第三節(jié)三重積分的計(jì)算

1、第三節(jié)第三節(jié) 三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算一、三重積分的定義一、三重積分的定義二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)設(shè)),(zyxf是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域 上的有界上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域函數(shù)，將閉區(qū)域 任意分成任意分成n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域1v ，2v , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積表示它的體積, ,在每個(gè)在每個(gè)iv 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(iii 作乘積作乘積iiiivf ),(，), 2 , 1

2、(ni ， 并作和， 并作和, , 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(zyxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上的上的三重積分三重積分，記為，記為 vzyxfd),(, , 一、三重積分的定義一、三重積分的定義即即 vzyxfd),(iiiniivf ),(lim10 . .d叫做體積元素叫做體積元素其中其中 v, 的平面來(lái)劃分的平面來(lái)劃分用平行于坐標(biāo)面用平行于坐標(biāo)面在直角坐標(biāo)系中，如果在直角坐標(biāo)系中，如果.lkjizyxv 則則三三重重積積分分記記為為 zyxzyxfddd),

3、(iiiniivf ),(lim10 . .ddd積元素積元素叫做直角坐標(biāo)系中的體叫做直角坐標(biāo)系中的體其中其中zyx(1) 三重積分的存在性：三重積分的存在性：當(dāng)當(dāng)),(zyxf在在 閉閉 區(qū)區(qū) 域域 上上 連連 續(xù)續(xù) 時(shí)時(shí) ， 則則),(zyxf在在 上上的的三三重重積積分分一一定定存存在在. (2) 三重積分沒有幾何意義，但有物理意義三重積分沒有幾何意義，但有物理意義. 設(shè)設(shè)),(zyxf表示表示某某物體物體在在點(diǎn)點(diǎn)),(zyx處的處的體體密密度度， 是是該物體該物體所所占有占有的的空間空間區(qū)域區(qū)域， ),(zyxf在在 上連續(xù)，上連續(xù)，則則該該物體物體的質(zhì)量的質(zhì)量 m 為為： vzyxf

4、md),(性質(zhì)性質(zhì) (線性性質(zhì)線性性質(zhì)) vzyxgzyxfd),(),(性質(zhì)性質(zhì)2 (對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性)21 設(shè)設(shè) vzyxgvzyxfd),(d),( 21d),(d),(d),( vzyxfvzyxfvzyxf性質(zhì)性質(zhì)3.d1 vv性質(zhì)性質(zhì)4, 0),( zyxf. 0d),( vzyxf則有則有若在若在d上有上有(3) 絕對(duì)可積性絕對(duì)可積性.d| ),(|d),( vzyxfvzyxf若在若在d上有上有),(),(zyxgzyxf .d),(d),( vzyxgvzyxf則有則有(2) (2) 單調(diào)性單調(diào)性(1) (1) 正性正性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxf在閉區(qū)域在閉

5、區(qū)域 上連續(xù)，上連續(xù)，v為為 的面積，則在的面積，則在 上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)),( 使得使得 性質(zhì)性質(zhì)5（三重積分中值定理）（三重積分中值定理）vfvzyxf ),(d),( .d),(1lim,),(,),( ,),(30000000 rvzyxfrrzyxzyxzyxfrr 試求極限試求極限為半徑的閉球體為半徑的閉球體心以心以為中為中是以是以的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)是是上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè)例例直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分1、坐標(biāo)面投影法、坐標(biāo)面投影法xyzo d1z2z2s1s),(

6、1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,xydxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzsyxzzs ,),(作作直直線線過過點(diǎn)點(diǎn)xydyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz),( , ),(),(| ),(21xydyxyxzzyxzzyx 函數(shù)，則函數(shù)，則的的只看作只看作看作定值，將看作定值，將先將先將zzyxfyx),(, ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyxf上的二重積分上的二重積分在閉區(qū)間在閉區(qū)間計(jì)算計(jì)算xydyxf),(.dd),(d),(),(),(21 dyx

