第七章第三講：加乘原理綜合應(yīng)用.題庫版

1、知識框架圖7- 3-1簡單加乘原理綜合運用7計數(shù)綜合7-3加乘原理綜合 運用7-3-2加乘原理與數(shù)字問題7-3-3加乘原理與圖論知識要點一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況：在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要采用其中某一類中 的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加 法原理來解決.還有這樣的一種情況：就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方 法.要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決.二、加乘原理應(yīng)用應(yīng)用加法原理和乘法原理時要注意下面幾點：加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，

2、每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的 不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和.乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘 積.在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運用好這兩大原理,綜合分析，正確作出分類和分步.加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問 題可以使用加法原理解決我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”.的獨立步驟來完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互不影響“乘法分步，步步相關(guān)”.可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決

3、.我們可以簡記為:例題精講模塊一、簡單加乘原理綜合應(yīng)用2種水果糖：蘋果味、梨味、橙味.小明想買一些【例1】 商店里有2種巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有 糖送給他的小朋友.如果小明只買一種糖，他有幾種選法？2種巧克力糖中選一種如果小明想買水果糖、巧克力糖各1種，他有幾種選法？ （ 2級）【解析】小明只買一種糖，完成這件事一步即可完成，有兩類辦法：第一類是從有2種辦法；第二類是從3種水果糖中選一種，有 3種辦法.因此，小明有 2 3 5種選糖的方法.【例2】【解析】【例3】小明完成這件事要分兩步，每步分別有2種、3種方法，因此有3 2 6種方法.從北京到廣州可以選擇直達的飛機和火車，也可以選擇中途在

4、上?；蛘呶錆h作停留，已知北京到 上海、武漢和上海、武漢到廣州除了有飛機和火車兩種交通方式外還有汽車.問，從北京到廣州 一共有多少種交通方式供選擇？ （ 2級）從北京轉(zhuǎn)道上海到廣州一共有3 3 9種方法，從北京轉(zhuǎn)道武漢到廣州一共也有3 3 9種方法供選擇，從北京直接去廣州有 2種方法，所以一共有 9 9 220種方法.從學(xué)而思學(xué)校到王明家有3條路可走，從王明家到張老師家有2條路可走，從學(xué)而思學(xué)校到張老師家有3條路可走，那么從學(xué)而思學(xué)校到張老師家共有多少種走法？（2級）【解析】根據(jù)乘法原理，經(jīng)過王明家到張老師家的走法一共有3 2 6種方法，從學(xué)而思學(xué)校直接去張老師家一共有3條路可走，根據(jù)加法原理，

5、一共有 6 3 9種走法.【鞏固】如下圖，從甲地到乙地有 2條路，從乙地到丙地有 4條路，從甲地到丁地有 3條路可走，從丁地到丙地也有3條路，請問從甲地到丙地共有多少種不同走法？（2級）【解析】從甲地到丙地有兩種方法：第一類，從甲地經(jīng)過乙地到丙地，根據(jù)乘法原理，走法一共有 方法，；第二類，從甲地經(jīng)過丁地到丙地， 一共有3 3 9種方法.根據(jù)加法原理，一共有8 9 17種走法.【鞏固】王老師從重慶到南京，他可以乘飛機、汽車直接到達，也可以先到武漢，再由武漢到南京他從重 慶到武漢可乘船，也可乘火車；又從武漢到南京可以乘船、火車或者飛機，如圖.那么王老師從重 慶到南京有多少種不同走法呢？ （2級）【

6、解析】南京從重慶到南京的走法有兩類：第一類從重慶經(jīng)過武漢去南京，根據(jù)乘法原理，有2 3 6（種）走法;第二類不經(jīng)過武漢，有 2種走法.根據(jù)加法原理，從重慶到南京一共有2 6 8種不同走法.【例4】如下圖，八面體有 12條棱，6個頂點一只螞蟻從頂點 A出發(fā)，沿棱爬行，要求恰好經(jīng)過每一個頂點一次.問共有多少種不同的走法？（6級）【解析】E走完6個頂點，有5個步驟，可分為兩大類：第二次走C點：就是意味著從 A點出發(fā)，我們要先走 F , D , E , B中間的一點，再經(jīng)過 C點, 但之后只能走有 4 12 1第二次不走共計：8 32D , B點，最后選擇后面兩點.18種（從F到C的話，是不能到C :

