證明的再認(rèn)識(shí) 華東師大版

1、證明的再認(rèn)識(shí).背景材料前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了許多幾何圖形的性質(zhì)，在認(rèn)識(shí)這些圖形的性質(zhì)時(shí)，常常采用量一量、算一算、猜一猜等方法如我們通過畫不同的三角形，測出它們的內(nèi)角后算得各個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180，或者像圖27-1-1那樣，把三角形的三個(gè)角拼在一起觀察發(fā)現(xiàn)三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180那么用測量或觀察的方法得到的三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180，一定正確嗎？這就需要用邏輯推理的方法來證明它的正確性悟與問：當(dāng)你采用看一看、量一量、猜一猜等方法得到知識(shí)時(shí)，你能用邏輯推理的方法證明你的發(fā)現(xiàn)嗎？.課前準(zhǔn)備一、課標(biāo)要求1進(jìn)一步了解證明的含義，理解證明的必要性，掌握證明的書寫格式能靈活地應(yīng)用所學(xué)的公理、定理、定

2、義進(jìn)行邏輯推理，提高演繹推理的能力2能證明三角形內(nèi)角和定理及推論二、實(shí)施準(zhǔn)備直尺、三角板、彩色粉筆三、預(yù)習(xí)提示1關(guān)鍵概念和性質(zhì)定理提示關(guān)鍵概念：定理.2預(yù)習(xí)方法提示首先回顧探索幾何圖形性質(zhì)的常用的兩種方法，其次要明確有些命題可以通過觀察和實(shí)驗(yàn)得到，但也有命題僅僅通過觀察和實(shí)驗(yàn)是不夠的四、預(yù)習(xí)效果反饋1一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于144，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)2一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)3在ABC中，A=105，B-C=15，求B與C4三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角的4倍，等于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的2倍，求三角形各內(nèi)角的度數(shù)5已知：如圖27-1-2，BAF、CBD、AC

3、E是ABC的三個(gè)外角求證：BAF+CBD+ACE=3606如圖27-1-3，已知RtABC中，C=90，CAD是ABC的一個(gè)外角，且CAD=4B，求B的度數(shù).課堂跟講一、背記知識(shí)隨堂筆記（一）必記概念1探索幾何圖形性質(zhì)的常用的兩種方法：（1）通過看一看、畫一畫、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜得出結(jié)論，并在實(shí)驗(yàn)操作中對(duì)結(jié)論作出解釋的方法；（2）用 方法2在第24章中，學(xué)過的公理：（1）一條直線截兩條平行直線所得的同位角 .（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線 .（3）如果兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊，或三邊）分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形 .（4）全

4、等三角形的 ， 分別相等3我們可以在以上公理與依據(jù)的基礎(chǔ)上，用邏輯推理的方法去證明幾何圖形的有關(guān)命題，并將證得的可以作為進(jìn)一步推理依據(jù)的 稱為定理.（二）必記定理1三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于 .2三角形的內(nèi)角和定理的推論：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的 .3n邊形的內(nèi)角和等于 .（三）知識(shí)結(jié)構(gòu)二、教材中“？”解答1問題（P30）如圖27-1-4，已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，并且AO=OC，BO=DO，試說明四邊形ABCD是平行四邊形解：AO=CO，BODO，1=2，AOBCODAB=CD同理AD=CB四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊

5、形是平行四邊形）.其中“由AO=CO，BO=DO，1=2，所以AOBCOD，”以及“由于兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，從AB=CD，AD=CB即可推出四邊形ABCD是平行四邊形”都是邏輯推理三、重點(diǎn)難點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)講解重點(diǎn)難點(diǎn)：進(jìn)一步了解證明的含義，理解證明的必要性，掌握證明的書寫格式，能靈活地應(yīng)用所學(xué)的公理、定理、定義進(jìn)行邏輯推理，提高演繹推理的能力是本單元的重難點(diǎn)這是因?yàn)橛行┟}可以通過觀察和實(shí)驗(yàn)得到，但也有些命題僅僅通過觀察和實(shí)驗(yàn)是不夠的，從而說明證明的必要性所以理解證明的必要性和能夠證明一個(gè)命題是本單元的重難點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：在運(yùn)用定理或公理證明一個(gè)命題時(shí)，必須正確應(yīng)用好定理或公理，不可生搬