7、zyxzdzzyxfyxf , )()(| ),(21bxaxyyxyyxd 得得 vzyxfd),(.d),(dd)()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzzzyxfyx注意注意于兩點(diǎn)情形于兩點(diǎn)情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線與閉區(qū)域直線與閉區(qū)域內(nèi)部的內(nèi)部的軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域這是平行于這是平行于sz 這種方法稱為坐標(biāo)面投影法這種方法稱為坐標(biāo)面投影法. .型空間區(qū)域型空間區(qū)域稱為稱為閉區(qū)域閉區(qū)域xy ),( , ),(),(| ),(21xydyxyxzzyxzzyx 例例 1 1 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfi),(為三為三次積分，其中積分區(qū)域

8、次積分，其中積分區(qū)域 為由曲面為由曲面 222yxz 及及22xz 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域 , 1:22 yxdxy.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxi),( ,22| ),(222xydyxxzyxzyx 故故 ：11,11| ),(22 xxyxyxdxy例例2 2 化化三三重重積積分分 dxdydzzyxfi),(為為三三次次積積分分，其其中中 積積分分區(qū)區(qū)域域 為為由由曲曲面面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所所圍圍成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. 1101222),(yxxdzzy

9、xfdydxi.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖，),( , ),(),(| ),(21yzdzyzyxxzyxzyx :,yzdyozsx平面得投影區(qū)域平面得投影區(qū)域投影到投影到把把相交不多于兩點(diǎn)相交不多于兩點(diǎn)的邊界曲面的邊界曲面與與內(nèi)部的直線內(nèi)部的直線軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域若平行于若平行于 .型空間區(qū)域型空間區(qū)域稱為稱為閉區(qū)域閉區(qū)域yz vzyxfd),(.dd),(),(),(21 yzdzyxzyxxzyxf ),( , ),(),(| ),(21zxdxzxzyyxzyzyx :,zxdzoxsy平面得投影區(qū)域平面得投影區(qū)域投影到投影到把把相交不多于兩點(diǎn)相

10、交不多于兩點(diǎn)的邊界曲面的邊界曲面與與內(nèi)部的直線內(nèi)部的直線軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域若平行于若平行于 .型空間區(qū)域型空間區(qū)域稱為稱為閉區(qū)域閉區(qū)域zx vzyxfd),(.dd),(),(),(21 zxdxzyxzyyzyxf 例例 3 3 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分dxdydzxy 21，其其中中 由由曲曲面面221zxy ，122 zx，1 y所所圍圍成成. 先對(duì)先對(duì)y積分，積分， 再求再求zxd上二重積分上二重積分, 解解如圖如圖, 11222ddd1zxdyyzxxzx原式原式dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31d

11、xxx.4528 2、坐標(biāo)軸投影法、坐標(biāo)軸投影法(截面法截面法) , ,qpz 軸作投影得投影區(qū)間軸作投影得投影區(qū)間向向?qū)⒖臻g區(qū)域?qū)⒖臻g區(qū)域 ,), 0 , 0(,所得的平面區(qū)域所得的平面區(qū)域面的平面截面的平面截于于且平行且平行表示過點(diǎn)表示過點(diǎn)用用時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xoyzdqzpz :可表示為可表示為若若 ,),( | ),(qzpdyxzyxz .型空間區(qū)域型空間區(qū)域稱為稱為則閉區(qū)域則閉區(qū)域z .,型區(qū)域型區(qū)域型區(qū)域與型區(qū)域與可定義可定義類似地類似地yx(1) 把積分區(qū)域把積分區(qū)域 向某軸（例如向某軸（例如 z軸）投軸）投影，得投影區(qū)間影，得投影區(qū)間 ,qp； (3) 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 z

12、dyxzyxfdd),( 其結(jié)果為其結(jié)果為 z的函數(shù)的函數(shù))(zf； (2) 對(duì)對(duì),qpz 用過用過z軸且平行軸且平行xoy平面的平面平面的平面去截去截 ，得截面，得截面zd; (4) 最最后后計(jì)計(jì)算算單單積積分分 qpzzfd)(即即得得三三重重積積分分值值. 坐標(biāo)軸投影法坐標(biāo)軸投影法(截面法截面法)的一般步驟的一般步驟: zpq例例 4 4 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 zyxzddd，其中，其中 為三個(gè)為三個(gè)坐標(biāo)面及平面坐標(biāo)面及平面1 zyx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解（一）（一） zdxdydz,10 zddxdyzdz1| ),(zyxyxdz )1)(1(21zzdxdyzd

