淺埋隧道圍巖應(yīng)力場(chǎng)的計(jì)算復(fù)變函數(shù)求解法

1、第31卷增刊1 巖 土 力 學(xué) Vol.31 Supp.1 2010年8月 Rock and Soil Mechanics Aug. 2010收稿日期：2010-04-23基金項(xiàng)目：云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目（No. KKSA200806040）。文章編號(hào)：10007598 (2010 增刊1008605淺埋隧道圍巖應(yīng)力場(chǎng)的計(jì)算復(fù)變函數(shù)求解法王志良1，申林方2，姚 激3，高成杰4（1. 同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092；2. 中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所，武漢 430071；3. 昆明理工大學(xué) 工程力學(xué)系，昆明 650024；4. 北京市環(huán)境保護(hù)科學(xué)研究院，北京 100037）摘

2、 要：對(duì)于受地表邊界和地面荷載影響的淺埋隧道的圍巖應(yīng)力場(chǎng)，由于在數(shù)學(xué)處理上存在一定的困難，很難用解析解來(lái)進(jìn)行分析，而通常采用邊界元或有限元的數(shù)值方法來(lái)解答。為了求解淺埋隧道的應(yīng)力場(chǎng)，采用邊界配點(diǎn)來(lái)確定邊界條件，同時(shí)用保角映射將一個(gè)含圓孔的半無(wú)限空間區(qū)域映射為圓環(huán)域，然后把這個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)展開(kāi)成Laurent 級(jí)數(shù)的形式，利用Muskhelishvili 的復(fù)變函數(shù)理論和最小二乘法來(lái)確定解析函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)，從而求得淺埋隧道圍巖壓力的半數(shù)值、半解析解，最后通過(guò)算例給出了圍巖應(yīng)力的分布情況。計(jì)算結(jié)果表明，該方法計(jì)算精度高、計(jì)算量小，具有應(yīng)用價(jià)值。 關(guān) 鍵 詞：保角映射；復(fù)變函數(shù)；淺埋隧道；半數(shù)值

3、半解析解；計(jì)算復(fù)變函數(shù)法 中圖分類號(hào)：U 451 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ACalculation of stress field in surrounding rocks of shallow tunnel using computational function of complex variable methodWANG Zhi-liang1, SHEN Lin-fang 2, YAO Ji 3, GAO Cheng-jie 4(1. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;

4、2. Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, China;3. Department of Engineering Mechanics, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650024, China;4. Beijing Municipal Research Institute of Environmental Protection, Beijing 100037, ChinaAbstract: Du

5、e to the influence of surface boundary and ground loads, the analysis of surrounding rocks of shallow tunnel is difficult by mathematic method. The analytic solution is too difficulty to obtain, so many solutions were obtained by using boundary element method or finite element method. In order to ob

6、tain stress field in surrounding rocks of shallow tunnel, the boundary condition is determined by setting finite points; the considered region in the physical plane is mapped to a circular ring region in the image plane by using the complex conformal transformation; and then the analytic functions a

7、re expanded into Laurent series; the Laurent series coefficients is obtained by using the function of complex variable method founded by Muskhelishvili and the least square method. The semi-analytical and semi-numerical solution of shallow tunnels stress field could be obtained by putting the Lauren

8、t Series coefficients into equation. Finally, the stress of surrounding rocks is depicted through an example. The results show that the computational function of complex variable method is precise, efficient and applicable.Key words: conformal mapping; function of complex variable; shallow tunnel; t

9、he semi-analytical and semi-numerical solution; computational function of complex variable method1 引 言隧道圍巖應(yīng)力分析作為隧道設(shè)計(jì)的一個(gè)重要內(nèi)容，已取得了不少的研究成果12。但這些研究成果主要集中在深埋隧道上，也就是將圍巖視為無(wú)限巖土介質(zhì)，忽略了地表邊界條件和地表局部荷載條件限制。隨著近些年城市軌道交通的興起，這些因素對(duì)淺埋隧道的影響日益顯著。圍巖應(yīng)力受外界條件的影響非常明顯，與深埋隧道相比，其變化也更復(fù)雜，目前相應(yīng)的研究成果也較少。由于淺埋隧道的邊界條件在數(shù)學(xué)處理上存在一定的困難，因此，主要

