大學(xué)高等數(shù)學(xué)文科復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、第一章預(yù)備知識(shí)、定義域1 .已知f(x)的定義域?yàn)?，0),求f(lnx)的定義域。答案：(0,1)2 .求f(x) X3 x 3的連續(xù)區(qū)間。提示：任何初等函數(shù)在定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的 x x 6答案： ，3 U 3,2 U 2,二、判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同？1 . f (x) lg x2 , g(x) 2lg x是否表示同一函數(shù)？答案：否2 .下列各題中，f(x)和g(x)是否相同？答案：都不相同.x2 1(1) f (x),g(x) x 1x 1(2) f (x) x, g(x) sin arcsin x f(x) x,g(x) e1nx三、奇偶性 x x1.判斷f(x) e3 的奇偶性。答案

2、：奇函數(shù) 2四、有界性x D, K 0 ,使 |f(x) K ,則 f(x)在 D 上有界。有界函數(shù)既有上界，又有下界。1. f (x) ln(x 1)在(1,2)內(nèi)是否有界？答案：無界2. y 二 是否有界？答案：有界，因?yàn)閨二| 11 x2|1 x2|五、周期性1.下列哪個(gè)不是周期函數(shù)(C)。A. y sin x, 0 B. y 2C. y xtanxD. y sin x cosx注意：y C是周期函數(shù)，但它沒有最小正周期。六、復(fù)合函數(shù)1.已知f(x)，求 f(x)例：已知x2, (x 0),求 f (x)f(x)11 x1x1111解2:，f(y)1f(x)112.設(shè)求f (x)提示:3

3、.設(shè) f(sinx) cos2x 1 ,求 f(cosx)提示：先求出 f (x)4.設(shè) f(sin2x) cos2x tan2 x ,求 f (x)提示:-2_2f (sin x) 1 2sin x.2sin x1 sin x七、函數(shù)圖形熟記 y arcsin x, y arccosx, yarctanx, y arccotx 的函數(shù)圖形。第二章極限與連續(xù)八、重要概念1 .收斂數(shù)列必有界。2 .有界數(shù)列不一定收斂。3 .無界數(shù)列必發(fā)散。4 .單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。5 .極限存在的充要條件是左、右極限存在并且相等。九、無窮小的比較1. x 0時(shí)，下列哪個(gè)與x是等價(jià)無窮?。ˋ）。A. tan

4、xB. sin x xC. sin x xD. 3x2十、求極限1 .無窮小與有界量的乘積仍是無窮小arctan xlim 0 , limx xxx cosx11 , lim sin x.2.1.,lim x sin0x 0 xx cos . xlim 0x 1 x2x23(1)(3)lim x 2 x 1 x(4)lim xx2 1 xx2 .自變量趨于無窮大，分子、分母為多項(xiàng)式2例如：limTx -提示：分子、分母同除未知量的最高次幕。 x 4x2 3x 543 .出現(xiàn)根號(hào)，首先想到有理化lim x 2 x lim xx11 . x 1 x 1 x3 lim= lim x .3 x .1

5、xlim ；x 1 x 1 1 3 x 11 . x 1 x補(bǔ)充練習(xí):(5).1 tan x lim x 04.出現(xiàn)三角函數(shù)、反三角函數(shù)，首先想到第一個(gè)重要極限.1 sin x2.1x sin 一 例：limxx 2x 11sin 21x x 1limx 一x 1 x(2x 1) 2x作業(yè)：P49 7 (1) (3)5.出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕指函數(shù)，首先想到第二個(gè)重要極限例：limxx2 1 x2lim 1x2x2 1x2 122x2作業(yè):P49(4)(6)6. 0 00g、00可以使用洛必達(dá)法則作業(yè):P99(1)(8)7.分子或分母出現(xiàn)變上限函數(shù)提示：洛必達(dá)法則+變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積

