證明的再認識 華東師大版

1、證明的再認識.背景材料前面我們已經(jīng)學習了許多幾何圖形的性質，在認識這些圖形的性質時，常常采用量一量、算一算、猜一猜等方法如我們通過畫不同的三角形，測出它們的內角后算得各個三角形的三個內角和為180，或者像圖27-1-1那樣，把三角形的三個角拼在一起觀察發(fā)現(xiàn)三角形的三個內角的和等于180那么用測量或觀察的方法得到的三角形三個內角的和為180，一定正確嗎？這就需要用邏輯推理的方法來證明它的正確性悟與問：當你采用看一看、量一量、猜一猜等方法得到知識時，你能用邏輯推理的方法證明你的發(fā)現(xiàn)嗎？.課前準備一、課標要求1進一步了解證明的含義，理解證明的必要性，掌握證明的書寫格式能靈活地應用所學的公理、定理、定

2、義進行邏輯推理，提高演繹推理的能力2能證明三角形內角和定理及推論二、實施準備直尺、三角板、彩色粉筆三、預習提示1關鍵概念和性質定理提示關鍵概念：定理.2預習方法提示首先回顧探索幾何圖形性質的常用的兩種方法，其次要明確有些命題可以通過觀察和實驗得到，但也有命題僅僅通過觀察和實驗是不夠的四、預習效果反饋1一個多邊形的每一個內角都等于144，求這個多邊形的邊數(shù)2一個多邊形的每一個外角都等于40，求這個多邊形的邊數(shù)3在ABC中，A=105，B-C=15，求B與C4三角形的一個外角等于與它相鄰的內角的4倍，等于與它不相鄰的一個內角的2倍，求三角形各內角的度數(shù)5已知：如圖27-1-2，BAF、CBD、AC

3、E是ABC的三個外角求證：BAF+CBD+ACE=3606如圖27-1-3，已知RtABC中，C=90，CAD是ABC的一個外角，且CAD=4B，求B的度數(shù).課堂跟講一、背記知識隨堂筆記（一）必記概念1探索幾何圖形性質的常用的兩種方法：（1）通過看一看、畫一畫、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜得出結論，并在實驗操作中對結論作出解釋的方法；（2）用 方法2在第24章中，學過的公理：（1）一條直線截兩條平行直線所得的同位角 .（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線 .（3）如果兩個三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊，或三邊）分別對應相等，那么這兩個三角形 .（4）全

4、等三角形的 ， 分別相等3我們可以在以上公理與依據(jù)的基礎上，用邏輯推理的方法去證明幾何圖形的有關命題，并將證得的可以作為進一步推理依據(jù)的 稱為定理.（二）必記定理1三角形的內角和定理：三角形的內角和等于 .2三角形的內角和定理的推論：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的 .3n邊形的內角和等于 .（三）知識結構二、教材中“？”解答1問題（P30）如圖27-1-4，已知四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，并且AO=OC，BO=DO，試說明四邊形ABCD是平行四邊形解：AO=CO，BODO，1=2，AOBCODAB=CD同理AD=CB四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊

5、形是平行四邊形）.其中“由AO=CO，BO=DO，1=2，所以AOBCOD，”以及“由于兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，從AB=CD，AD=CB即可推出四邊形ABCD是平行四邊形”都是邏輯推理三、重點難點易錯點講解重點難點：進一步了解證明的含義，理解證明的必要性，掌握證明的書寫格式，能靈活地應用所學的公理、定理、定義進行邏輯推理，提高演繹推理的能力是本單元的重難點這是因為有些命題可以通過觀察和實驗得到，但也有些命題僅僅通過觀察和實驗是不夠的，從而說明證明的必要性所以理解證明的必要性和能夠證明一個命題是本單元的重難點易錯點：在運用定理或公理證明一個命題時，必須正確應用好定理或公理，不可生搬