7、有4 2 2 2 1 32種（同理, 40種.E的）；F不能到E ）;【例5】如果從3本不同的語文書、4本不同的數(shù)學(xué)書、那么共有多少種不同的選擇？（4級）5本不同的外語書中選取 2本不同學(xué)科的書閱讀,【解析】因為強調(diào)2本書來自不同的學(xué)科， 所以共有三種情況： 來自語文、數(shù)學(xué)：3X4=12;來自語文、外語:3X5= 15;來自數(shù)學(xué)、外語：4X5=20 ;所以共有 12+ 15+ 20=47.【例6】某條鐵路線上，包括起點和終點在內(nèi)原來共有7個車站，現(xiàn)在新增了 3個車站，鐵路上兩站之間往返的車票不一樣，那么，這樣需要增加多少種不同的車票？（6級）【解析】1、新站為起點，舊站為終點有3X7=21張，

8、2、舊站為起點，新站為終點有7X3= 21張，3、起點、終點均為新站有 3X2=6張，以上共有21 +21 + 6=48張.【例7】某件工作需要鉗工 2人和電工2人共同完成.現(xiàn)有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工、電工都會.從7人中挑選4人完成這項工作，共有多少種方法？ （6級）【解析】分兩類情況討論:都會的這1人被挑選中，則有: 如果這人做鉗工的話， 則再按乘法原理，先選一名鉗工有 3種方法，再選2名電工也有3種方法;所以有3 3 9種方法;同樣，這人做電工，也有 9種方法.都會的這一人沒有被挑選，則從3名鉗工中選2人，有3種方法；從3名電工中選2人，也有3種方法，一共有3 3 9種方法.所以

9、，根據(jù)加法原理，一共有9 9 9 27種方法.【例8】某信號兵用紅，黃，藍，綠四面旗中的三面從上到下掛在旗桿上的三個位置表示信號.每次可掛 一面，二面或三面，并且不同的順序，不同的位置表示不同的信號.一共可以表示出多少種不同 的信號？（ 6級）【解析】第一類第二類第三類第一類，可以從四種顏色中任選一種，有4種表示法;第二類，要分兩步完成：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，第【鞏固】【解析】面旗子可從剩下的三種中選一種，有3種選法.根據(jù)乘法原理，共有第三類，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有二面旗子可從剩下的三種中選一種，有3 12種表示法;4

10、種選法；第二步，第3種選法；第三步，第三面旗子可從剩下的兩種顏色中選一種，有2種選法.根據(jù)乘法原理，共有 4 3 2 24種表示法.根據(jù)加法原理，一共可以表示出4 12 24 40種不同的信號.五面五種顏色的小旗，任意取出一面、兩面或三面排成一行表示各種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？ （ 6級）分3種情況:由于每次可掛一面、二面或三面旗子，我們可以根據(jù)旗桿上旗子的面數(shù)分三類考慮:取出一面，有 5種信號;取出兩面：可以表示 5 420種信號;【例9】【解析】取出三面：可以表示：5由加法原理，一共可以表示:五種顏色不同的信號旗，各有少種不同的信號？ （6級）方法一：取出的一種顏色:兩種顏色

11、:三種顏色:3 60種信號;5 20 60 85種信號.5面，任意取出三面排成一行，表示一種信號，問：共可以表示多3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進行分類5種可能;(5 43 6060所以，一共可以表示 560 60 125種不同的信號方法二：每一個位置都有5種顏色可選，所以共有 5 5 5 125種.【鞏固】6級)【解析】（一）取出的3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進行分類第一類，一種顏色:都是藍色的或者都是白色的,2種可能;第二類，兩種顏色:(4 3) 3 36第三類，三種顏色:4 3 2 24所以，根據(jù)加法原理,一共可以表示 2 36 2462種不

12、同的信號.紅、黃、藍、白四種顏色不同的小旗，各有2, 2, 3, 3面，任意取出三面按順序排成一行，表示種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？如果白旗不能打頭又有多少種？（62 16 46 種.（二）白棋打頭的信號，后兩面旗有4 4 16種情況所以白棋不打頭的信號有【例10】（2008年清華附中考題）小紅和小明舉行象棋比賽，按比賽規(guī)定，誰先勝頭兩局誰贏，如果沒有勝頭兩局，誰先勝三局誰贏共有 種可能的情況.（6級）【解析】小紅和小明如果有誰勝了頭兩局，則勝者贏，此時共2種情況；如果沒有人勝頭兩局，即頭兩局中兩人各勝一局，則最少再進行兩局、最多再進行三局，必有一人勝三局，如果只需再進行兩局，則