6、硬套否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤【例】 已知：如圖27-1-5，D是ABC中BC邊上的一點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)EB=EC，ABE=ACE.求證：AEBAECAEBAEC.正確證法：BE=CE，EBC=ECB.又ABE=ACE，ABC=ACB. AB=AC.錯(cuò)證分析：在解題中對(duì)要證的全等三角形已找到，但對(duì)已知條件分析不夠仔細(xì)，產(chǎn)生了像錯(cuò)例中那樣將“邊邊角”當(dāng)成“邊角邊”來證明的錯(cuò)誤，學(xué)習(xí)中我們不能只根據(jù)問題的某種相似性，生搬硬套，需記住邏輯推理的依據(jù).正確運(yùn)用定理、公理等依據(jù)用邏輯推理的方法去證明幾何圖形的有關(guān)命題.四、本節(jié)與科學(xué)技術(shù)社會(huì)如圖27-1-6，是一個(gè)零件的形狀，按規(guī)定A應(yīng)等于90，B和C應(yīng)分別是30和

7、21，檢驗(yàn)工人量得BDC=148，就斷定這個(gè)零件不合格，你能運(yùn)用學(xué)過的有關(guān)知識(shí)說明零件不合格的理由嗎？五、經(jīng)典例題精講（一）一題多解【例1】 求證：三角形的內(nèi)角和等于180已知：ABC（如圖27-1-7）.求證：A+B+C=180思維入門指導(dǎo)：要證明這個(gè)結(jié)論，就必須將三角形的三個(gè)內(nèi)角移在一個(gè)平角上如圖27-1-7中，可延長一邊BC得到一個(gè)平角BCD，然后以CA為一邊，在ABC的外部作ACE=A，再證ECD=B即可也可如圖27-1-8中那樣，過點(diǎn)C作直線MNAB，再證上MCA=A，NCB=B即可證法一：如圖27-1-7，作BC的延長線CD，在ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊作1=A，于是

8、CEBA（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）B=2（兩直線平行，同位角相等）.又1+2+ACB=180（平角的定義），A+B+ACB=180.證法二：如圖27-1-8，過點(diǎn)C作MNABMCA=A，NCB=B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.又MCA+ACB+BCN180（平角定義），A+ACB+B=180證法三：如圖27-1-9，在ABC中BC邊上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEAC，DFAB分別交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，于是1=C，3=B（兩直線平行，同位角相等）.又DEAC，DFAB，A=2（平行四邊形的對(duì)角相等）.又1+2+3180（平角定義），A+B+C=180點(diǎn)撥：為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線叫做

9、輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線 （二）一題多變【例2】 如圖27-1-10，在ABC中，ABC的平分線BD和ACB的平分線CE相交于點(diǎn)O，且A=80，求BOC的度數(shù)思維入門指導(dǎo)：在ABC中，已知A的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理，求ABC、ACB的和又因?yàn)锽D、CE分別平分ABC、ACB可得1與2的和，在BOC中由三角形的內(nèi)角和定理可求BOC的度數(shù)解：在ABC中，ABC+ACB=180-A=180-80=1001=ABC，2=ACB，1+2=（ABC+ACB）=100=50.在BOC中，BOC=180-(1+2)=180-50=130.一變：如圖27-1-10，在ABC中，ABC的平分

10、線BD和ACB的平分線CE相交于點(diǎn)O，且BOC=130，求A的度思維入門指導(dǎo)：欲求A的度數(shù)，由三角形的內(nèi)角和定理可知需求ABC與ACB的和即可欲求ABC與ACB的和需求1與2的和，在BOC中已知BOC=130，由三角形的內(nèi)角和定理可求1與2的和解：在BOC中，1+2=180-BOC=180-130=50.BD平分ABC，CE平分ACB，ABC=21，ACB=22ABC+ACB=21+222（1+2）=250-100在ABC中，A=180-（ABC+ACB）=180-100-80二變：如圖27-1-11，在ABC中，ABC的平分線BD和ACB的外角平分線CE交于點(diǎn)P，且A=80，求CPD的度數(shù)思

11、維入門指導(dǎo)：2是BCP的一個(gè)外角，欲求CPD需求2-1而由題意，可知2=(180-ACB)，1=ABC，2-1=90-ACB-ABC=90-（ACB+ABC）.而在ABC中，已知A=80，所以可求ACB+ABC的值.解：在ABC中，ABC+ACB=180-A=180-80=100.1=ABC，2=（180-ACB），CPD=2-1=（180-ACB）-ABC =90-ACB-ABC =90-（ACB+ABC） =90-100=40.點(diǎn)撥：在求角度的問題中，三角形的內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)1是兩個(gè)常用的知識(shí)，要注意靈活運(yùn)用.（三）教材變型題【例3】 （P33習(xí)題27.1第4題變型）已知：如圖

