傅里葉變換的基本性質(zhì)

1、3-5傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換建立了時(shí)間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系。在實(shí)際信號分析中，經(jīng)常需因此有必要對信號的時(shí)域和頻域之間的對應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律有一個(gè)清楚而深入的理解。要討論傅里葉變換的基本性質(zhì)，并說明其應(yīng)用。線性傅里葉變換是一種線性運(yùn)算。若fi(t)Fi(j )f2(t)F2(j )afi(t)bf2(t)aFi(j ) bF2(j )(3-55)F(j其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。例3-6利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號的頻譜函數(shù)f(t)1U(t) 22sgn由式（3-55）F(j) U(t)sgn (t)2 j二、對稱性(t) F(jF(jt)

2、2 f(3-56)證明 因?yàn)?f(t) 2F(j)ej td2 f(t)F(j)ej td2 f( t)F(j)e j td將上式中變量換為X,積分結(jié)果不變,2 f(t)F(jx)e jxtdx再將t用 代之，上述關(guān)系依然成立,2 f(F(jx)e jXdx最后再將x用t代替，則得2 f(F(jt)e j tdtF(jt)所以F(jt) 2f()證畢若f（t）是一個(gè)偶函數(shù)，即f(t) f(t)，相應(yīng)有f（） f（），則式（3-56）成為F(jt) 2 f()(3-57)可見，傅里葉變換之間存在著對稱關(guān)系，即信號波形與信號頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù)2。式中的表示頻譜函數(shù)坐

3、標(biāo)軸必須正負(fù)對調(diào)。例如F(jt)12 f()例3-7若信號f （t）的傅里葉變換為2 AF(j) 01212試求f （t）。解 將F（j ）中的換成t，并考慮F（j的實(shí)函數(shù)，有/2/2F(t)2 A "（?。〧(jt) F(t)該信號的傅里葉變換由式（3-54）可知為根據(jù)對稱性F(t)2 f()f()A Sa()2術(shù)F(j )/20 /23-20所示。再將f（）中的 換成t，則得f(t)f（t）為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖三、折疊性f(t) F(j )f( t) F( j )F(jF(jf(t)為實(shí)函數(shù) f(t)為虛函數(shù)(3-58)四、尺度變換性觀看動畫f(t)F(jf(at)1-F

4、(j-) (a a為大于零的實(shí)常數(shù))(3-59)證明因a>0,由f(at)f(at)e j tdtat，則dx adt，代入前式,可得函數(shù)f(x)f(x)e證畢f(xié) (at)表示f (t)沿時(shí)間軸壓縮(或時(shí)間尺度擴(kuò)展)a倍，而F(j a)則表示F(j )沿頻率軸擴(kuò)展(或頻率尺度壓縮)a倍。該性質(zhì)反映了信號的持續(xù)時(shí)間與其占有頻帶成反比,信號持續(xù)時(shí)間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的展寬倍數(shù)，反之亦然。例3-8已知f(t)/4/4解前面已討論了,求頻譜函數(shù)F(j )。的頻譜函數(shù)，且f0(t)Fo(j )12/2Sa()f(t to)F(j )ejto(3-6o)根據(jù)尺度變換性，信號f(t)比fo(t

5、)的時(shí)間尺度擴(kuò)展一倍，即波形壓縮了一半，因此其頻譜函數(shù)F(j九)兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示。Afo(t)/20 /2>t/4 0 /4>t五、時(shí)移性f(t) F(j此性質(zhì)可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證明。它表明若在時(shí)域f (t)平移時(shí)間to，則其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變to。E例 3-9 求 f(t) 0t 0,t的頻譜函數(shù)F(j )。解：根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號和傅里葉變換的時(shí)移性，有F(j ) E Sa(2)e j /22六、頻移性f(t) F(jf (t)e j otF j0(3-61)證明f (t)e j otf (t)e j ote j

6、tdtf(t)e 0)tdt F j( o)證畢頻移性說明若信號f(t)乘以e j ot，相當(dāng)于信號所分解的每一指數(shù)分量都乘以e j ot，這就使頻譜中的每條譜線都必須平移0，亦即整個(gè)頻譜相應(yīng)地搬移了0位置。頻譜搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用，諸如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜搬移實(shí)現(xiàn)原理是將信號f(t)乘以所謂載頻信號cos ot或sin ot ，即f (t)cos0tF j(0)F j(0)f (t)sin0tF j(0)F j(0)七、時(shí)域微分性f(t)F(j )dnf(t)dtn(j)nF(j )(3-62)證明 因?yàn)閒(t)F(j)ejtd兩邊對t求導(dǎo)

7、數(shù)，得所以df(t)dtF(j )ejtddf(t)dt(j)F(j )同理，可推出例 3-10 求 f (t)dnf(jdtn)nF(j )證畢(t)的頻譜函數(shù)F(j )。解：因?yàn)?t)1由時(shí)域微分性F(j ) (j )n例3-11圖3-22所示信號f(t)為三角形函數(shù)f (t)(2)1求其頻譜函數(shù)F(j )。f（t）微分兩次后,得到圖(t)由微分性f (t) (j)2f(t)所以f(t)2(cos(j(a)八、頻域微分性3-22(c)-(ej1)廠所示函數(shù)，其表達(dá)式為(t)sin2(t-cos 1/2)(/2)21/0-1/ JI-(b)圖 3 - 22f(t) F(j )tf(t) jS