6、函數(shù)19例：則 0sintdtlim2 sin x3x2補(bǔ)充練習(xí):(1) limx 0(2)sin xarcsintdt0xsin xx t2e dt lim x 0 x2(4)1 x -etdt lim x 1 x 1x 2sint dt0(3) lim -x 0 x. 23 .t sint dt0卜一、連續(xù)與間斷任何初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的。分段函數(shù)可能的間斷點(diǎn)是區(qū)間的分界點(diǎn)若lim f (x) f(xo),則f (x)在Xo處連續(xù)，否則間斷。 X X0第一類間斷點(diǎn)：左、右極限都存在的間斷點(diǎn)，進(jìn)一步還可細(xì)分為可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)：不屬于第一類的間斷點(diǎn)，進(jìn)一步還可細(xì)分

7、為無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。1.設(shè) f(x)x xe e 22xx 0在x 0處連續(xù)，求k ?k,x 0解:x x,e e 2lim f (x) lim x 0x 0x2xm0x xe e2xx.e limx 0Q f (x)在x 0處連續(xù)，k 12.作業(yè)：P49 4、10 P5011、123.補(bǔ)充練習(xí)：x 11 x 1 , f(x)x 11(1)研究函數(shù)的連續(xù)性：f (x)x21(2)確定常數(shù)a, b ,使下列函數(shù)連續(xù):f(x)f(x)f(x)ln 1 3x x 0bx2x 0sin ax x 0x(3)求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并確定其所屬類型:x2 4x3 5 2x 1 x 1y 丁q-, y 、

8、v cos -, yx 5x 6 sin xx 4 5x x 1十二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點(diǎn)定理：f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)gf(b) 0 ,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 f ( ) 01.補(bǔ)充練習(xí)：(1)證明方程x sinx 2至少有一個(gè)不超過3的正實(shí)根。(2)證明方程x5 3x 1 0在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。(3)證明方程x ex 2在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。(4)證明方程xg?x 2至少有一個(gè)小于1的正根。第三章導(dǎo)數(shù)與微分十三、重要概念1 .可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。2 .可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)。3 .函數(shù)在x Xo處可導(dǎo)的充要條件是左、右導(dǎo)數(shù)存在并且相等

9、。十四、導(dǎo)數(shù)的定義作業(yè)：P75 2十五、對(duì)于分段函數(shù)，討論分界點(diǎn)是否可導(dǎo)?例：f(x) x在x 0處，連續(xù)但不可導(dǎo)1 .作業(yè)：P75 4、52 .討論下列函數(shù)在區(qū)間分界點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)數(shù) 2f(x) xx 0答案：在X 0處連續(xù)、不可導(dǎo)Xx 01 八f(x)xar漏nx x 0答案：在x 0處連續(xù)、不可導(dǎo)0x 0sin(x 1) x 1f (x) x 1答案：在x 1處不連續(xù)、不可導(dǎo)0x 13.設(shè)f(x) ax b x 0 ,為使f(x)在x 0處連續(xù)且可導(dǎo)，a,b應(yīng)取什么值? cosx x 0答案：a 0,b 1十六、求導(dǎo)數(shù)1 .求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，特別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P75 6、102 .

10、利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76 133 .求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76 124 .求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76 145 .求高階導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P75 116 .求切線方程、法線方程利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率k ,則法線的斜率為 - k例：求曲線y X cosx在x 處的切線方程。 2解：y 1 sinx切線斜率k y 2 ,切線經(jīng)過點(diǎn) 一,一X 22 2切線方程：y 2 x 22作業(yè)：P75 37.求變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P156 4十七、求微分f(x), dy f(x)dx1.y 11ydx 1 /x 2/x2.，1，,y x arctan x -ln(1 2x2) ln3，求 dy解