12、27-1-12，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在AB上，BE和CD相交于點(diǎn)O，AB=AC，B=C.求證：BE=CD.思維入門指導(dǎo)：BE和CD分別在BOE與COD中，由已知條件不能直接證明BOECOD，但已知AB=AC，AB、BE及AC、CD分別在一條直線上，如果能證明AE=AD，就可得BE=CD.而AE、AD分別在AEC和ADB中，可由已知條件證得AECADB.AECADB（ASA）.AE=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.又AB=AC，BE=CD.（四）中考題【例4】 （2003，菏澤）如圖27-1-13，已知等邊ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則APE的度數(shù)是（ ）A45B55C60D75思

13、維入門指導(dǎo)：APE是ABP的外角，欲求APE需求1與2的和，而在ABD和BCE中，已知AB=AC，ABC=C=60,BD=CE，可得ABDBCE，從而得1=4，所以1與2的和即是2與4的和.因?yàn)?+4=60，所以APE可求.解：等邊ABC，AB=BC，ABC=C=60.2+4=60，1+2=60.APE=1+2=60.選C.點(diǎn)撥：本題考查了全等三角形，三角形的外角性質(zhì)1及等邊三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用.在求角度的問題中，三角形的外角性質(zhì)1是常用的知識(shí)，注意靈活運(yùn)用.（五）學(xué)科內(nèi)綜合題【例5】 已知多邊形的一個(gè)內(nèi)角的外角與其他各內(nèi)角和為600，求邊數(shù)及相應(yīng)的外角的度數(shù).思維入門指導(dǎo)：根據(jù)多邊形的邊數(shù)

14、，可表示這個(gè)多邊形的內(nèi)角和，由于內(nèi)角和中的一個(gè)內(nèi)角換成了這個(gè)內(nèi)角的外角，故可設(shè)一輔助未知數(shù)，考慮用方程方法來求解.解：設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)為n，這個(gè)外角的度數(shù)為x0（0x180），則與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角為（180-x）.列方程，得（n-2）180+x-(180-x)=600.解得x=570-90n. 0x180，且n為正整數(shù)，n=5或n=6.當(dāng)n=5時(shí)，x=120；當(dāng)n=6時(shí)，x=30.答：當(dāng)邊數(shù)為5時(shí)，這個(gè)外角為120；當(dāng)邊數(shù)為6時(shí)，這個(gè)外角為30.點(diǎn)撥：本題有兩種符合題意的答案，注意不要漏解.當(dāng)堂練習(xí)1直角三角形的兩個(gè)銳角的平分線所成的鈍角為 .2一個(gè)n邊形，其中的n-1個(gè)內(nèi)角的和是1320，

15、則n= .3一個(gè)五邊形的5個(gè)內(nèi)角中，鈍角至少有（ ）A5個(gè)B4個(gè)C3個(gè)D2個(gè)4已知：如圖27-1-14，在四邊形ABCD中，B=D=90，BAC=DAC.求證：BC=DC.5求證：八邊形的內(nèi)角和等1080.課后鞏固練習(xí)一、基礎(chǔ)題（5題10分，6題11分，其余每題3分，共33分）1一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于72，這個(gè)多邊形是 邊形，它的每個(gè)內(nèi)角是 .2已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).3在ABC中，A+B=130，B+C=110，則A= B= .4在ABC中，A+B=2C，B-A=20，則B= .5已知：如圖27-1-15，AB=DC，AD=BC.求證：A=C.6如圖2

16、7-1-16，ABCABC，AD、AD分別是ABC和ABC的高.求證：AD=AD.二、學(xué)科內(nèi)綜合題（12分）7已知兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800，且兩多邊形的邊數(shù)之比為2：5，求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù).三、創(chuàng)新題（35分）（一）教材中的變型題（5分）8（P33第4題變型）已知：如圖27-1-17，AB=AC，AD=AE.求證：ABDACE.（二）一題多解（10分）9求證：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180.（三）多變題（10分）10如圖27-1-18，A+B+C+D+E+F等于（ ）A180B360C540D720（1）一變：如圖27-1-19，則A+B+C+D+E+F的值為（ ）A180B360C

