定積分計算方法

1、1/27.cos( ).yxte dttdtdyyy xdx 0030求由方程所確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) sin1. limsinxxxt dttt dt 2200230. (),_axx dxa 202340若則(sin) sin= lim= sinxxt dtxxx 220230223,or02cosydyxdxe . ( )_xxf t dt 04( )( )xf t dtxf x 02/27.( )().xtf xxt edt 205 求函數(shù)的極值( )xxttf xxedttedt 2200 xxttxedttedt 2200( )xtxxfxedtxexe 2220 xtedt 20令：令

2、： 得得( )fx 0 x 0( )xxfe 20010(.)f 00函數(shù)的極小值3/27 我們知道求定積分的關(guān)鍵是求原函數(shù)，而我們知道求定積分的關(guān)鍵是求原函數(shù)，而求原函數(shù)的方法是求不定積分，然而不定積分中求原函數(shù)的方法是求不定積分，然而不定積分中有有換元法換元法和和分部積分法分部積分法，那么定積分是否也有換，那么定積分是否也有換元法和分部積分法呢？那么定積分中和不定積分元法和分部積分法呢？那么定積分中和不定積分中的換元法和分部積分法有哪些不同呢？中的換元法和分部積分法有哪些不同呢？ 在一定條件下，結(jié)合牛頓在一定條件下，結(jié)合牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式可以用可以用換元積分法換元積分法與與分部積

3、分法分部積分法來計算定積分來計算定積分. .注意：定積分計算與不定積分計算的注意：定積分計算與不定積分計算的不同點不同點第四節(jié)第四節(jié) 定積分的換元積分法定積分的換元積分法4/271 1、換元公式、換元公式定理定理6.3 6.3 設(shè)設(shè)f(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù), ,函數(shù)函數(shù)x=j j(t)滿足滿足:j j(t)在在a a,b b上連續(xù)、單調(diào)上連續(xù)、單調(diào), ,且且j j(a a)=a, j j(b b)=b; j j(t)在在a a,b b上連續(xù)上連續(xù). .則有則有dtttfdxxfba b ba aj jj j)()()(證證設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，),()()(a

4、FbFdxxfba )( )(=)(ttftFj jj jj j而而b ba ab ba aj jj jj j|)()()(tFdtttf 于是于是)()(a aj jb bj jFF ),()(aFbF 故有故有dtttfdxxfba b ba aj jj j)()()(.,從從右右到到左左為為第第一一換換元元法法換換元元法法公公式式中中從從左左到到右右為為第第二二5/27換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限2 2、換元法兩個要點、換元法兩個要點換元無須還原換元無須還原用用 把變量把變量 換成新積分變量換成新積分變量 時，積時，積分上下限也相應(yīng)的改變分上下限也相應(yīng)的改變.)(txj j xt定積分定積分換元

5、換元必必?fù)Q限換限6/27例例1.求求xdxx 101解：令解：令tx 12, 1; 1, 0 txtxtdtdxtx2, 12 21210211tdtttxxdx32142 22()33tt則則且且于是于是例例2.求求lnxedx 2017/27解：解：令令tex 12212),1ln(ttdtdxtx 1, 2ln, 0, 0 txtx則則且且于是于是原積分原積分= 102212tdtt 10221)11(2tdtt)1(210210 tdtdt)|arctan|(21010tt )4/1(2 例例3.求求220aax dx例例2.求求lnxedx 2018/27解：解：令令 x = tan

6、t,tdtdx2sec 4/, 1; 0, 0 txtx則則且且 40102sec1 tdtxdx4/0|tansecln tt )21ln( 例例4.求求 1021xdx定積分中三角代換，換限時要特別定積分中三角代換，換限時要特別注意注意變量的取變量的取值范圍。還要值范圍。還要注意注意開方時的符號開方時的符號9/27例例5. 若若 f(x) 為連續(xù)奇函數(shù)證明為連續(xù)奇函數(shù)證明( )aaf x dx 0若若 f(x) 為連續(xù)偶函數(shù)為連續(xù)偶函數(shù)( )( )aaaf x dxf x dx 02熟記結(jié)論，簡化計算熟記結(jié)論，簡化計算.3.3.奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上定積分的性質(zhì)奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上定積分

7、的性質(zhì) 10/27上述結(jié)論的幾何解釋：上述結(jié)論的幾何解釋：yxaa0y=f(x)+偶函數(shù)圖形關(guān)于y軸對稱，在a, a上關(guān)于y軸兩邊的圖形面積相等.奇函數(shù)圖形關(guān)于原點對稱，在a, a上關(guān)于x軸上下兩邊的圖形面積相等.yxaa0y=f(x)11/27奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積12/27例例7 7 _11ln5.05.0 dxxxxx 11ln解：