10、采用邊界元3和有限元4等數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算，這些方法一般計(jì)算量較大。對(duì)于解析解方面，房營(yíng)光等5利用對(duì)稱性原理和Laplace 變換，把圍巖增刊1 王志良等：淺埋隧道圍巖應(yīng)力場(chǎng)的計(jì)算復(fù)變函數(shù)求解法應(yīng)力表達(dá)為多個(gè)局部坐標(biāo)中的級(jí)數(shù)之和，并由加法公式進(jìn)一步把它們變換為某個(gè)局部坐標(biāo)中的雙重級(jí)數(shù)，以滿足其邊界條件，計(jì)算過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，不便于在工程設(shè)計(jì)中采用。陸文超等6利用復(fù)變函數(shù)保角變換將物理平面上的研究域映射到像平面上的圓環(huán)域內(nèi)，將復(fù)勢(shì)函數(shù)進(jìn)行羅倫級(jí)數(shù)展開(kāi)，利用邊界條件得到羅倫級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)的遞推公式，并由復(fù)勢(shì)函數(shù)確定應(yīng)力分量和位移分量。由于解析解自身的缺點(diǎn)，對(duì)于復(fù)雜的邊界條件求解困難，因此，其應(yīng)用范圍受到了

11、一定的限制。計(jì)算復(fù)變函數(shù)法是在復(fù)變函數(shù)法的基礎(chǔ)上，通過(guò)在邊界上配點(diǎn)來(lái)滿足所求問(wèn)題的邊界條件，進(jìn)而求得該問(wèn)題的解。該方法既能利用解析解的成果，又能利用數(shù)值計(jì)算方法的靈活性。荊振華7以集中荷載作用在無(wú)限平面內(nèi)任意點(diǎn)（虛擬點(diǎn)）的復(fù)變函數(shù)作為影響函數(shù)，在邊界上配點(diǎn)并計(jì)算出若干虛擬點(diǎn)上的影響函數(shù)值，通過(guò)影響函數(shù)疊加求得了域內(nèi)的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。王林江等8將多保角變換復(fù)變函數(shù)理論與邊界配點(diǎn)的最小二乘法相結(jié)合，提出了彈性力學(xué)中的計(jì)算復(fù)變函數(shù)的概念，并以此為基礎(chǔ)計(jì)算得到了含有任意多個(gè)橢圓孔（包含裂紋）復(fù)合材料板的應(yīng)力場(chǎng)。本文利用計(jì)算復(fù)變函數(shù)法進(jìn)行了地面荷載作用下淺埋隧道圍巖的應(yīng)力分析，進(jìn)而獲得該問(wèn)題的彈性應(yīng)力場(chǎng)

12、。2 問(wèn)題的描述本文主要分析在地面荷載作用下淺埋隧道的圍巖應(yīng)力場(chǎng)，如圖1所示。該問(wèn)題可視為任意分布荷載作用下，求解半無(wú)限平面附近孔洞應(yīng)力分布的平面應(yīng)變問(wèn)題。 圖1 地面荷載作用下的淺埋隧道示意圖 Fig.1 Shallow tunnel under ground load3 分析方法3.1 基本方程根據(jù)彈性力學(xué)中的復(fù)變函數(shù)方法，平面問(wèn)題的解可以表示為在區(qū)域R （除去孔洞的半平面0y <）內(nèi)處處解析的復(fù)勢(shì)函數(shù)( z 和( z 。其面內(nèi)應(yīng)力分量與2個(gè)復(fù)勢(shì)函數(shù)( z 和( z 的關(guān)系如下：4Re (2i 2'( ( y x y x xy z z z z +=+=+（1）則有：Re 2(

13、 ( ( Re 2( ( ( Im ( ( x y xy z z z z z z z z z =+=+ （2）對(duì)上式進(jìn)行變換，去掉實(shí)部和虛部符號(hào)可得12( ( ( 22( '( 12( ( ( 22( ( 1( ( 2i x y xy z z z z z z z z z z z z z z z =+=+=+（3） 3.2 保角映射在平面，圖2給出了半無(wú)限空間孔洞保角映射后的區(qū)域。圖中斜線標(biāo)出部分為區(qū)域，是圖1中R 區(qū)域經(jīng)保角映射后的區(qū)域，其保角映射公式為211( i 11z h=+ （4） 式中：h 為孔洞中心深度；為由rh決定的參數(shù)，221r h =+；r 為空洞半徑。圖2 保角映射

14、后的區(qū)域圖Fig.2 The region after conformal mapping87巖 土 力 學(xué) 2010年( z 和( z 在R 區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)( z 和( z 也為解析函數(shù)。令1( ( z z =， 1( ( z z =。因此，由復(fù)變函數(shù)的理論可知：(111111( ( ( ( z z =（5）式（5）為解析函數(shù)。因此，在環(huán)域內(nèi)，(1、(1可以用羅倫級(jí)數(shù)來(lái)展開(kāi)：11( , ( nn n n n n a b = （6）同時(shí)，有：( (z = （7）將式（6）、式（7）代入式（3），即可得到如下的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式：12( 2( 2( ( 122( 2( n n n n