11、:yarctan xx 2x1 x2 2(1 x2)arctan xdyarctan xdx作業(yè)：P76 15十八、利用微分進(jìn)行近似計(jì)算公式：fx0x fx0 f x0x作業(yè)：P76 16第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用十九、利用拉格朗日中值定理證明不等式定理：設(shè)f x在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導(dǎo)，則在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得f b f af b a證明步驟：（1）根據(jù)待證的不等式設(shè)函數(shù)f x （2）敘述函數(shù)f x滿足定理?xiàng)l件 （3）根據(jù)定理證明出不等式。1 .作業(yè)：P99 42 .補(bǔ)充練習(xí)：證明下列不等式：（1）當(dāng) a b 。時(shí)，3b2 a b a3 b3 3a2 a b（2） arctana

12、 arctanb a b（3）當(dāng) x 1 時(shí)，ex xe二十、單調(diào)性與極值1 .單調(diào)性：（1）確定單調(diào)區(qū)間可能的分界點(diǎn)（駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）（2）將定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，列表討論f x在各子區(qū)間上的符號(hào)，從而確定單調(diào)性與單調(diào)區(qū)問作業(yè)：P99 62 .極值：（1）確定可能的極值點(diǎn)（駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)） （2）將定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，列表討論f x在各子區(qū)間上的符號(hào)，從而確定單調(diào)性與極值例：確定f（x） 2x 8的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)x卜一、求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值 步驟：（1）求出所有可能的極值點(diǎn) （2）計(jì)算各可能極值點(diǎn)的函數(shù)值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù) 值（3）上述各值中最大的為 ma%最小的為m

13、in作業(yè)：P100 10 （1）二十二、最值的應(yīng)用問題步驟：（1）寫出目標(biāo)函數(shù)f x （2）求出可能的極值點(diǎn)% （應(yīng)用問題只有一個(gè)可能的 極值點(diǎn)）（3）分析是最大值問題還是最小值問題。如果是最大值問題，則寫出f xo 0 , 并且最大值max f x0 ;如果是最小值問題，則寫出f x0 0，并且最小值min f x0作業(yè)：P100 13補(bǔ)充作業(yè)：從斜邊長l的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形。第五章不定積分二十三、換元法、分部積分法求不定積分1.換元法例：x 4 x2dx 解1 （第一類換元）：x 4 x dx1、4Xd (4 x2) 4 x2 u 1 u udu12 -4 x2 2

14、 C3解2 (第二類換元)：x 4 x dx x 2sin t2sin t 2cost2costdtC cost4 x222 .8 cos tsintdt 8 cos td cost1C 1 4 x2 2 C3作業(yè)：P125 6 P12672.分部積分法例:xln(1 x)dx1 ln(1 x)dx21 2-x ln(1 x)dx1 2 .-x ln(1 x)dx1 2 .-x ln(1x)1八51n(1 x) C作業(yè)：P126 8第六章定積分及其應(yīng)用二十四、利用P132推論3估計(jì)積分值:作業(yè)：P156 2二十五、證明題(1)設(shè) f ( x) f (x),證明:af (x)dx 0(2)設(shè) f

15、(x)f(x)，證明:f(x)dxf(x)dxa0 f(x)dx0a f(x)dx xaa f(x)dx(2):f( t)dtf (x)dx00a f(x)dx0a0 f (x)dxa f (x)dx X La f(aaaaa f(x)dx 2 0 f(x)dxt)dt二十六、計(jì)算定積分例:1 x21111f (x)dx a0a f(t)dta0a f(t)dta0 f (x)dxa0 f(t)dtjf(t)dtt xa0 f (x)dxf(x)dxarcsinx2dx x1 Wdx11 x2arctanx作業(yè)：P1575、8、10二十七、廣義積分例:12 dxe x(ln x)b.1lim

16、b ln x earcsinxdx1dx11dx11 x21 arcsinx dx1 1 x2bimblimb 1 2 dxe x(lnx)工1 ln bblimbe(ln x)2 .d ln x作業(yè)： P158 17二十八、求平面圖形的面積，求旋轉(zhuǎn)體的體積例：求平面上曲線y x2, y x 以及 x 2 所圍圖形的面積，并求該圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。作業(yè)： P157 11 P15813第二章極限與連續(xù)二十九、重要概念1. 收斂數(shù)列必有界。2. 有界數(shù)列不一定收斂。3. 無界數(shù)列必發(fā)散。4. 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。5. 極限存在的充要條件是左、右極限存在并且相等。三十、無窮小