17、540D720（2）二變：如圖27-1-20，A+B+C+D+E的值為（ ）A180B360C540D720（四）開放題（10）11如圖27-1-21，點(diǎn)C、F在BE上，1=2，BC=EF，請(qǐng)補(bǔ)充條件 （寫一個(gè)即可）使ABCDEF.四、中考題（20分）12（2003，泰州，3分）如圖27-1-22，在ABC和DCB中，AB=DC，要使ABDDCO，請(qǐng)你補(bǔ)充條件 .（只填寫一個(gè)你認(rèn)為合適的條件）13（2003，煙臺(tái)，3分）如圖27-1-23，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE相交于F.若BF=AC，那么ABC的大小是（ ）A40B45C50D6014（2002，青島，3分），如果三

18、角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角的2倍，且等于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的4倍，那么這個(gè)三角形一定是（ ）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D正三角形15（2002，聊城，11分）如圖27-1-24，三角形紙片ABC中，A=65，B=75，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在ABC內(nèi).若1=20，求2的度數(shù).加試題：競賽趣味題（10分）1（1999，全國初中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，5分）一個(gè)凸n多邊形的內(nèi)角和小于1999，那么n的最大值是（ ）A11B12C13D142（2001，奧林匹克競賽，5分）在凸n邊形中，小于108的角最多可以有（ ）A3個(gè)B4個(gè)C5個(gè)D6個(gè).探究題一塊三角的鋼板切去一個(gè)角，你能否想辦

19、法得出切去的這個(gè)角的度數(shù)？如果是一塊四邊形的鋼板切去一個(gè)角，你能否想辦法得到切去的這個(gè)角的度數(shù)？課堂內(nèi)外幾何原本我們知道，幾何學(xué)研究的對(duì)象就是圖形，因而研究它們時(shí)必然要用到我們的空間直觀性，可是直觀性也有缺乏客觀性的情況，因此在明確地規(guī)定了定義和公理的基礎(chǔ)上，排除直觀，建立純粹的合乎邏輯的幾何學(xué)的思想，在古希臘時(shí)代就已經(jīng)開始了歐幾里得的幾何原本就是在這種思想的指導(dǎo)下完成的雖然長期以來幾何原本被視為完善的邏輯體系的典范，但是事實(shí)上隨著時(shí)代的進(jìn)步，數(shù)學(xué)的批判精神有所發(fā)展，人們注意到幾何原本中邏輯性存在許多缺陷，請(qǐng)看下例：任意三角形的任意一個(gè)外角大于任何一個(gè)不相鄰內(nèi)角如圖27-1-25，在ABC中，

20、延長BC到D，則可證外角ACD大于CBA、BAC的任何一個(gè)設(shè)AC被E點(diǎn)平分，連BE并延長至F，使EF等于BE，連FC，延長AC至G易證ABECFE，所以BAE=ECF因ECDECF，故ACDBAC類似地，BC被平分，BCGABC，即上ACDABC這個(gè)證明貌似邏輯嚴(yán)密，其實(shí)它在很大程度上依賴了直觀性，問題出在“ECDECF”理論依據(jù)何在？根據(jù)公里5，整體大于部分，何為整體？難道只許把ECD視為整體，就不準(zhǔn)把ECF視為整體嗎？這個(gè)例子說明了直觀性缺乏客觀性，更暴露出幾何原本的公理體系本身的不完備，而且這樣的例子在幾何原本中可謂比比皆是到19世紀(jì)后半葉，許多數(shù)學(xué)家提出了可用于代替幾何原本公理體系的在

21、邏輯上完善的公理體系其中，希爾伯特提出的公理體系是考慮最周到的，有興趣的同學(xué)可查閱相關(guān)的資料參考答案.四、110. 29. 3B=45，C=30. 436，72，72.5證明：如圖D27-1-1，BAF=2+3，CBD=1+3，ACE=1+2（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），BAF+CBD+ACE=2（1+2+3）.1+2+3=180（三角形內(nèi)角和定理），BAF+CBD+ACE=2180=360.6B=30.一、（一）1邏輯推理2（1）相等；（2）平行；（3）全等；（4）對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)角 3真命題（二）1180 2和 3(n-2)180四、延長BD交AC于點(diǎn)E，可推出BDC=A+B+C=141，故零件不合格.1135 210 3D4點(diǎn)撥：證A