新人教A版必修1高中數(shù)學3.1.1方程的根與函數(shù)的零點教案

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我“方程的根與函數(shù)的零點”【教學目標】一、知識與技能1、通過探索一元二次方程的實根與二次函數(shù)圖象之間的關系，讓學生領會方程的根與 函數(shù)零點之間的聯(lián)系，了解零點的概念.2、以具體函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的特點，探索在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點條件以及個數(shù)，理解并掌握在某個區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)零點存在的判定方法二、過程與方法/ 1 、采用“設問一一探索一一歸納一一定論”層層遞進的方式來突破本課的重難點。由 二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點的橫坐標和對應的一元二次方程為突破口，探究方程的根與函數(shù)的零點的關系，以探究的方法發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點存在的條件。2 、在課堂探究中滲透由特殊

2、到一般的認識規(guī)律，滲透數(shù)形結合思想及轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)與方程的思想，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、抽象和概括能力三、情感、態(tài)度、價值觀努力營造平等、民主的課堂氣氛，以學生為主體，營造學習氛圍，使學生產(chǎn)生熱愛學習數(shù)學的積極心理，引導學生進行積極主動的學習， 培養(yǎng)良好的數(shù)學學習情感.在函數(shù)與方程 的聯(lián)系中體驗數(shù)形結合思想，培養(yǎng)學生的辨證思維能力，以及分析問題解決問題的能力.從易到難，使學生體會到學習數(shù)學的成功感，體驗規(guī)律發(fā)現(xiàn)的快樂.【教學重點】1、體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系；2、掌握函數(shù)零點存在的判定方法 .【教學難點】函數(shù)零點存在的判定方法及其運用 .【教學方式與手段】電腦，多媒體，黑板.【教學

3、過程設計】（一）設問激疑，引出新知方程解法史話：在人類用智慧架設的無數(shù)座從未知通向已知的金橋中，方程的求解是其中璀璨的一座，雖然今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但這一切卻經(jīng)歷了相當漫長的歲月.對于方程的求解問題，古今中外的數(shù)學家已經(jīng)作了大量的工作，取得輝煌的成果，比如花拉子米公元 825年左右編輯著成了小代數(shù)學，比較完整地討論了一次、二次方程的一般原理；我國南宋數(shù)學家秦九紹在數(shù)書九章中提出了 “正負開方術”，此法可以求出任意次代數(shù)方程的正根；1824年，挪威數(shù)學家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒有根式解。隨著計算機技術的發(fā)展，方程的數(shù)值解法得到了廣泛的運用，如二分法，牛頓法、

4、弦截法等，今天我們將沿著前人走過的足跡一起探索對于一般方程的求解方法【設計意圖：了解數(shù)學史，激發(fā)學生學習興趣?！繂栴}1 求下列方程的根./(1) 3x 2 0；2(2) x 5x 6 0；(3) lnx 2x 6 0.問題2觀察下表(一)，求出表中一元二次方程的實數(shù)根，畫出相應的二次函數(shù)圖象的簡圖,并寫出函數(shù)圖象與 x軸交點的坐標。方 程x2 2x 3 02 一，一x 2x 1 02二 一x 2x 3 0函 數(shù)y x2 2x 3y x2 2x 12_y x 2x 3函數(shù)圖象(簡圖)方程的實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸的交點提出疑問：方程的根與函數(shù)圖象與 x軸交點的橫坐標之間有什么關系？結論：方程的根就是

5、函數(shù)圖象與、x軸交點的橫坐標。/問題3 若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程-22ax bx c 0 (a 0)及相應的二次函數(shù) y ax bx c (a 0)的圖象與x軸交點的關系，上述結論是否仍然成立？ax2 bx c 0 (a 0)方程的根函數(shù)的圖象(簡圖)圖象與x軸的交點000【設計意圖：讓學生從熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識，使新知識與原有知識形成聯(lián)系.為引出函數(shù)零點的概念做準備?！?二)總結歸納，形成概念1、函數(shù)的零點：對于函數(shù)y=f (x),我們把使方程f (x) =0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f (x)的零點。辨析練習：函數(shù)y x2 2x 3的零點是：()A. (-1 , 0)