13、這兩局的勝者為同一人，對此共有2 2 4種情況；如果還需進行三局，則后三局中有一人勝兩局，另一人只勝一局，且這一局不能為最后一局，只能為第三局或第四局，此時共有2 2 2 8種情況,所以共有2 4 8 14種情況.7件不同的禮物，要送給親【例11】（2009年“數(shù)學(xué)解題能力展示”中年級復(fù)賽試題）過年了，媽媽買了件禮物中任選 3件，有60種方法；若遙控車既60種方法所以共有朋好友的5個孩子每人一件其中姐姐的兒子小強想從智力拼圖和遙控汽車中選一個，朋友的女 兒小玉想從學(xué)習(xí)機和遙控汽車中選一件那么，媽媽送出這5件禮物共有種方法.（6級）3個孩子在剩余【解析】若將遙控汽車給小強，則學(xué)習(xí)機要給小玉，此時

14、另外5 4 3 60種方法；若將遙控車給小玉，則智力拼圖要給小強，此時也有 不給小強、也不給小玉，則智力拼圖要給小強，學(xué)習(xí)機要給小玉，此時仍然有60 60 60 180 種方法.【例12】有3所學(xué)校共訂300份中國少年報，每所學(xué)校訂了至少98份，至多102份.同的訂法？（ 6級）【解析】可以分三種情況來考慮：3所學(xué)校訂的報紙數(shù)量互不相同，有98, 100, 102; 99, 100, 101兩種組合，12種訂法.2所相同，有98, 101 , 101 ; 99, 99, 102兩種組合，每種組各有 3種 6種訂法.問：一共有多少種不每種組各有P336種不同的排列，此時有 6 2 3所學(xué)校訂的報

15、紙數(shù)量有 不同的排列，此時有 3 2100, 100, 100 一種訂法.6 1 19 種.3所學(xué)校訂的報紙數(shù)量都相同，只有由加法原理，不同的訂法一共有123 81（種）.但上述81種涂法中，有些涂法屬于重復(fù)計算，這是【例13】玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共4節(jié)，種顏色不同的玩具棒.（8級）【解析】每節(jié)有3種涂法，共有涂法3 3 3用紅、黃、藍三種顏色給每節(jié)涂色.這家廠共可生產(chǎn)因為有些游戲棒倒過來放時的顏色與順著放時的顏色一樣，卻被我們當(dāng)做兩種顏色計算了兩次. 可以發(fā)現(xiàn)只有游戲棒的顏色關(guān)于中點對稱時才沒有被重復(fù)計算，關(guān)于中點對稱的游戲棒有3 3 11 9（種）.故玩具棒最多有（81 9） 245種不

16、同的顏色.【例14】奧蘇旺大陸上的居民使用的文字非常獨特，他們文字的每個單詞都由 5個字母a、b、c、d、e組成，并且所有的單詞都有著如下的規(guī)律，字母e不打頭，單詞中每個字母 a后邊必然緊跟著字母b，c和d不會出現(xiàn)在同一個字母之中，那么由四個字母構(gòu)成的單詞一共有多少種？ （8級）【解析】分為三種:第一種：有兩個 a的情況只有abab 1種第二種，有一個a的情況，又分3類第一類，在第一個位置，則b在第二個位置,后邊的排列有4 4 16種，減去c、d同時出現(xiàn)的兩種，總共有14種,第二類，在第二個位置，則b在第三個位置,總共有 3 42 10 種.第三類，在第三個位置，則b在第四個位置,總共有 3

17、42 10 種.第三種，沒有a的情況：分別計算沒有c的情況:23 3 3 54 種.沒有 d 的情況： 2 3 3 3 54 種.沒有c、d的情況：1 2 2 2 8種.由容斥原理得到一共有 54 54 8 100 種.所以，根據(jù)加法原理，一共有 1 14 10 10 100 135種例 15 】 從 6 名運動員中選出 4 人參加 4 100 接力賽，求滿足下列條件的參賽方案各有多少種： 甲不能跑第一棒和第四棒；5 種選擇，第四棒有 4 種選擇，剩下的甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒（6級）解析】 先確定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有四人中隨意選擇 2 個人跑第二、第三棒，有 4

