湖南省瀏陽(yáng)一中、株洲二中等湘東七校高三數(shù)學(xué)12月聯(lián)考試題理(含答案)

1、湖南省瀏陽(yáng)一中、株洲二中等湘東七校 2020屆高三數(shù)學(xué)12月聯(lián)考試總分：150分時(shí)量：120分鐘考試時(shí)間2019年12月8日第I卷（共60分）選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的。1-；_1.已知復(fù)數(shù) = T .則z的共軻復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）（1+爐zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2,已知 2-x|log?(x+2) <1/ = 中,-2彳-3,0)，則工IJB二()A.(-2,3B. -2,3 C. -1,0) D.(-卬3 .已知窗二2。次方=,c=5則口,”。的大小關(guān)系為()A. I - .L

2、B. 1 - 二C. 1 - .dD. . - J.4 .已知數(shù)列aJ為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1 = 3,數(shù)列mJ滿足4 = 10gm % ,且4 +出 地 =9,A. 9B27 C81 D . 243sin 2x5 .函數(shù)5二, ”的圖象大致是（）In 2,x6 .九章算術(shù)卷七-盈不足中有如下問(wèn)題：“今有共買羊，人出五，不狎妁足四十五；人出七，不足三.問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各幾何？ ”.翻譯為：”現(xiàn)有幾個(gè)人一起買羊，若每人出五錢，還差四十五錢，若每人出七錢，還差三錢，問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)分 別是多少”.為了研究該問(wèn)題，設(shè)置了如圖所示的程序框圖，若要輸出人數(shù)和羊價(jià)，則判斷框中應(yīng)該填（）A. k>20 B. k

3、>21C. k>22D. k>237 .已知平面向量a g 滿足 a = (cos & sin a1),網(wǎng)二2 ,且a口4+3=2 ,則向量；與小夾角的余弦值為（）8 .已知平面區(qū)域 D=4什尸2£00M卜 27+2NQy>0取一點(diǎn)M,則點(diǎn)M恰好在區(qū)域D2內(nèi)的概率為（冽,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)選開(kāi)9 .已知函數(shù)，=2sm（ea+0）（7）。，酈w），滿足0）=忑，將函數(shù)/的圖 心象向右平移開(kāi)一個(gè)單位得到函數(shù)63汽的圖象，若gQ）的圖象關(guān)于直線了二 對(duì)稱，則的4取值可以為（）A. 1B. 2C. 3D. 410 .已知拋物線c：二2px（P>O）的焦點(diǎn)F到

4、其準(zhǔn)線的距離為 4,圓 m：.,過(guò)F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于 A,P,Q,B四點(diǎn)，則|AP|+4|BQ|的最小值為A. 9B. 11C. 13 D. 1511 .已知函數(shù)/W =,若方程 /卜）七二1 有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為A.)”1一,0)3g 1e 1B.(2e -1C.g 1,D u( 1, e -1212.已知四棱錐 P-ABCD的底面為矩形，平面 PBCL平面ABCD, PELBC 于 E, EC=1AE=跖，BC=3 PE=2,則四棱錐P-ABC3卜接球的表面積為（）AB.t丁C.二 D.:二：第n卷（共90分）二.填空題（每題 5分，滿分20分，將答

5、案填在答題紙上）13 .函數(shù)1）=J 005在工二0處的切線方程是 .9914 .已知二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為 243,則（工+ _?帚_1）的展開(kāi)式中含 了XX"15.數(shù)列4）通項(xiàng)公式為項(xiàng)的系數(shù)為.H為奇數(shù),若£為數(shù)列的前鞏項(xiàng)和，則s加=口為偶數(shù)16. 已知雙曲線F,直線y二招工與雙曲線C交于A,B兩 a tf'點(diǎn)，AF、BF的中點(diǎn)依次為 M, N,若以線段M時(shí)直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為三.解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17. （12分） 如圖， ABC是等邊三角形，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），記/ B