17、的比較1. x 0 時(shí)，下列哪個(gè)與x 是等價(jià)無窮?。ˋ）。A tanxB sin x xC sin x xD 3x2三十一、求極限1 .無窮小與有界量的乘積仍是無窮小x cos . xlim 0x 1 x.2.1.,lim x sin0x 0 xarctan xlim 0 , limx xx cosx11 , lim sin x2x23(1)(3)lim x 2 x 1 x(4)lim xx2 1 xx2 .自變量趨于無窮大，分子、分母為多項(xiàng)式2例如：limTx -提示：分子、分母同除未知量的最高次幕。 x 4x2 3x 543 .出現(xiàn)根號(hào)，首先想到有理化lim x 2 x lim xx11

18、. x 1 x 1 x3 lim= lim x .3 x .1 xlim ；x 1 x 1 1 3 x x 11 . x 1 x補(bǔ)充練習(xí):(5).1 tan x lim x 04.出現(xiàn)三角函數(shù)、反三角函數(shù)，首先想到第一個(gè)重要極限.1 sin x2.1x sin 一 例：limxx 2x 11sin 21x x 1limx 一x 1 x(2x 1) 2x作業(yè)：P49 7 (1) (3)5.出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕指函數(shù)，首先想到第二個(gè)重要極限例：limxx2 1 x2lim 1x2x2 1x2 122x2作業(yè):P49(4)(6)6. 0 00g、00可以使用洛必達(dá)法則作業(yè):P99(1)(8)7

19、.分子或分母出現(xiàn)變上限函數(shù)提示：洛必達(dá)法則+變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)19例：則 0sintdtlim2 sin x3x2補(bǔ)充練習(xí):(1) limx 0(2)sin xarcsintdt0xsin xx t2e dt lim x 0 x2(4)1 x -etdt lim x 1 x 1x 2sint dt0(3) lim -x 0 x. 23 .t sint dt0任何初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的。分段函數(shù)可能的間斷點(diǎn)是區(qū)間的分界點(diǎn)若lim f (x) f(xo),則f (x)在Xo處連續(xù)，否則間斷。 X X0第一類間斷點(diǎn)：左、右極限都存在的間斷點(diǎn)，進(jìn)一步還可細(xì)分為可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷

20、點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)：不屬于第一類的間斷點(diǎn)，進(jìn)一步還可細(xì)分為無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。1.設(shè) f(x)x xe e 22xx 0在x 0處連續(xù)，求k ?k,x 0解:x x,e e 2lim f (x) lim x 0x 0x2xm0x xe e2xx.e limx 0Q f (x)在x 0處連續(xù)，k 12.作業(yè)：P49 4、10 P5011、123.補(bǔ)充練習(xí)：x 11 x 1 , f(x)x 11(1)研究函數(shù)的連續(xù)性：f (x)x21(2)確定常數(shù)a, b ,使下列函數(shù)連續(xù):f(x)f(x)f(x)ln 1 3x x 0bx2x 0sin ax x 0x(3)求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并確定其所屬類型:x

21、2 4x3 5 2x 1 x 1y 丁q-, y 、v cos -, yx 5x 6 sin xx 4 5x x 1三十三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點(diǎn)定理：f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)gf(b) 0 ,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 f ( ) 01.補(bǔ)充練習(xí)：(1)證明方程x sinx 2至少有一個(gè)不超過3的正實(shí)根。(2)證明方程x5 3x 1 0在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。(3)證明方程x ex 2在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。(4)證明方程xg?x 2至少有一個(gè)小于1的正根。第三章導(dǎo)數(shù)與微分三十四、重要概念1 .可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。2 .可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)。3