6、硬套否則會出現(xiàn)錯誤【例】 已知：如圖27-1-5，D是ABC中BC邊上的一點，E是AD上一點EB=EC，ABE=ACE.求證：AEBAECAEBAEC.正確證法：BE=CE，EBC=ECB.又ABE=ACE，ABC=ACB. AB=AC.錯證分析：在解題中對要證的全等三角形已找到，但對已知條件分析不夠仔細，產(chǎn)生了像錯例中那樣將“邊邊角”當成“邊角邊”來證明的錯誤，學習中我們不能只根據(jù)問題的某種相似性，生搬硬套，需記住邏輯推理的依據(jù).正確運用定理、公理等依據(jù)用邏輯推理的方法去證明幾何圖形的有關命題.四、本節(jié)與科學技術社會如圖27-1-6，是一個零件的形狀，按規(guī)定A應等于90，B和C應分別是30和

7、21，檢驗工人量得BDC=148，就斷定這個零件不合格，你能運用學過的有關知識說明零件不合格的理由嗎？五、經(jīng)典例題精講（一）一題多解【例1】 求證：三角形的內角和等于180已知：ABC（如圖27-1-7）.求證：A+B+C=180思維入門指導：要證明這個結論，就必須將三角形的三個內角移在一個平角上如圖27-1-7中，可延長一邊BC得到一個平角BCD，然后以CA為一邊，在ABC的外部作ACE=A，再證ECD=B即可也可如圖27-1-8中那樣，過點C作直線MNAB，再證上MCA=A，NCB=B即可證法一：如圖27-1-7，作BC的延長線CD，在ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊作1=A，于是

8、CEBA（內錯角相等，兩直線平行）B=2（兩直線平行，同位角相等）.又1+2+ACB=180（平角的定義），A+B+ACB=180.證法二：如圖27-1-8，過點C作MNABMCA=A，NCB=B（兩直線平行，內錯角相等）.又MCA+ACB+BCN180（平角定義），A+ACB+B=180證法三：如圖27-1-9，在ABC中BC邊上任取一點D，過點D作DEAC，DFAB分別交AB于點E，交AC于點F，于是1=C，3=B（兩直線平行，同位角相等）.又DEAC，DFAB，A=2（平行四邊形的對角相等）.又1+2+3180（平角定義），A+B+C=180點撥：為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線叫做

9、輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線 （二）一題多變【例2】 如圖27-1-10，在ABC中，ABC的平分線BD和ACB的平分線CE相交于點O，且A=80，求BOC的度數(shù)思維入門指導：在ABC中，已知A的度數(shù)，利用三角形的內角和定理，求ABC、ACB的和又因為BD、CE分別平分ABC、ACB可得1與2的和，在BOC中由三角形的內角和定理可求BOC的度數(shù)解：在ABC中，ABC+ACB=180-A=180-80=1001=ABC，2=ACB，1+2=（ABC+ACB）=100=50.在BOC中，BOC=180-(1+2)=180-50=130.一變：如圖27-1-10，在ABC中，ABC的平分

10、線BD和ACB的平分線CE相交于點O，且BOC=130，求A的度思維入門指導：欲求A的度數(shù)，由三角形的內角和定理可知需求ABC與ACB的和即可欲求ABC與ACB的和需求1與2的和，在BOC中已知BOC=130，由三角形的內角和定理可求1與2的和解：在BOC中，1+2=180-BOC=180-130=50.BD平分ABC，CE平分ACB，ABC=21，ACB=22ABC+ACB=21+222（1+2）=250-100在ABC中，A=180-（ABC+ACB）=180-100-80二變：如圖27-1-11，在ABC中，ABC的平分線BD和ACB的外角平分線CE交于點P，且A=80，求CPD的度數(shù)思

11、維入門指導：2是BCP的一個外角，欲求CPD需求2-1而由題意，可知2=(180-ACB)，1=ABC，2-1=90-ACB-ABC=90-（ACB+ABC）.而在ABC中，已知A=80，所以可求ACB+ABC的值.解：在ABC中，ABC+ACB=180-A=180-80=100.1=ABC，2=（180-ACB），CPD=2-1=（180-ACB）-ABC =90-ACB-ABC =90-（ACB+ABC） =90-100=40.點撥：在求角度的問題中，三角形的內角和定理與三角形外角的性質1是兩個常用的知識，要注意靈活運用.（三）教材變型題【例3】 （P33習題27.1第4題變型）已知：如圖