8、df (t)t(1/ )lf(10'(-2/ )(c)ttnf(t) (j)ndnF(j )(3-63)例 3-12 求 f (t)tu(t)的頻譜函數(shù)F(j解：因?yàn)閁(t)根據(jù)頻域微分性tu (t).djd九、時(shí)域積分性f(t)F(jf(t)dtF(jF(0)()(3-64)例3-13根據(jù)解：因?yàn)楦鶕?jù)時(shí)域積分性例3-14求圖(t)1和積分性求U(t)U(t)f(t)(t)3-23U (t)的頻譜函數(shù)。(x)dx所示信號f(t)的頻譜函數(shù)F(j )。1解：f（t）對t求兩次微分后,得(t)/2)(t /2)f (t)1-ej t/21-e/2j-si n(牙)由時(shí)域積分性f'(

9、t)f (x)dx2sin(2)2 叫）Sa（2）f(t)f (x)dxsin(-)Sa(0)(1()Sa()(a)1/:1*taAf(t)(1/外/20十、頻域積分性1-f(0)/2 0代t(-1/)f(t)(b)(c)圖 3 - 23F(j1(t) - f(t)F( jx)dx(3-65)例3-15已知f半，求F（j解：因?yàn)闀A)2T(ejt ejt)2r(1)1) j1)(1)根據(jù)頻域積分性sin(t)1tj(X 1)(X1) dxU(1)U(1)1 、時(shí)域卷積定理f1(t)F1(jf2(t)F2(jf1(t)f2(t)F1(j)F2(j(3-66)證明F f1(t) f2(t)f1()f

10、2(t)d ef1()f2(t)e j tdt df1( )F2(j)e j tdF2(j )f1()eF2(j )F1(j證畢例3-16圖3-24(a)所示的三角形函數(shù)f(t) 1 也0可看做為兩個(gè)如圖3-24(b)所示門函數(shù)G (t)卷積。試?yán)脮r(shí)域卷積定理求其頻譜函數(shù)F(j )。所以解:(a)圖tf(t)F(j3 - 24sin(5)例3-17 一個(gè)信號f(t)的希伯特變換f(t)解：因?yàn)閯t對稱性2jt(t) G1f(t)-水 G (t)1/2 0'/2 ' t(b)Sa()(t)-Sa2(亍丄f(t)是f (t)和t的卷積，即sgn(t)2 sgn(2 j2 sgn()

11、由時(shí)域卷積定理f(t)jsgn()1f(t) - jsgn( )F(j )F(j ) jsgn( )F(j )十二、頻域卷積定理fi(t)Fi(j )f2(t)F2(j )fl(t)f2(t)1Fi(j ) F2(j )(3-67)fi(t)f2(t)Fi(j2 f)F2(j2 f)例 3-18利用頻域卷積定理求f(t) tU(t)的傅里葉變換F(j )。解：因?yàn)?#39;(t)由對稱性jtj2U(t)所以根據(jù)頻域卷積定理1f(t) tu(t)F(j )j2()(-)'F(j )(丄)十三、帕塞瓦爾定理fi(t)f2(t)F2(jfi(t) f 2(t)dtFi(j)F2(j)d(3-

12、68)可推廣fi(t)2dtFi(j2d(3-69)若fi（t）為實(shí)函數(shù)，則Fi2(j)d(3-70)若fi（t） , f2（t）為實(shí)函數(shù)，則fi(t) f 2(t)dtiFi(j )F2(j )d (3-7i)例3-i9求Sa2( )do解：因由帕塞瓦爾疋理可得十四、奇偶性若 f(t) F(jSa2( )dSa2(F( )e(1)當(dāng)f(t)為實(shí)函數(shù)時(shí),242Sa( )2 Sa( )d2Sa()dR(G2(t)G2(t)G2(t)dtjX(),F( ) F(j()F()R()X()R(X()(3-72)若f(t)為實(shí)偶函數(shù)，即f(t)f(t)F(j)F(X()R( 實(shí)偶函數(shù)(3-73)若f (t)為實(shí)奇函數(shù)，即f(t)f( t)，則F(j )R(jX(0虛奇函數(shù))(3-74)當(dāng)f(t)為虛函數(shù)，即f(t)jx(t)時(shí)，則F( ) F() (R( ) R(X( ) X(3-75)傅里葉變換的基本性質(zhì)歸納如表3-3所示。表3-3傅里葉變換的基本性質(zhì)性質(zhì)名稱時(shí)域頻域1.線性af1(t)bf2(t)aF1(j ) bF2(j )2.對稱性F(jt)2 f()3.折疊性f( t)F( j )4.尺度變換性f(at)-F(j-)aa5.時(shí)移性f (t to )F(j )ejt06.頻移性e j 0t f(t)F j(o)7.時(shí)域微分dnf(t) d