_圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及其應(yīng)用

1、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及其應(yīng)用 源于課本中閱讀材料的思考 張永前(大連市第二中學(xué) , 遼寧 大連 116001 人民教育出版社 B 版高中教材選修 2-1圓錐曲線的方程和性質(zhì)之后 , 有一則閱讀材料介紹了圓錐曲線基本 理論的由來 、 圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)及在生活中的 應(yīng)用 。 這對于拓展學(xué)生的視野 、 豐富學(xué)生的知識有一定的意 義 。 在 此基礎(chǔ)上筆者對圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了證明 , 并對其應(yīng) 用作了進(jìn)一步探究 。一 、 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1. 從橢圓的一個焦點處發(fā)出光線照射到橢圓上 , 經(jīng)反射后都通過另一個焦點 , 這是橢圓的光學(xué)性質(zhì) 。 橢圓的 這種光學(xué)特性常被用來設(shè)計一 些照明 設(shè)備

2、或 聚熱裝 置 。 例如 電影放映機(jī)的聚光燈泡的反 射面是橢 圓面 , 燈絲 在一個 焦點 上 ,影片門在另一個焦點上 。2. 從雙曲線的一個焦點處發(fā)出光線照射到雙曲線上 , 經(jīng)反射后會使光線散開 , 如同光 線是從 另一個 焦點發(fā) 出來 的 。這是雙曲線的光學(xué)性質(zhì) 。 雙 曲線這 種反向 虛聚焦 性質(zhì) 在天文望遠(yuǎn)鏡設(shè)計等方面有實際應(yīng)用 。3. 從拋物線焦點處發(fā)出的光線照射到拋物線上 , 經(jīng)反射后都平行于拋物線的軸 。 反之 , 平行于拋物線的軸的 光線照射到拋物線上 , 經(jīng)反射后都通過焦點 。 這是拋物線的 光學(xué)性質(zhì) 。 拋物線這種聚焦特性成 為聚能 裝置或 定向發(fā) 射裝 置的最佳選擇 。

3、例如探照燈 、 汽車大燈等反射鏡面的縱剖 線是拋物線 , 把光源置于它的 焦點處 , 經(jīng)鏡 面反射 后能成 為平 行光束 , 使照射距離加大 , 并可通過轉(zhuǎn)動拋物線的對稱軸方向 , 控制照射方向 。 衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線 , 一 般也是以拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)得到的 。 把接收器置于其焦點 , 拋物線的對稱軸跟蹤對準(zhǔn)衛(wèi)星 , 這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微 弱電磁波訊號射線最大限度地 集中到接 收器上 , 以 保證接 收效 果 。若把發(fā)射裝置安裝在焦 點 , 把 對稱軸 跟蹤對 準(zhǔn)衛(wèi)星 , 則 可以使發(fā)射的電磁波訊號射線平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置 , 同樣能夠保證接收效果 。 最常見 的太陽 能熱

4、水 器也是 以拋 物線鏡面聚集太陽光加熱焦點處的貯水器的 。二 、 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明橢圓光學(xué)性質(zhì)的證明 。已知橢圓 x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0, 經(jīng)過右焦點 F 2的入射光線射到橢圓上的 點 P x, y 0, 證明 :反射 光線 經(jīng)過 左焦點 F 1(見 圖 1 。分析 :要想證明反射光線經(jīng)過 F 1, 只需要證 明直線 l 與 PF 1的夾角和與 PF 2的夾角相等即可 。 設(shè)直線 l 與 PF 1的 夾角為 ,直線 l 與 PF 2的夾角為 。 P l圖 1 由 2a 2+2b 2=1可得 2xa+2y ·y 'b=0y '

5、=-b 2a·x則直線 l 的斜率 k =-b 2a 2·xy 0tan =yx 0+c-k1+k ·x 0+c=y 0-k (x 0+c x 0+c +ky 0=-ck -(kx 0-y 000tan =k -y 0x -c1+k ·yx 0-c=k (x-c -yx 0-c +ky 0=-ck +(kx 0-y 0(x 0+ky 0 -c 由 k =-b 2a 2·xy 0可得 -ck =b 2ca 2·xy 0k x 0-y 0=-b 2x 2a 2y 0-y 0=-b2x 2+a 2y 2a 2y 0=-a 2b 2a 2y

6、0=-b 2y 0x 0+ky 0=x 0-b 2x 0a=c 2ax 0tan =2a 2·0y 0+2y 0c 2a 2x 0+c=2y 0a 2x 0+1 cca 2x 0+1=b 2·89·張永前 :圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及其應(yīng)用tan =b 2c a 2·x 0y 0-b 2y 02a 2x 0-c =b 2y 0c a2x 0-1 c c a2x 0-1 =b 2cy 0 所以 =, 故命題得證 。雙曲線光學(xué)性質(zhì)和拋物 線光學(xué) 性質(zhì)的 證明方 法同 橢圓性質(zhì)的證明方法 。通過以上問題轉(zhuǎn)化可知 , 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是 可以用 我們學(xué)過的知識證