15、x n n n n n n n n nn n n y n n n n n n n n xy a a b a b a a b a +=+=+12i ( ( ( n n n n n n n a a +=+（8） 在實(shí)際計(jì)算中，式（8）中的n 最大取有限值P ，最小取Q ，通常P Q 。具體取值根據(jù)具體情況及所要取的精度而定。 3.3 邊界條件由彈性力學(xué)的知識(shí)可知，應(yīng)力的邊界條件如下：x xy x xy y y l m p l m p +=+=（9）式中：l 、m 分別為外法線方向的余弦值和正弦值；x p 、y p 為外荷載應(yīng)力分量。在z 平面的邊界上設(shè)置總數(shù)N 個(gè)點(diǎn)，并求出相應(yīng)外法線方向的夾角，再

16、通過(guò)公式1( z =將各點(diǎn)映射平面上，然后把各映射點(diǎn)代入式（8）求得各點(diǎn)的應(yīng)力值，最后將應(yīng)力值代入邊界條件式（9），因此，每一個(gè)所選取的點(diǎn)均可以得到一對(duì)復(fù)系數(shù)的線性方程組，將各個(gè)點(diǎn)所得到的線性方程組匯總用矩陣表示為b b M D = （10）式中：b M 為24(1 N P Q ×+階系數(shù)矩陣；為由n a 、n b 、n a 、n b 組成的4(1 P Q +階列陣。b D 為由外荷載應(yīng)力分量組成的(1 P Q +階列陣。當(dāng)邊界條件確定后，對(duì)于復(fù)函數(shù)1( z 和1( z 須設(shè)置適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充條件后，才能夠唯一確定9。對(duì)于本文所求解的應(yīng)力邊界條件問(wèn)題，補(bǔ)充0Im( a =0，即000a =

17、，應(yīng)力函數(shù)便能夠唯一確定，將其作為補(bǔ)充條件表示為矩陣形式：f f M D = （11）將式（10）、式（11）進(jìn)行合并，可得M D = （12）式中：M 為(21 4(1 N P Q +×+階系數(shù)矩陣；D 為4(1 P Q +階列陣。3.4 求解應(yīng)力場(chǎng)在選擇級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)和邊界配點(diǎn)數(shù)目時(shí)還須注意M 應(yīng)為一高陣，即滿足(21 4(1 N P Q +>+，把矩陣M 進(jìn)行奇異值分解，得其廣義逆矩陣1M ，因而，可以求得式（12）的最小二乘解為1M D = （13）在確定了n a 、n b 及其共軛復(fù)數(shù)之后，把它們代入式（12），計(jì)算邊界點(diǎn)上的應(yīng)力值，將計(jì)算應(yīng)力值與邊界條件進(jìn)行對(duì)比來(lái)判斷計(jì)算

18、結(jié)果的準(zhǔn)確性和精確度。為了更好地滿足邊界條件，可以適當(dāng)?shù)卣{(diào)整P 、Q 值，使應(yīng)力在邊界點(diǎn)上達(dá)到最佳效果。最后，將所求得的n a 、n b 及其的共軛復(fù)數(shù)代入式（8），即可得到應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式。對(duì)于孔邊的周向、法向正應(yīng)力及剪應(yīng)力可以通過(guò)下式進(jìn)行坐標(biāo)變換10求得88增刊1 王志良等：淺埋隧道圍巖應(yīng)力場(chǎng)的計(jì)算復(fù)變函數(shù)求解法1/2( 1/2(cos 2sin 21/2( 1/2(cos 2sin 2 1/2(sin 2cos 2x y x y xy x y x y xy x y xy =+=+=+（14） 4 算 例計(jì)算模型如圖3所示，隧道半徑r =3.1 m，隧道中心埋深h =12 m，作用荷載情況見(jiàn)

19、圖3。為了有效地控制荷載邊界條件，在有荷載作用的0y =及 50y = m 的邊界上選取121個(gè)點(diǎn)，在x =50 m及x =50 m的邊界上各選取26個(gè)點(diǎn)。計(jì)算結(jié)果如圖47所示。其中圖46分別為當(dāng)在90°90°范圍內(nèi)變化時(shí)隧道圍巖應(yīng)力x 、y 、xy 的分布情況。圖7為=0°時(shí)，y 沿x 方向的變化情況。 圖3 力學(xué)模型圖Fig.3 Mechanics model 圖4 隧道周圍y 的應(yīng)力分布Fig.4 Distribution of y around the tunnel 圖5 隧道周圍x 的應(yīng)力分布 Fig.5 Distribution of x around