6、AD= 4 , / ADC= § .(1)求2 cos G-C0$/的最大值； 若BD= 1, cos £ = 1,求 ABD勺面積.18. （12分）如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為2的菱形， ADAB =60° /ADP=90°，平面ADP，平面ABCD，點(diǎn)胃為棱PD的中點(diǎn).（i）在棱wb上是否存在一點(diǎn) 自，使得邱平面臃， 并說(shuō)明理由;（2）當(dāng)二面角 D-FC-B 的余弦值為1時(shí)，求直線pg與平面 ABCD 所成的角.19. （12分）有兩種理財(cái)產(chǎn)品 乂和投資這兩種理財(cái)產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財(cái) 產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之

7、間相互獨(dú)立）產(chǎn)品A-投資結(jié)果獲利50%不賠不賺虧損30%概率£523124產(chǎn)品B投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損30%概率34注：-'7（1）若甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品投資，一年后他們中至少有一人獲利的概率大于4求實(shí)數(shù)P的取值范圍；（2）若丙要將20萬(wàn)元人民幣投資其中一種產(chǎn)品，以一年后的投資收益的期望值為決策依據(jù)，則丙選擇哪種產(chǎn)品投資較為理想20. （12分）已知橢圓C ：馬+4 = 1 g > ” 0）的左右焦點(diǎn)分別為 4 片 ,點(diǎn)4 4是 -a o-橢圓c的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)p是橢圓c上一動(dòng)點(diǎn)，WFE的周長(zhǎng)為6,且直線 叫 出 的斜率、3之積為.4（1）求橢圓C的方程；（2

8、）若幺、g為橢圓。上位于I軸同側(cè)的兩點(diǎn)，且 乙4喀+儂月日 ,求四邊形Am 面積的取值范圍.121. （12分）已知函數(shù) I 二一3”一一： （qeK g是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），J=oJ是函數(shù)/（l'l的一個(gè)極值點(diǎn).（1）求函數(shù)/（I）的單調(diào)遞增區(qū)間；r1 an22）設(shè)g（x）二口 +加_2）彳_/ _邛，若寸xeR，不等式網(wǎng)之虱彳） 恒成立，求一可 L-I2的最大值.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分22.1選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分）.fx = 1 + cos已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,圓C的參數(shù)方程為<（4為參數(shù)）.以原

9、點(diǎn)0為1y = sin a極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.（1）求圓C的普通方程及其極坐標(biāo)方程；/ 7rl17r（2）設(shè)直線/的極坐標(biāo)方程為psm 0 + - =2 ,射線QM： J二：與圓C的交點(diǎn)為P （異I”6于極點(diǎn)），與直線7的交點(diǎn)為Q ,求線段PQ的長(zhǎng).23.【選修45:不等式選講】（本小題滿分 10分）已知函數(shù) 式力=|卜2田2工+ 4|（1）解不等式 /«>-3r+4； 若函數(shù)/（力最小值為a ,且2m+# = c（m0調(diào)）。），求一二+1的最小值.m+1 M湖南省湘東七校2019年下期高三聯(lián)考理科數(shù)學(xué)參考答案及解析總分：150 時(shí)量：12

10、0考試時(shí)間2019年12月8日、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的。題號(hào)123456789101112選項(xiàng)BABCAACBBCDA9.解：= f (0) = 3, ，sin 4 =，, 4 = ，即 f (x) = 2sin ( w x/Jg (x) = 2sin aq "ITq TTTT. g (x)的圖象關(guān)于直線x = 一對(duì)稱，. co (3-JI+kit , kC z,-77i n . _.，貝U co x ；二=+k % kC z,令 k= 1 得 3=2.故選:126B.11解：方程f (x) - kx= 1有兩

