerical solution; computational function of complex variable method1 引 言隧道圍巖應(yīng)力分析作為隧道設(shè)計的一個重要內(nèi)容，已取得了不少的研究成果12。但這些研究成果主要集中在深埋隧道上，也就是將圍巖視為無限巖土介質(zhì)，忽略了地表邊界條件和地表局部荷載條件限制。隨著近些年城市軌道交通的興起，這些因素對淺埋隧道的影響日益顯著。圍巖應(yīng)力受外界條件的影響非常明顯，與深埋隧道相比，其變化也更復(fù)雜，目前相應(yīng)的研究成果也較少。由于淺埋隧道的邊界條件在數(shù)學(xué)處理上存在一定的困難，因此，主要

10、采用邊界元3和有限元4等數(shù)值方法進(jìn)行計算，這些方法一般計算量較大。對于解析解方面，房營光等5利用對稱性原理和Laplace 變換，把圍巖增刊1 王志良等：淺埋隧道圍巖應(yīng)力場的計算復(fù)變函數(shù)求解法應(yīng)力表達(dá)為多個局部坐標(biāo)中的級數(shù)之和，并由加法公式進(jìn)一步把它們變換為某個局部坐標(biāo)中的雙重級數(shù)，以滿足其邊界條件，計算過程相當(dāng)復(fù)雜，不便于在工程設(shè)計中采用。陸文超等6利用復(fù)變函數(shù)保角變換將物理平面上的研究域映射到像平面上的圓環(huán)域內(nèi)，將復(fù)勢函數(shù)進(jìn)行羅倫級數(shù)展開，利用邊界條件得到羅倫級數(shù)展開系數(shù)的遞推公式，并由復(fù)勢函數(shù)確定應(yīng)力分量和位移分量。由于解析解自身的缺點，對于復(fù)雜的邊界條件求解困難，因此，其應(yīng)用范圍受到了

11、一定的限制。計算復(fù)變函數(shù)法是在復(fù)變函數(shù)法的基礎(chǔ)上，通過在邊界上配點來滿足所求問題的邊界條件，進(jìn)而求得該問題的解。該方法既能利用解析解的成果，又能利用數(shù)值計算方法的靈活性。荊振華7以集中荷載作用在無限平面內(nèi)任意點（虛擬點）的復(fù)變函數(shù)作為影響函數(shù)，在邊界上配點并計算出若干虛擬點上的影響函數(shù)值，通過影響函數(shù)疊加求得了域內(nèi)的應(yīng)力場和位移場。王林江等8將多保角變換復(fù)變函數(shù)理論與邊界配點的最小二乘法相結(jié)合，提出了彈性力學(xué)中的計算復(fù)變函數(shù)的概念，并以此為基礎(chǔ)計算得到了含有任意多個橢圓孔（包含裂紋）復(fù)合材料板的應(yīng)力場。本文利用計算復(fù)變函數(shù)法進(jìn)行了地面荷載作用下淺埋隧道圍巖的應(yīng)力分析，進(jìn)而獲得該問題的彈性應(yīng)力場

12、。2 問題的描述本文主要分析在地面荷載作用下淺埋隧道的圍巖應(yīng)力場，如圖1所示。該問題可視為任意分布荷載作用下，求解半無限平面附近孔洞應(yīng)力分布的平面應(yīng)變問題。 圖1 地面荷載作用下的淺埋隧道示意圖 Fig.1 Shallow tunnel under ground load3 分析方法3.1 基本方程根據(jù)彈性力學(xué)中的復(fù)變函數(shù)方法，平面問題的解可以表示為在區(qū)域R （除去孔洞的半平面0y <）內(nèi)處處解析的復(fù)勢函數(shù)( z 和( z 。其面內(nèi)應(yīng)力分量與2個復(fù)勢函數(shù)( z 和( z 的關(guān)系如下：4Re (2i 2'( ( y x y x xy z z z z +=+=+（1）則有：Re 2(

13、 ( ( Re 2( ( ( Im ( ( x y xy z z z z z z z z z =+=+ （2）對上式進(jìn)行變換，去掉實部和虛部符號可得12( ( ( 22( '( 12( ( ( 22( ( 1( ( 2i x y xy z z z z z z z z z z z z z z z =+=+=+（3） 3.2 保角映射在平面，圖2給出了半無限空間孔洞保角映射后的區(qū)域。圖中斜線標(biāo)出部分為區(qū)域，是圖1中R 區(qū)域經(jīng)保角映射后的區(qū)域，其保角映射公式為211( i 11z h=+ （4） 式中：h 為孔洞中心深度；為由rh決定的參數(shù)，221r h =+；r 為空洞半徑。圖2 保角映射

14、后的區(qū)域圖Fig.2 The region after conformal mapping87巖 土 力 學(xué) 2010年( z 和( z 在R 區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)( z 和( z 也為解析函數(shù)。令1( ( z z =， 1( ( z z =。因此，由復(fù)變函數(shù)的理論可知：(111111( ( ( ( z z =（5）式（5）為解析函數(shù)。因此，在環(huán)域內(nèi)，(1、(1可以用羅倫級數(shù)來展開：11( , ( nn n n n n a b = （6）同時，有：( (z = （7）將式（6）、式（7）代入式（3），即可得到如下的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式：12( 2( 2( ( 122( 2( n n n n

15、x n n n n n n n n nn n n y n n n n n n n n xy a a b a b a a b a +=+=+12i ( ( ( n n n n n n n a a +=+（8） 在實際計算中，式（8）中的n 最大取有限值P ，最小取Q ，通常P Q 。具體取值根據(jù)具體情況及所要取的精度而定。 3.3 邊界條件由彈性力學(xué)的知識可知，應(yīng)力的邊界條件如下：x xy x xy y y l m p l m p +=+=（9）式中：l 、m 分別為外法線方向的余弦值和正弦值；x p 、y p 為外荷載應(yīng)力分量。在z 平面的邊界上設(shè)置總數(shù)N 個點，并求出相應(yīng)外法線方向的夾角，再