22、.函數(shù)在x Xo處可導(dǎo)的充要條件是左、右導(dǎo)數(shù)存在并且相等。三十五、導(dǎo)數(shù)的定義三十六、對(duì)于分段函數(shù)，討論分界點(diǎn)是否可導(dǎo)?例：f(x) x在x 0處，連續(xù)但不可導(dǎo)1 .作業(yè)：P75 4、52 .討論下列函數(shù)在區(qū)間分界點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)數(shù)2f(x) x x 0答案：在X 0處連續(xù)、不可導(dǎo)Xx 0,1八f(x) xarctanxx0答案：在x 0處連續(xù)、不可導(dǎo)0x0sin(x1x1f (x) x 1答案：在x 1處不連續(xù)、不可導(dǎo)0x13 .設(shè)f(x) ax b x 0 ,為使f(x)在x 0處連續(xù)且可導(dǎo)，a,b應(yīng)取什么值? cosx x 0答案：a 0,b 1三十七、求導(dǎo)數(shù)1 .求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，特別是復(fù)合

23、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P75 6、102 .利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76 133 .求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76 124 .求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76 145 .求高階導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P75 116 .求切線方程、法線方程利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率k ,則法線的斜率為-k例：求曲線y x cosx在x 處的切線方程。 2解：y 1 sinx切線斜率k y1 2 ,切線經(jīng)過點(diǎn) 一,一x 2，2 2切線方程：y 2 x 22作業(yè)：P75 37 .求變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P156 4三十八、求微分y f(x), dy f(x)dx12 x x1. y11ln 1 xx, dy ydx 11x 2T

24、x12、xarctanx -ln(1 x ) In 3 ，求 dy 22. y解：y arctan x 2 2 arctan x1 x 2(1 x )dy arctan xdx作業(yè)：P76 152x三十九、利用微分進(jìn)行近似計(jì)算公式：fx0 x fx0 f x0 x作業(yè)：P76 16第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四十、利用拉格朗日中值定理證明不等式定理：設(shè)f x在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導(dǎo)，則在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f b f af b a證明步驟：（1）根據(jù)待證的不等式設(shè)函數(shù)f x （2）敘述函數(shù)f x滿足定理?xiàng)l件 （3）根據(jù)定理證明出不等式。1.作業(yè)：P99 42.補(bǔ)充練習(xí)：證明下列不等式

25、：（1）當(dāng) a b 0 時(shí)，3b2 a b a3 b3 3a2 a b（2） arctana arctanb a b（3）當(dāng) x 1 時(shí)，ex xe四十一、單調(diào)性與極值1 .單調(diào)性：（1）確定單調(diào)區(qū)間可能的分界點(diǎn)（駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）（2）將定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，列表討論f x在各子區(qū)間上的符號(hào)，從而確定單調(diào)性與單調(diào)區(qū)問作業(yè)：P99 62 .極值：（1）確定可能的極值點(diǎn)（駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）（2）將定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，列表討論f x在各子區(qū)間上的符號(hào)，從而確定單調(diào)性與極值例：確定f（x） 2x 8的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)x作業(yè)：P100 9四十二、求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值步驟：（1）求出所

26、有可能的極值點(diǎn)（2）計(jì)算各可能極值點(diǎn)的函數(shù)值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值（3）上述各值中最大的為 max,最小的為min四十三、最值的應(yīng)用問題 步驟：（1）寫出目標(biāo)函數(shù)f x （2）求出可能的極值點(diǎn)X0 （應(yīng)用問題只有一個(gè)可能的 極值點(diǎn)）（3）分析是最大值問題還是最小值問題。如果是最大值問題，則寫出f x0 0 , 并且最大值max f xo ;如果是最小值問題，則寫出f xo 0，并且最小值min f xo作業(yè)：P100 13補(bǔ)充作業(yè)：從斜邊長l的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形第五章不定積分四十四、換元法、分部積分法求不定積分1.換元法例：x 4 x2dxx .4 x2dx3-4 x2 2 C3解1 （第一類換元）：-.4 x2