12、27-1-12，點D在AC上，點E在AB上，BE和CD相交于點O，AB=AC，B=C.求證：BE=CD.思維入門指導：BE和CD分別在BOE與COD中，由已知條件不能直接證明BOECOD，但已知AB=AC，AB、BE及AC、CD分別在一條直線上，如果能證明AE=AD，就可得BE=CD.而AE、AD分別在AEC和ADB中，可由已知條件證得AECADB.AECADB（ASA）.AE=AD（全等三角形的對應邊相等）.又AB=AC，BE=CD.（四）中考題【例4】 （2003，菏澤）如圖27-1-13，已知等邊ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點P，則APE的度數(shù)是（ ）A45B55C60D75思

13、維入門指導：APE是ABP的外角，欲求APE需求1與2的和，而在ABD和BCE中，已知AB=AC，ABC=C=60,BD=CE，可得ABDBCE，從而得1=4，所以1與2的和即是2與4的和.因為2+4=60，所以APE可求.解：等邊ABC，AB=BC，ABC=C=60.2+4=60，1+2=60.APE=1+2=60.選C.點撥：本題考查了全等三角形，三角形的外角性質1及等邊三角形的性質的綜合應用.在求角度的問題中，三角形的外角性質1是常用的知識，注意靈活運用.（五）學科內綜合題【例5】 已知多邊形的一個內角的外角與其他各內角和為600，求邊數(shù)及相應的外角的度數(shù).思維入門指導：根據(jù)多邊形的邊數(shù)

14、，可表示這個多邊形的內角和，由于內角和中的一個內角換成了這個內角的外角，故可設一輔助未知數(shù)，考慮用方程方法來求解.解：設這個多邊形邊數(shù)為n，這個外角的度數(shù)為x0（0x180），則與這個外角相鄰的內角為（180-x）.列方程，得（n-2）180+x-(180-x)=600.解得x=570-90n. 0x180，且n為正整數(shù)，n=5或n=6.當n=5時，x=120；當n=6時，x=30.答：當邊數(shù)為5時，這個外角為120；當邊數(shù)為6時，這個外角為30.點撥：本題有兩種符合題意的答案，注意不要漏解.當堂練習1直角三角形的兩個銳角的平分線所成的鈍角為 .2一個n邊形，其中的n-1個內角的和是1320，

15、則n= .3一個五邊形的5個內角中，鈍角至少有（ ）A5個B4個C3個D2個4已知：如圖27-1-14，在四邊形ABCD中，B=D=90，BAC=DAC.求證：BC=DC.5求證：八邊形的內角和等1080.課后鞏固練習一、基礎題（5題10分，6題11分，其余每題3分，共33分）1一個多邊形的每個外角都等于72，這個多邊形是 邊形，它的每個內角是 .2已知一個多邊形的內角和等于外角和的2倍，求這個多邊形的邊數(shù).3在ABC中，A+B=130，B+C=110，則A= B= .4在ABC中，A+B=2C，B-A=20，則B= .5已知：如圖27-1-15，AB=DC，AD=BC.求證：A=C.6如圖2

16、7-1-16，ABCABC，AD、AD分別是ABC和ABC的高.求證：AD=AD.二、學科內綜合題（12分）7已知兩個多邊形的內角和為1800，且兩多邊形的邊數(shù)之比為2：5，求這兩個多邊形的邊數(shù).三、創(chuàng)新題（35分）（一）教材中的變型題（5分）8（P33第4題變型）已知：如圖27-1-17，AB=AC，AD=AE.求證：ABDACE.（二）一題多解（10分）9求證：n邊形的內角和等于（n-2）180.（三）多變題（10分）10如圖27-1-18，A+B+C+D+E+F等于（ ）A180B360C540D720（1）一變：如圖27-1-19，則A+B+C+D+E+F的值為（ ）A180B360C