6、, (3, 0);B. x=-1 ; C . x=3; D . -1 和 3.問：零點是一個點嗎？說明：函數(shù)零點不是一個點，而是具體的自變量的取值.求函數(shù)零點就是求方程 f(x) =0的根.【設計意圖：及時矯正“零點是交點”這一誤解.】/2、你能說說方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點、函數(shù)的零點三者之間的關系嗎？ /等價關系：方程f (x) =0有實數(shù)根/函數(shù)y=f (x)的圖象與x軸有交點/函數(shù)y=f (x)有零點/【設計意圖：引導學生給出函數(shù)零點的定義，并引導學生仔細體會這段文字，感悟其中的思想方法；通過引導，學生自己歸納出三者之間的關系，并且明確提出轉(zhuǎn)化思想。】3、歸納函數(shù)的零點與方程根的關

7、系函數(shù)的零點與方程的根有什么聯(lián)系和區(qū)別？聯(lián)系：(1)數(shù)值上相等：求函數(shù)零點就是求方程的根.(2)存在性相同：函數(shù) y=f(x)有零點 <=>方程f(x)=0有實數(shù)根<=>函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點''區(qū)別：零點對于函數(shù)而言，根對于方程而言.【設計意圖：進一步理解零點的概念，靈活運用三者之間的關系。以上關系說明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，函數(shù)問題有時可轉(zhuǎn)化為方程問題，同樣，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，這正是函數(shù)與方程思想的基礎.】(三)初步運用，示例練習例1：求函數(shù)f(x) lg(x 1)的零點。求函數(shù)零點的步驟：(1)令 f(x)=0;

8、(2)解方程 f(x)=0 ;(3)寫出零點變式練習：求下列函數(shù)的零點。 f (x) x2 5x 6；(2) f (x) 2x 1【設計意圖：讓學生再次認識零點的概念，熟悉零點的求法(即求相應方程的實數(shù)根)(四)實例探究，發(fā)現(xiàn)定理重溫小馬過河的故事問題4:觀察下列三組畫面，請你推斷哪組畫面一定能說明小馬已經(jīng)成功過河？【設計意圖：通過形象的生活問題，為引出函數(shù)零點存在性定理做準備 問題5:函數(shù)y = f(x)在某個區(qū)間上是否一定有零觀察下面函數(shù) y f(x)的圖象，定有1、在區(qū)間a,b上(有/無)零點;f(a) f (b)0 (或).2、在區(qū)間b, c上(有/無)零點;f(b) .f (c)0

9、(v或).3、在區(qū)間c,d上.(有/無)零點;f(c) f (d)0 (或).函數(shù)零點存在性定理:零點?10如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a) f(b) 0,那么，函數(shù)y f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c (a,b),使得f(c) 0.這個c也就是方程f (x) 0的根。【設計意圖：先從一個已研究過的、簡單的函數(shù)入手，引導學生結合函數(shù)圖象，通過計算、 觀察、比較得出函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值乘積的情況與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是否存在零點之間有什么關系?？偨Y歸納得出函數(shù)零點存在的條件，并進行交流、評析?！?定理辨析與靈活運用:練習：判斷正誤，若不正確，請

10、使用函數(shù)圖象舉出反例。(1)已知函數(shù)yf (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b)0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點(2)已知函數(shù)yf (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b)0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點.(3)已知函數(shù)yf (x)在區(qū)間a,b 上連續(xù),且在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點,則有f(a) f(b) 0。(4)已知函數(shù)y f(x)在區(qū)間a,b滿足f(a) f(b) 0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點.()函數(shù)零點存在定理的四個注意點：(1)函數(shù)是連續(xù)的。(2)定理不可逆。/(3)至少存在一個零點，不排除更多。(4)在零點存在性定理的條件下，如果