11、個(gè)不同實(shí)根可化為函數(shù)f (x)與函數(shù)y = kx+1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)x>1時(shí)，f (x) =f (x-1),周期性變化；函數(shù)y=kx+1的圖象恒過(guò)點(diǎn)(0, 1);作函數(shù)f (x)與函數(shù)y= kx+1的圖象如下，C (0, 1) , B (2, e) , A(1, e);巳一1故 kAC= e - 1, kBC="-；在點(diǎn)C處的切線的斜率k=e°=1；結(jié)合圖象可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.e_1 _(-;p, 1) U (1, e-1;故選：D.12.以UFBC為底面補(bǔ)成直三棱柱，由正弦定理可求得外接圓直徑徑為從而可求得外接球表面積為二、填空題(每題 5分，滿分20分，將

12、答案填在答題紙上)13. _ I |14. 3015.3031M2116.15.解數(shù)列/）且仆17+和',HITsin,4滋奇數(shù)"為偶數(shù)當(dāng)身為奇數(shù)時(shí)，qiams + 2m 21"月+2；當(dāng)力為偶數(shù)時(shí)，生產(chǎn)sin?,所以-"一：，.一 ，-.L2l 3 3 52019 2021；11 + 0 -1 + " 1 + 口）患小雪故答案為奧20212021202116 .解因?yàn)橐跃€段MNtt;直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以 OM LON-AFIBF開(kāi)設(shè)左焦點(diǎn)為嚴(yán)，連接而,則冊(cè)上即,因?yàn)橐襥OF=耳，所以上LF二e,AF二"各，由雙曲線定義得AF一四二戊

13、一尸2。求得三、解答題 （本大題共6小題，共70分.）17 . （1）由ABC等邊三角形，得 3 = "T，-冗短CC C，0< a < -T-,故 2cos a cos 3 = 2cos a cos （ a=小乳11（比+今,故當(dāng)a =-,即D為BC中點(diǎn)時(shí)，原式取最大值 瓜 0（6分）（2）由 cos 3 =",得 sin 3 =一 . - n、 ° n故 sin a =sin （3 -= sin 3 cos cos00sin（8分）由正弦定理ABBDsin/ADB sin/BAD '故 AB=半g-BD=, （10 分） sinC- 3故S

14、 ABD=1-1 S .-AB?BD?sin Bi=xX1x（12 分）18.解：（I）在棱 AB上存在點(diǎn)E,使得AF/平面PCE點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).理由如下：取 PC的中點(diǎn) Q連結(jié)EQ FQ由題意，F(xiàn)Q/ DC且 FQ= C CD 所以 AE/ CD且 AE= C CD 2|2|故AE/ FQ且AE= FQ所以，四邊形 AEQF為平行四邊形.（3分）所以，AF/ EQ,又EQ?平面PEC AF?平面PEC所以，AF/平面PEC.（5分）（2）由題意知 ABD為正三角形，所以 ED± AB,亦即ED± CD又/ ADP= 90° ,所以 PD±AD,且平

15、面 ADPL平面 ABCD平面ADPH平面ABCD= AD,所以PDL平面ABCD故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，（c（0, 2, 0）設(shè) FD= a,則由題意知 D （0, 0, 0） , F （0, 0, a）,TC= （0, 2, - a） , CB=（遮，T，0）,設(shè)平面FBC的法向量為 附二,令則由所以取.：二。，沁 ,平面DFC的法向量三=（1, 0, 0） , （8 a分）一T因?yàn)槊娼荄- FC- B的余弦值為一，6分）B （£, 1, 0）,由于PDL平面 ABCD所以PB在平面ABC*的射影為 BD（10 分）所以/ PBD為直線PB與平面ABC所成的角,由