13、原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy111解解（二）（二）xozy111 zdxdydz,10 zddxdyzdz zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .例例 5 5 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分dxdydzz 2，其中，其中 是是由橢球面由橢球面1222222 czbyax所成的空間閉區(qū)域所成的空間閉區(qū)域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zdccdxdydzzxyzozd解解)1()1(222222czbczadxdyzd ),1(22czab ccdzzczab222)1(.

14、1543abc | ),(yxdz 1222222czbyax 原式原式法：法：下列情形可考慮用截面下列情形可考慮用截面;,)1型型的的恰恰是是型型的的不不是是積積分分區(qū)區(qū)域域zxy .dd),(,)2易易于于計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)或或的的函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)表表達(dá)達(dá)為為的的面面積積容容易易且且無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)被被積積函函數(shù)數(shù)與與 zdzyxzyxfzdxy例例 6 計(jì)算計(jì)算 dxdydzyxi)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲的曲面面與與平面平面8 z所圍的立體所圍的立體. 解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸旋轉(zhuǎn)得， 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面方方

15、程程為為 ,222zyx .,2,22故可用截面法計(jì)算故可用截面法計(jì)算圓域圓域截面為截面為軸的平面去截它軸的平面去截它用垂直于用垂直于zyxz 80222dd )(d22yxyxzizyx80,),( | ),( zdyxzyxz 2| ),(22zyxyxdz 其中其中 zz2028020ddd 802d4412zz 3823 .31024 3、利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算、利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性的奇偶性則則

16、上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為面對(duì)稱的有界閉區(qū)域面對(duì)稱的有界閉區(qū)域中關(guān)于中關(guān)于為為若若,),(,3 zyxfxoyr.1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xoy ;0d),(,),(vzyxfzyxf為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí)關(guān)于關(guān)于當(dāng)當(dāng)z 1d),(d),(,),( vzyxfvzyxfzyxf為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)時(shí)關(guān)于關(guān)于當(dāng)當(dāng)z2例例 6 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222 其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域1| ),(222 zyxzyx. 解解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的的奇函數(shù)奇函數(shù),z. 0

17、1)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz例例7 7. 1:d222 zyxvez ，計(jì)計(jì)算算 解解法法，故采用先二后一，故采用先二后一為圓域?yàn)閳A域的函數(shù)，截面的函數(shù)，截面被積函數(shù)僅為被積函數(shù)僅為2221)(zyxzdz 上上 vevezzd2d 10)(ddd2zeyxzzd 102d)1(2zezz .2 ,0 ,20 . z三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)就叫點(diǎn)就叫點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)則這樣的三則這樣的三的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為面上的投影面上的投影在在為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè)mzpxoymzyxm,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo)

18、,(zyxm),( p .,sin,coszzyx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxm),( p zxyzo zyxzyxfddd),(.ddd),sin,cos( zzf d xyzozd d d如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的體積元素為,ddddzv 坐標(biāo)：坐標(biāo)：下列情形可考慮用柱面下列情形可考慮用柱面;)1是是圓圓域域或或圓圓域域的的一一部部分分的的投投影影區(qū)區(qū)域域d ;)3旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面的的邊邊界界曲曲面面為

19、為圓圓柱柱面面或或 .)(,)(,)(,)()22222等等被被積積函函數(shù)數(shù)為為xyfxyfyxfyxf 的次序進(jìn)行積分的次序進(jìn)行積分一般按一般按 , z例例 1 計(jì)計(jì)算算 zyxyxiddd22，其其中中 由由 22yxz 與與1 z 所所圍圍的的立立體體. 例例 2 計(jì)算計(jì)算 zdxdydzi，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體. 解解由由 .,sin,coszzyx zz34222 , 3, 1 z知交線為知交線為 23242030ddd zzi.413 面上，如圖，面上，如圖，投影到投影到把閉區(qū)域把閉區(qū)域xoy .20, 304