11、函數(shù)具有單調(diào)性，函數(shù) y=f(x)在區(qū)間(a,b)上存在唯一零點?！霸O計意圖：通過對定理中條件的改變，將幾種容易產(chǎn)生的誤解正面給出，在第一時間加以糾正，從而促進對定理本身的準確理解。】(五)觀察感知，例題學習例2 (教材第88頁)求函數(shù)f(x) ln x 2x 6的零點個數(shù)。(1)你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點個數(shù)？(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？解法1 (借助計算工具)：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應值表和圖象.x123456789f(x)由表或圖象可知，f (2)<0 , f (3)>0,則f (2) f (3)<0 ,這說明函

12、數(shù)f (x)在區(qū)間(2, 3)內(nèi)有零點.又由于函數(shù)f(x)在(0, +8)內(nèi)單調(diào)遞增，所以它僅有一個零點.解法2 (估算)：估計f(x)在各整數(shù)處的函數(shù)值的正負，可得如下表格:解法3(函數(shù)交點法)/將方程lnx+2x 6=0化為lnx=6-2x,分別畫出g(x)=ln x與h(x)=6-2 x的草圖，從而確定零點個數(shù)為1.繼而比較g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，確定交點所在的區(qū)間，即零點的區(qū)間.由圖可知f(x)在區(qū)間(2, 3)內(nèi)有唯一的零點.【設計意圖：引導學生探索判斷函數(shù)零點的方法，指出可以借助計算機或計算器來畫函數(shù)的圖象，結合圖象對函數(shù)有一個零點形成直觀的認識.通過例題分

13、析，能根據(jù)零點存在性定理，使用多種方法確定零點所在的區(qū)間，并且結合函數(shù)性質(zhì)，判斷零點個數(shù).解法3作為選講內(nèi)容，視學生基礎而定?！吭囈辉嚕耗隳芘袛喑龇匠?ln x x2 3實數(shù)根的個數(shù)嗎？【設計意圖：學以致用，練習強化學生的解題能力?！?小結：函數(shù)零點的求法./ 代數(shù)法：求方程f(x) 0的實數(shù)根；/ 幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.口訣：函數(shù)零點方程根，形數(shù)本是同根生。是否存在端點判，函數(shù)連續(xù)要記清?！驹O計意圖：歸納總結函數(shù)零點的求法，通過口訣加深對本節(jié)內(nèi)容的理解記憶。】基礎檢測1 .函數(shù)f(x) (x2 2)(x2 3x

14、2)的零點個數(shù)為().A. 1 B. 2 C. 3 D. 42 .若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，且有 f(a)|f(b) 0.則函數(shù)f (x)在a,b上().A. 一定沒有零點B.至少有一個零點'C.只有一個零點D.零點情況不確定13、方程x 0的一個頭數(shù)解的存在區(qū)間為()x /A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,1)D.(1,2)4 .函數(shù)y /x2 x 20的零點為.5 .若函數(shù)f(x)為定義域是R的奇函數(shù)，且f(x)在(0,)上有一個零點、則 f(x)的零點個數(shù)為.能力提升(可供學生課外做作業(yè))6 .已知函數(shù) f(x) 2(m 1)x2 4mx 2m 1 .(1) m為何值時，函數(shù)的圖象與x軸有兩個零點；(2)若函數(shù)至少有一個零點在原點右側，求 m值.思考題：方程2-x x在區(qū)間 內(nèi)有解，如何求出這個解的近似值？請預習下一節(jié).【設計意圖：練習強化學生解題能力，并利用拓展延伸對于零點存在取件進一步精確化，為下一節(jié)“用二分法求方程的近似解”的學習做準備.】(六)反思小結，提升能力學完本節(jié)課，你在知識、方法等方面有什么收獲與感受？請寫下來！1