17、540D720（2）二變：如圖27-1-20，A+B+C+D+E的值為（ ）A180B360C540D720（四）開放題（10）11如圖27-1-21，點C、F在BE上，1=2，BC=EF，請補充條件 （寫一個即可）使ABCDEF.四、中考題（20分）12（2003，泰州，3分）如圖27-1-22，在ABC和DCB中，AB=DC，要使ABDDCO，請你補充條件 .（只填寫一個你認為合適的條件）13（2003，煙臺，3分）如圖27-1-23，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE相交于F.若BF=AC，那么ABC的大小是（ ）A40B45C50D6014（2002，青島，3分），如果三

18、角形的一個外角等于與它相鄰的內角的2倍，且等于與它不相鄰的一個內角的4倍，那么這個三角形一定是（ ）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D正三角形15（2002，聊城，11分）如圖27-1-24，三角形紙片ABC中，A=65，B=75，將紙片的一角折疊，使點C落在ABC內.若1=20，求2的度數(shù).加試題：競賽趣味題（10分）1（1999，全國初中數(shù)學奧林匹克競賽，5分）一個凸n多邊形的內角和小于1999，那么n的最大值是（ ）A11B12C13D142（2001，奧林匹克競賽，5分）在凸n邊形中，小于108的角最多可以有（ ）A3個B4個C5個D6個.探究題一塊三角的鋼板切去一個角，你能否想辦

19、法得出切去的這個角的度數(shù)？如果是一塊四邊形的鋼板切去一個角，你能否想辦法得到切去的這個角的度數(shù)？課堂內外幾何原本我們知道，幾何學研究的對象就是圖形，因而研究它們時必然要用到我們的空間直觀性，可是直觀性也有缺乏客觀性的情況，因此在明確地規(guī)定了定義和公理的基礎上，排除直觀，建立純粹的合乎邏輯的幾何學的思想，在古希臘時代就已經(jīng)開始了歐幾里得的幾何原本就是在這種思想的指導下完成的雖然長期以來幾何原本被視為完善的邏輯體系的典范，但是事實上隨著時代的進步，數(shù)學的批判精神有所發(fā)展，人們注意到幾何原本中邏輯性存在許多缺陷，請看下例：任意三角形的任意一個外角大于任何一個不相鄰內角如圖27-1-25，在ABC中，

20、延長BC到D，則可證外角ACD大于CBA、BAC的任何一個設AC被E點平分，連BE并延長至F，使EF等于BE，連FC，延長AC至G易證ABECFE，所以BAE=ECF因ECDECF，故ACDBAC類似地，BC被平分，BCGABC，即上ACDABC這個證明貌似邏輯嚴密，其實它在很大程度上依賴了直觀性，問題出在“ECDECF”理論依據(jù)何在？根據(jù)公里5，整體大于部分，何為整體？難道只許把ECD視為整體，就不準把ECF視為整體嗎？這個例子說明了直觀性缺乏客觀性，更暴露出幾何原本的公理體系本身的不完備，而且這樣的例子在幾何原本中可謂比比皆是到19世紀后半葉，許多數(shù)學家提出了可用于代替幾何原本公理體系的在

21、邏輯上完善的公理體系其中，希爾伯特提出的公理體系是考慮最周到的，有興趣的同學可查閱相關的資料參考答案.四、110. 29. 3B=45，C=30. 436，72，72.5證明：如圖D27-1-1，BAF=2+3，CBD=1+3，ACE=1+2（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），BAF+CBD+ACE=2（1+2+3）.1+2+3=180（三角形內角和定理），BAF+CBD+ACE=2180=360.6B=30.一、（一）1邏輯推理2（1）相等；（2）平行；（3）全等；（4）對應邊；對應角 3真命題（二）1180 2和 3(n-2)180四、延長BD交AC于點E，可推出BDC=A+B+C=141，故零件不合格.1135 210 3D4點撥：證A