7、明的 。三 、 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用1. 解決入射與反射問題例 1已知橢圓方程為 x 225y 2161, 若有光束自焦點 A (3,0 射出 , 經(jīng)二次反射回到 A 點 , 設(shè)二次反射點為 B , C , 如圖 2所示 , ABC 的周長為多少 ?圖 2解 : 橢圓方程x 225y 2161中 c 2=25-16=9 A (3, 0 為該橢 圓的一個焦點 自 A (3, 0 射出的光 線 AB 反射后 反射光 線 A C 定 過 另一個焦點 A (-3, 0故 A BC 的周長為AB +BA ' +A ' C +CA =4a =4×5=202. 在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用

8、例 2某種碟形太陽能熱水器 的外形示 意圖如 圖 3, 其 中 F 為加 熱點 , 碟 形反 射壁 是拋 物 線繞 對稱 軸 旋轉(zhuǎn) 而成 的 曲面 。 拋物線以 cm 為單 位的設(shè) 計尺 寸如圖 4, 為了達(dá) 到最 佳 加熱效果 , F 應(yīng)距碟底多遠(yuǎn) ?解 :以碟形內(nèi)壁底為原點 , 拋物線的對稱軸為 x 軸 , 開口 方向為 x 軸的正 向 , 建立坐 標(biāo)系如圖 4, 則 內(nèi)壁拋 物線方 程 為 y 2=2p x 。 據(jù)所示尺寸 , 拋物線過坐標(biāo)為 (40, 85 的點 , 所 以 852=2p 40=80p , p 90. 3。加熱點 F 應(yīng)置于拋 物線的 焦點 , 焦 點坐 標(biāo)為 (p2,

9、 0 (45. 2, 0 , 所以 F 應(yīng)距碟底約 45. 2cm 。圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是奇妙的 , 奇妙的背后蘊含著奇 妙 的數(shù)學(xué)關(guān)系 。 我們只要善于觀察 , 勤于鉆研 , 及時 總結(jié) , 就 能 閃現(xiàn)更多的靈感 , 在奧妙的數(shù)學(xué)世界里暢游 。責(zé)任編輯 :閱力 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)新課程理念的一點思考杜繼軍(大連市旅順口區(qū)大龍?zhí)列W(xué) , 遼寧 大連 116041 小學(xué)數(shù)學(xué)新一輪課改的核心是改變學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài) , 包 括三個方面 :一是情 感 。 對數(shù)學(xué) 的積極 感受 與自信 , 喜 歡數(shù) 學(xué) 。 二是學(xué) 習(xí)方式 。 動手 操作 、 自主 探索 、 合 作交流 。 三是 學(xué)生的知識形態(tài) 。 過

10、程的 知識 , 策略方 法的 知識 , 有應(yīng) 用價 值 、 終身有用的知識 。 為 達(dá)到這 一目的 , 就 必須改 革當(dāng) 前的 數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 。一 、 強(qiáng)化數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化強(qiáng)化數(shù)學(xué)教學(xué) 的生 活化 , 就 是 指教 師捕 捉 生活 中 的現(xiàn)象 , 聯(lián)系生活中的問題 , 創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活環(huán)境 、 知識背 景密切 相關(guān)的 、 又是學(xué)生感興趣的生活情境 , 達(dá)到生活材料數(shù)學(xué) 化 , 數(shù)學(xué)教學(xué)生活化 。首先利用學(xué)生生活經(jīng)驗 引出數(shù) 學(xué)問 題 、 解決數(shù) 學(xué)問 題 。 學(xué)生頭腦里積累 了許 多生 活經(jīng) 驗 , 教師 要充 分 利用 這 些經(jīng) 驗 , 引出數(shù)學(xué)問題 , 引起學(xué)習(xí)需要 , 從而使學(xué)生能夠積 極

11、主動 。 “ 年 、 月 、 日 ” 一 , 問 , 關(guān)于 “ 年 、 月 、 日 ” 你們 都知 道那 些 知識 ? 根據(jù) 學(xué)生 的 回 答 , 教 師讓學(xué)生小組合作利用年歷卡整理有關(guān) “ 年 、 月 、 日 ” 知 識 。 學(xué)生利用已有的生活常識 , 整理出有關(guān) “ 年 、 月 、 日 ” 的 知 識 , 學(xué)生不感到枯燥 , 興趣自然產(chǎn)生 。其次要返回生活天地 , 指導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)知識解決生活 中 的問題 ?！?長方 體和正方體的表面積和體積 ” 練習(xí) 課 , 教師 創(chuàng) 設(shè)一個購買魚缸的生 活情境 , 把調(diào) 查到三 種規(guī)格 的魚缸 (長 方體 、 正方體 、 一組對面 是正方 形的長 方體 展 示給學(xué) 生 , 讓 學(xué)生幫助教師參謀買哪種魚缸合適 。 學(xué)生想到了