20、3:22 ，z例例3.d),(dd002202坐標(biāo)系下的三次積分坐標(biāo)系下的三次積分化為柱面化為柱面將將 xxxzzyxfyx例例 4 計(jì)算計(jì)算 dxdydzyxi)(22， 其中其中 是曲線是曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與兩平面的曲面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體. 解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸旋轉(zhuǎn)得，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2d, 422 yx.222020:22 z :1d,1622 yx,824020:21 z 所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如

21、圖， 2d1d,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxiii 12821ddddzfi ,345 22222ddddzfi ,625 原式原式 i 345 625 336. 82402022 dzdd 22202022ddd z解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 5 5 計(jì)算計(jì)算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由拋物是由拋物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所圍成的空所圍成的空間閉區(qū)域間閉區(qū)域. 其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對(duì)對(duì)稱稱, 0d)(vyzxy, 同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于于x的的

22、奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于yoz面面對(duì)對(duì)稱稱, 0d vxz由對(duì)稱性知由對(duì)稱性知 vyvxdd22, 則則 dxdydzzyxi2)(,)2(22 dxdydzzx在柱面坐標(biāo)下：在柱面坐標(biāo)下：,20 , 10 ,222 z, 122 yx投影區(qū)域投影區(qū)域 xyd： 2222222010d)cos2(dd zzi).89290(60 注：注：.此題不宜采用球面坐標(biāo)此題不宜采用球面坐標(biāo)四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)，個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點(diǎn)點(diǎn)為為的角，這里的角，這里段段逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到

23、有向線軸按軸按軸來(lái)看自軸來(lái)看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)為原為原來(lái)確定，其中來(lái)確定，其中，三個(gè)有次序的數(shù)三個(gè)有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)設(shè)mrxoympopxzzommorrmzyxm ),(srm yz x0r =常數(shù)常數(shù): =常數(shù)常數(shù):球面球面s動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)m(r, , )球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面 r =常數(shù)常數(shù): =常數(shù)常數(shù):球面球面s半半平面平面p動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)m(r, , )m yz x0 =常數(shù)常數(shù):錐面錐面c.,r 0.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為

24、常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，pxyzo),(zyxm r zyxa，軸上的投影為軸上的投影為在在點(diǎn)點(diǎn)，面上的投影為面上的投影為在在設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)axppxoym.,zpmyapxoa 則則 r drd rsin xz y0圓錐面圓錐面 rd 球面r圓錐面圓錐面 +d 球面球面r+d r元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：d rsin d 半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球

25、面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d 球面坐標(biāo)下的體積元素r drd xz y0 d rd 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：rsin d 球面坐標(biāo)下的體積元素球面坐標(biāo)下的體積元素.半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d dvdv = .dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf zyxzyxfddd),( .dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,dddsind2 r

26、rv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖，坐標(biāo)：坐標(biāo)：下列情形可考慮用球面下列情形可考慮用球面的立體；的立體；由球面，圓錐面所圍成由球面，圓錐面所圍成積分區(qū)域積分區(qū)域 )1.,的次序進(jìn)行積分的次序進(jìn)行積分一般按一般按 r).()2222zyxf 被積函數(shù)為被積函數(shù)為例例 1 1 計(jì)計(jì)算算 dxdydzyxi)(22，其其中中 是是錐錐面面222zyx ， 與與平平面面az )0( a所所圍圍的的立立體體. 解解 1 采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)az ,cos ar 222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar zyxyxiddd)(22drrdda 40cos03

27、420sin da)0cos(51sin255403 .105a 解解 2 采用柱面坐標(biāo)采用柱面坐標(biāo) ,:222ayxd zyxyxiddd)(22 arazddd2020 aa03d)(2 54254aaa .105a 222zyx , z,20,0,: aaz例例 2 2 求曲面求曲面22222azyx 與與22yxz 所圍所圍 成的立體體積成的立體體積. 解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzv, a202020drsinrddv4