8、解：因為因為 y = 是連續(xù)奇函數(shù)是連續(xù)奇函數(shù),故上式為零故上式為零.例例7 7_1112 dxxxx解：解：原積分原積分=dxxx 10212 10221)1(xxd2ln| )1ln(102 x0ln 213/27定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式(Formula for Integration by Parts)分部積分公式分部積分公式1.定理：定理：若若u(x),v(x) 的導(dǎo)數(shù)在的導(dǎo)數(shù)在a,b上連續(xù)，則有上連續(xù)，則有 bababavduuvudv|例例7.求求lnexdx 1解：解：由分部積分公式由分部積分公式 eeexxdxxxdx111ln|lnln eedxedxxxe1

9、11=1若遇到若遇到 如何分部積分？如何分部積分？ badxxgxf)()(14/273.23.2、分部法兩個要點、分部法兩個要點按按“反對冪指三反對冪指三”定定u、v；對于被積函數(shù)為反冪、對冪、冪指、冪三兩類對于被積函數(shù)為反冪、對冪、冪指、冪三兩類函數(shù)的積分可按函數(shù)的積分可按“反對冪指三反對冪指三”定定u、v；邊分部邊計算結(jié)果。邊分部邊計算結(jié)果。對于定積分的分部積分法，在分部積分的同時，對于定積分的分部積分法，在分部積分的同時，對積出的部分代入積分上下限，計算結(jié)果，這樣對積出的部分代入積分上下限，計算結(jié)果，這樣可以簡化計算過程?？梢院喕嬎氵^程。15/27例例8 8 計算計算.10 dxxe

10、x解解 10dxxex 10 xxde1010 dxexexx101xee )(011eee e21 冪冪*指指16/27例例9 9 計算計算.cos20 xdxex解解 20cos xdxex 20sin xdex 2020sinsin xdxexexx 202cos xdeexcoscos20202 xdxexeexx 202cos1 xdxeex指指*三三)1(21cos 220 exdxex17/27 例例1010 計算計算.)1(ln212 dxxx解解 212)1(lndxxx 2111lnxxd 2121ln111lnxdxxx 2111132lndxxx 21)111(32ln

11、dxxx211ln32lnxx 3ln2ln35 18/27例例1111 計算計算 10dxex解解 10dxex2,txtx 則則令令 102dtet 101022tttdedtte()()ttttee dtee 11100022 2)1(2 ee注注 本題是一個集湊微分法、根式換元法、本題是一個集湊微分法、根式換元法、 分布積分法的綜合題。分布積分法的綜合題。換元法和分部積分法的綜合題：換元法和分部積分法的綜合題：19/27解解例例1212 設(shè)設(shè) 求求 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因因為為ttsin沒沒有有初初等等形形式式的的原原函函數(shù)數(shù)，無無法法直直接接求求出出)

12、(xf，所所以以采采用用分分部部積積分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf( )x f x 12012 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx兩類算不出來的積分：兩類算不出來的積分： dxedtttx2 ,sin20/27 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxxcos x 12012).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf注注 ：本題實質(zhì)是二重積分中交換積分次序的類型：本題實質(zhì)是二重積分中交換積

13、分次序的類型課后認(rèn)真看課后認(rèn)真看P204P204例題例題121221/273.3. 有關(guān)積分等式的證明有關(guān)積分等式的證明 證明一個積分等式，可以從被積函數(shù)和積分區(qū)證明一個積分等式，可以從被積函數(shù)和積分區(qū)間入手，通過換元法、分部積分法、以及定積分的間入手，通過換元法、分部積分法、以及定積分的性質(zhì)得以證明性質(zhì)得以證明.例例 13. 13. 若若f(x)在在0,1上連續(xù)上連續(xù), 證明證明:由此計算由此計算.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx證證 設(shè)設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft22/27()

14、 (sin )t ft dt 0 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdxarctan(cos )x 02)44(2 .42 例如：例如：23/27例例14.證明證明/(sin )(cos )xfx dxfx dx 200證：證：令令dtdxtx ,2/ 2/, 2/, 0 txtx左邊左邊 = 2/2/)(cos)2/( dttft則則 2/2/2/2/)(cos)(cos2 dtttfdttf 2/02/0)(cos)(cos22 dxxfdttf練習(xí)：練習(xí)：證明證明/(sin)(sin)xfx dxfx dx 20024/27作業(yè)：作業(yè)：P230, 1 (1,5,6,7); P233, 1 (1,3,6,9);25/27例例1313（P205.5）)(1)0(,sin)()(10 xffxxxfdtxtf求求且且設(shè)設(shè) duxdtuxtuxt1,1, 則則令令 xduxufdtxtf0101)( )( xduuf