16、題意知在RfPBD中，tan/PB、更=”1, BD從而 LPBD = 45°所以直線PB與平面ABC所成的角為（12 分）419.（i）記事件c為“甲選擇產(chǎn)品乂投資且獲利”，記事件D為“乙選擇產(chǎn)品b投資且獲利”記事件£為“一年后甲、乙兩人至少有一人投資獲利”1_9_則 RC）二 7P w P（D = -p,一-'235?>852 ,一 </<一 (5 分)S 35522一，且p <33投資結(jié)果100-6概率351224（2）假設(shè)丙選擇幺產(chǎn)品投資，且記金為獲利金額（單位：萬(wàn)元），則的分布列為:1 1.E£ = 10x-6x-=- -

17、34 6(7分)假設(shè)丙選擇£產(chǎn)品投資，且記歹為獲利金額（單位：萬(wàn)元），則 歹的分布列為:投資結(jié)果80-6概率P_3qEi9j)-3p-6q = Zp-6 -p =14/?-4(0 <p <-) (9分)<3 )3，當(dāng)好之時(shí)，月楮）二倒小,丙可在產(chǎn)品 力和產(chǎn)品B中任選一個(gè)投資;12一當(dāng)。“不時(shí)，£©月仍）,丙應(yīng)選產(chǎn)品R投資；12 L52.當(dāng)時(shí),團(tuán)或現(xiàn)川，丙應(yīng)選產(chǎn)品E投資.（12分）123、20. (1) . AFF2的周長(zhǎng)為 6,2a+2c=6,即 a+c=3,32直線 % 出 的斜率之積為一-,可求得 二二 4 a 4聯(lián)立及 a2= b2+c2,

18、解得 a=2, b= 3, c=1.22橢圓C的方程為 <+匚=i； (4分)4 3 1(2) / AFF2+/BF2Fi=兀，. . AF/BF2,延長(zhǎng)AF交橢圓C于點(diǎn)A ,設(shè)A (xi, yi) , A (X2, y2),由(1)知 F ( 1, 0) , F2 (1, 0),工二 tyT直線AA的方程為x = ty - 1,聯(lián)立、/ 仃 2 ，得(3t2+4) y2 6ty 9=0.+=1I 4 3 16t由對(duì)稱性可知，設(shè)AF與BE的距離為d,則四邊形AFF2B的面積S=S=(|AFl + |BFzl)忌|d= Saf” .6t、2 79、1 明 t2 + l2)Yl2)=5. (

19、9 分):+43tz+43t2+4121n 二 12令 m=M+l，佗.S=3ir2+1 3IDS (亦 在1, +8)上單調(diào)遞減，SC (0, 3.故四邊形AFF2B面積的取值范圍為(0, 3 . (12分)21. (1) f' (x) = ( x+2) ex - x - a,X =。是函數(shù)/(的一個(gè)極值點(diǎn)， " 0)二0 ,解得a= 2 (2分) 貝U f' (x) = ( x+2) ( ex 1).令 f' (x) >0,解得 x>0 或 xv - 2, 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-00, 2)和(0, +8). ( 4分)(2)不等式 f (

20、x) > g (x),可化為 ex>2mx- n,記 h (x) =ex-2m)+n, h' (x) =ex-2m當(dāng)。時(shí)，h' (x) >0恒成立，則h (x)在R上遞增，沒(méi)有最小值，故不成立；(6分)當(dāng) m>。時(shí)，令h'(x)=0,解得 x=ln 2m當(dāng) xC (-巴小 2mj)時(shí)，h'(x)v 0;當(dāng) xC(ln2m, +0°)時(shí)，h' (x) >0,當(dāng) x=ln 2m時(shí)，函數(shù) h (x)取得最小值 h (In 2nj) = eln2m- 2mln2n+n>0,即 2m- 2mln2m> - n,則那一-W 2沼-川M2用(9 分) 2令 F (m =2mmln2m(m> 0) , F (m>= 1 In2m令F'(m =0,則 in=y,當(dāng)£)時(shí)，F(xiàn)>°；當(dāng) mE 華，十0°)時(shí)，f(m) < 0,故當(dāng)吟時(shí)，F(xiàn)(m取得最大值F號(hào))二1,所以得，