28、403d3)a2(sin2.)12(343a 另另解解：采采用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)例例3.d),(dd2222222222222次積分次積分化為球面坐標(biāo)系下的三化為球面坐標(biāo)系下的三將將 yxayxxaxaaazzyxfyx.)(lim,d)()(,)(302222222ttftzyxvzyxftfuft 求求：其其中中連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè) 例例4例例5. )(,d)()(,)(2222222tftzyxvzyxftfuf 求求：其其中中連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè) rr 對(duì)對(duì)r: 從從0r積分積分,得半徑得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)任取球體內(nèi)一點(diǎn).z ,y,xrzyx:所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域在第一卦限在第一卦限 及平面及平面

29、球面球面 000 2222 例例zyxzyxfiddd ),( 求求0 xz y0 xz ymr r對(duì)對(duì) : 從從0 積分，積分，.例例zyxzyxfiddd ),( 求求2.z ,y,xrzyx:所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域在第一卦限在第一卦限 及平面及平面球面球面 000 2222 對(duì)對(duì)r: 從從0r積分積分,得半徑得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)任取球體內(nèi)一點(diǎn) r對(duì)對(duì) : 從從0 積分，掃遍球體積分，掃遍球體 .例例zyxzyxfiddd ),( 求求2得錐面得錐面.z ,y,xrzyx:所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域在第一卦限在第一卦限 及平面及平面球面球面 000 2222 0 xz y對(duì)對(duì)r: 從從0r

30、積分積分,得半徑得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)任取球體內(nèi)一點(diǎn)對(duì)對(duì) : 從從0 積分，積分，20 xz yr . 0i=v當(dāng)當(dāng) f =1,.例例zyxzyxfiddd ),( 求求rrrrrfirdsin)cos,sinsin,cossin(dd022020 .z ,y,xrzyx:所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域在第一卦限在第一卦限 及平面及平面球面球面 000 2222 對(duì)對(duì)r: 從從0r積分積分,得半徑得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)任取球體內(nèi)一點(diǎn)得錐面得錐面對(duì)對(duì) : 從從0 積分，積分，2對(duì)對(duì) : 從從0 積分，掃遍球體積分，掃遍球體2.ddd ),(的三次積分的三次積分化為球面坐標(biāo)系下化為球面坐標(biāo)系下例、將例、將z

31、yxzyxfi 1. 為全球體為全球體2222rzyx rrrfirdsin),(dd02 02 0 2. 為上半球體為上半球體.0,2222 zrzyxrrrfirdsin),(dd022 02 0 3. 為下半球體為下半球體.0,2222 zrzyxrrrfirdsin),(dd02 22 0 5. 為球體的第一、二卦限部分為球體的第一、二卦限部分rrrfirdsin),(dd022 0 0 6. 為空心球體為空心球體.22222rzyxa rrrfiradsin),(dd2 02 0 4. 為右半球體為右半球體rrrfirdsin),(dd02 0 0 三重積分的定義和計(jì)算三重積分的定義

32、和計(jì)算在直角坐標(biāo)系下的體積元素在直角坐標(biāo)系下的體積元素zyxvdddd （計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）五、小結(jié)（1） 柱面坐標(biāo)的體積元素柱面坐標(biāo)的體積元素dzzyx ddddd （2） 球面坐標(biāo)的體積元素球面坐標(biāo)的體積元素（3） 對(duì)稱性簡(jiǎn)化運(yùn)算對(duì)稱性簡(jiǎn)化運(yùn)算三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)球面坐標(biāo) dddsinddd2rrzyx 思考題思考題 為為六六個(gè)個(gè)平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域，),(zyxf在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則累累次次積積分分_ dvzyxf),(.選擇題選擇題:;),()(201222 xxdzzyxfdydxa;),()(202212 xxdzzyxfdydxb;),()(201222 xxdzzyxfdydxc.),()(202212 xxdzzyxfdydxd一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所圍成所圍成, ,