16、通過公式1( z =將各點映射平面上，然后把各映射點代入式（8）求得各點的應(yīng)力值，最后將應(yīng)力值代入邊界條件式（9），因此，每一個所選取的點均可以得到一對復(fù)系數(shù)的線性方程組，將各個點所得到的線性方程組匯總用矩陣表示為b b M D = （10）式中：b M 為24(1 N P Q ×+階系數(shù)矩陣；為由n a 、n b 、n a 、n b 組成的4(1 P Q +階列陣。b D 為由外荷載應(yīng)力分量組成的(1 P Q +階列陣。當(dāng)邊界條件確定后，對于復(fù)函數(shù)1( z 和1( z 須設(shè)置適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充條件后，才能夠唯一確定9。對于本文所求解的應(yīng)力邊界條件問題，補(bǔ)充0Im( a =0，即000a =

17、，應(yīng)力函數(shù)便能夠唯一確定，將其作為補(bǔ)充條件表示為矩陣形式：f f M D = （11）將式（10）、式（11）進(jìn)行合并，可得M D = （12）式中：M 為(21 4(1 N P Q +×+階系數(shù)矩陣；D 為4(1 P Q +階列陣。3.4 求解應(yīng)力場在選擇級數(shù)項數(shù)和邊界配點數(shù)目時還須注意M 應(yīng)為一高陣，即滿足(21 4(1 N P Q +>+，把矩陣M 進(jìn)行奇異值分解，得其廣義逆矩陣1M ，因而，可以求得式（12）的最小二乘解為1M D = （13）在確定了n a 、n b 及其共軛復(fù)數(shù)之后，把它們代入式（12），計算邊界點上的應(yīng)力值，將計算應(yīng)力值與邊界條件進(jìn)行對比來判斷計算

18、結(jié)果的準(zhǔn)確性和精確度。為了更好地滿足邊界條件，可以適當(dāng)?shù)卣{(diào)整P 、Q 值，使應(yīng)力在邊界點上達(dá)到最佳效果。最后，將所求得的n a 、n b 及其的共軛復(fù)數(shù)代入式（8），即可得到應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式。對于孔邊的周向、法向正應(yīng)力及剪應(yīng)力可以通過下式進(jìn)行坐標(biāo)變換10求得88增刊1 王志良等：淺埋隧道圍巖應(yīng)力場的計算復(fù)變函數(shù)求解法1/2( 1/2(cos 2sin 21/2( 1/2(cos 2sin 2 1/2(sin 2cos 2x y x y xy x y x y xy x y xy =+=+=+（14） 4 算 例計算模型如圖3所示，隧道半徑r =3.1 m，隧道中心埋深h =12 m，作用荷載情況見

19、圖3。為了有效地控制荷載邊界條件，在有荷載作用的0y =及 50y = m 的邊界上選取121個點，在x =50 m及x =50 m的邊界上各選取26個點。計算結(jié)果如圖47所示。其中圖46分別為當(dāng)在90°90°范圍內(nèi)變化時隧道圍巖應(yīng)力x 、y 、xy 的分布情況。圖7為=0°時，y 沿x 方向的變化情況。 圖3 力學(xué)模型圖Fig.3 Mechanics model 圖4 隧道周圍y 的應(yīng)力分布Fig.4 Distribution of y around the tunnel 圖5 隧道周圍x 的應(yīng)力分布 Fig.5 Distribution of x around

20、 the tunnel圖6 隧道周圍xy 的應(yīng)力分布 Fig.6 Distribution of xy around the tunnel圖7 隧道中心水平線上y 的應(yīng)力分布 Fig.7 Distribution of y on the horizontal linethrough the tunnel circle center5 結(jié) 論采用計算復(fù)變函數(shù)法計算了淺埋隧道的應(yīng)力場分布。從理論推演和算例結(jié)果看，該方法充分發(fā)揮了解析法和數(shù)值法兩者的優(yōu)點，具有計算簡潔方便、計算量小、結(jié)果精度較高的特點。使用該方法可考慮任意荷載的邊界條件，對荷載位置、大小及荷載形式等沒有限制，適用范圍較廣，便于工程應(yīng)

21、用，將對隧道結(jié)構(gòu)的具體設(shè)計具有重要的指導(dǎo)意義。參 考 文 獻(xiàn)1 孫鈞, 侯學(xué)淵. 地下結(jié)構(gòu)M. 北京: 科學(xué)出版社, 1987.2 孫鈞. 地下工程設(shè)計理論與實踐M. 上海: 上海科學(xué)技術(shù)出版社, 1996.3 劉興業(yè). 邊界元法在圍巖應(yīng)力及圍巖變形分析中的應(yīng)用及發(fā)展J. 巖土工程學(xué)報, 1991, 13(1: 7583. LIU Xing-ye. Application and development of BEM in the stress and deformation analysis of the rock surroundingJ. Chinese Journal of Geote

22、chnical Engineering , 1991, 13(1: 7583.4 林樂彬, 劉寒冰, 劉輝. 隧道圍巖壓力的應(yīng)力分析方法J.土木工程學(xué)報, 2007, 40(8: 8589.LIN Le-bin, LIU Han-bing, LIU Hui. Stress analysis method for pressure of surrounding rocks on tunnelsJ.q = 100 kPa89巖 土 力 學(xué) 2010年China Civil Engineering Journal, 2007, 40(8: 8589. 5 房營光, 孫鈞. 地面荷載下淺埋隧道圍巖的黏

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