20、 the tunnel圖6 隧道周圍xy 的應(yīng)力分布 Fig.6 Distribution of xy around the tunnel圖7 隧道中心水平線上y 的應(yīng)力分布 Fig.7 Distribution of y on the horizontal linethrough the tunnel circle center5 結(jié) 論采用計(jì)算復(fù)變函數(shù)法計(jì)算了淺埋隧道的應(yīng)力場(chǎng)分布。從理論推演和算例結(jié)果看，該方法充分發(fā)揮了解析法和數(shù)值法兩者的優(yōu)點(diǎn)，具有計(jì)算簡(jiǎn)潔方便、計(jì)算量小、結(jié)果精度較高的特點(diǎn)。使用該方法可考慮任意荷載的邊界條件，對(duì)荷載位置、大小及荷載形式等沒(méi)有限制，適用范圍較廣，便于工程應(yīng)

21、用，將對(duì)隧道結(jié)構(gòu)的具體設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。參 考 文 獻(xiàn)1 孫鈞, 侯學(xué)淵. 地下結(jié)構(gòu)M. 北京: 科學(xué)出版社, 1987.2 孫鈞. 地下工程設(shè)計(jì)理論與實(shí)踐M. 上海: 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 1996.3 劉興業(yè). 邊界元法在圍巖應(yīng)力及圍巖變形分析中的應(yīng)用及發(fā)展J. 巖土工程學(xué)報(bào), 1991, 13(1: 7583. LIU Xing-ye. Application and development of BEM in the stress and deformation analysis of the rock surroundingJ. Chinese Journal of Geote

22、chnical Engineering , 1991, 13(1: 7583.4 林樂(lè)彬, 劉寒冰, 劉輝. 隧道圍巖壓力的應(yīng)力分析方法J.土木工程學(xué)報(bào), 2007, 40(8: 8589.LIN Le-bin, LIU Han-bing, LIU Hui. Stress analysis method for pressure of surrounding rocks on tunnelsJ.q = 100 kPa89巖 土 力 學(xué) 2010年China Civil Engineering Journal, 2007, 40(8: 8589. 5 房營(yíng)光, 孫鈞. 地面荷載下淺埋隧道圍巖的黏

23、彈性應(yīng)力和變形分析J. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 1998, 17(3: 239247.FANG Ying-guang, SUN Jun. Viscoelastic stress and deformation analysis of shallow tunnels under the load on the ground surroundingJ. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1998, 17(3: 239247. 6 陸文超, 仲政, 王旭. 淺埋隧道圍巖應(yīng)力場(chǎng)的解析解J.力學(xué)季刊, 2003, 24(1: 5054.L

24、U Wen-Chao, ZHONG Zheng, WANG Xu. Analytical solution for stress field in surrounding rocks of shallow tunnelJ. Chinese Quarterly of Mechanics, 2003, 24(1: 5054.7 荊振華. 彈性平面問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)邊界配點(diǎn)法J. 阜新礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 1991, 10(2: 8189. JING Zhen-hua. Functions of complex variable boundary collocation point method for pl

25、ane problem of elastic theoryJ. Journal of Fuxin Mining Institute, 1991, 10(2: 8189.8 王林江, 盛振娟, 林佳鏗, 等. 用計(jì)算復(fù)變函數(shù)法處理含多個(gè)橢圓孔有限大小復(fù)合材料板的應(yīng)力場(chǎng)J. 東南大學(xué)學(xué)報(bào), 1999, 29(6: 113118.WANG Lin-jiang, SHENG Zhen-juan, LIN Jia-keng. Calculation of stress in a finite composite plate with multiple elliptical holes using com

26、putational complex function methodJ. Journal of Southeast University, 1999, 29(6: 113118.9 路見(jiàn)可. 平面彈性復(fù)變方法M. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2002.10 徐芝綸. 彈性力學(xué)(第3版M. 北京: 高等教育出版社,1990.上接第7頁(yè)8 陳國(guó)興, 陳磊, 景立平, 等. 地鐵地下結(jié)構(gòu)抗震分析并行計(jì)算的顯式與隱式算法比較J. 鐵道學(xué)報(bào), 2010, 待刊.CHEN Guo-xing, CHEN Lei, JING Li-pin, et al. Comparison of implicit and e

27、xplicit finite element methods with parallel computing for seismic response analysis of metro underground structuresJ. Journal of the China Railway Society, 2010, (Accept. 9 SHAKE D K, RIZZO P C, STEPHENSON D E.Earthquake load analysis of tunnels and shaftsC/ Proceedings of the 7th World Conference

28、on Earthquake Engineering. Michigan: University of Michigan Press, 1980: 2028.10 KOJI U, SHUNSUKE S. Characteristic of the verticalseismic waves associated with the 1995 HYOGO- NANBU (KOBE, Japan earthquake estimated from the failure of the Dakai underground stationJ. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2000, (6: 813821.11 劉晶波, 劉祥慶, 李彬. 地下結(jié)構(gòu)抗震分析與設(shè)計(jì)的Pusho