18、 3 12種，由乘法原理，共有：5 4 12 240種參賽方案 先不考慮甲乙的特殊要求， 從 6名隊員中隨意選擇 4人參賽， 有6 5 4 3 360種選擇 .考慮若甲跑第一棒，其余 5 人隨意選擇 3 人參賽，對應(yīng) 5 4 3 60 種選擇，考慮若乙跑第二棒，也對應(yīng)5 4 3 60種選擇，但是從 360種中減去兩個 60種的時候，重復(fù)減了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情況， 這種情況下， 對應(yīng)于第一棒第二棒已確定只需從剩下的 4 人選擇 2 人參賽的 4 3 12種方案，所以，一共有 360 60 2 12 252種不同參賽方案模塊二、加乘原理與數(shù)字問題例 16 】由數(shù)字 1， 2， 3 可以

19、組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)？（ 4 級）解析】 因 為有 1， 2， 3 共 3 個數(shù)字，因此組成的數(shù)有 3 類：組成一位數(shù)；組成二位數(shù)；組成三位數(shù)它們的和就是問題所求3 種方法；組成一位數(shù)：有 3個;組成二位數(shù)：由于數(shù)字可以重復(fù)使用，組成二位數(shù)分兩步完成；第一步排十位數(shù)，有第二步排個位數(shù)也有 3 種方法，因此由乘法原理，有 3 2 6 個；組成三位數(shù)：與組成二位數(shù)道理相同，有3 2 6個三位數(shù);所以，根據(jù)加法原理，一共可組成 3 6 6 15 個數(shù)例 17】 由數(shù)字 0， 1， 3， 9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？（ 6級）解析】滿 足條件的數(shù)可以分為 4 類：一位、二位、三位、四位數(shù)

20、第一類，組成 0 和一位數(shù)，有 4 個（ 0不是一位數(shù)，最小的一位數(shù)是1）；鞏固】解析】鞏固】解析】第二類，第三類，組成二位數(shù)，有組成三位數(shù)，有第四類，組成四位數(shù)，有由加法原理，一共可以組成9個；18個;1 18 個18 18 49 個數(shù)用數(shù)字 0，1，2，3，4可以組成多少個小于 1000的自然數(shù)？（ 6級）小于 1000的自然數(shù)有三類第一類是 0和一位數(shù)，有 5個；第二類是兩位數(shù)，有 4 5 20個；第三類是三位數(shù)，有 4 5用數(shù)碼 0，1，2， 3，分 為三類， 一位數(shù)時，5 100 個，共有 5 20 100 125 個4，可以組成多少個小于 1000的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？（ 6級）

21、0 和一位數(shù)共有 5 個；二位數(shù)時，為 4 4 16 個，三位數(shù)時， 為： 4 4 3 48個，由加法原理，一共可以組成 5 16 48 69 個小于1000 的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)【例18】用09這十個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).6 級）解析】 無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的千位、 百位、十位、個位的限制條件： 千位上不能排 0，或說千位上只能排 19 這九個數(shù)字中的一個 .而且其他位置上數(shù)碼都不相同，下面分別介紹三種解法.（方法一）分兩步完成：第一步：從 1 9 這九個數(shù)中任選一個占據(jù)千位，有 9 種方法；第二步：從余下的 9 個數(shù)（包括數(shù)字 0）中任選 3 個占據(jù)百位、十位、個位，百位有9

22、 種 .十位有 8種，個位有 7 種方法；由乘法原理，共有滿足條件的四位數(shù)9X9 X8X7=4536 個.方法二）組成的四位數(shù)分為兩類：第一類：不含 0的四位數(shù)有9X8X7X6=3024個;第二類：含0的四位數(shù)的組成分為兩步：第一步讓0占一個位有3種占法，（讓0占位只能在百、十、個位上，所以有3種）第二步讓其余9個數(shù)占位有9X8X7種占法.所以含0的四位數(shù)有3X9X8X7=1512個.由加法原理，共有滿足條件的四位數(shù)3024+ 1512=4536 個.【鞏固】 用0, 1, 2, 3四個數(shù)碼可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（6級)【解析】分為兩類：個位數(shù)字為 0的有3 2 6個，個位數(shù)字

23、為 2的有22 4個，由加法原理，一共有:6 4 10個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).【例19】在2000到2999這1000個自然數(shù)中，有多少個千位、百位、十位、 （6級）個位數(shù)字中恰有兩個相同的數(shù)?【解析】若相同的數(shù)是2,則另一個2可以出現(xiàn)在個、十、百位中的任一個位置上，剩下的兩個位置分別有個和8個數(shù)可選,有 3X9X8=216 （個）；若相同的數(shù)是1,有3X8= 24 （個）；同理，相同的數(shù)是 0,3, 4, 5, 6, 7,8 , 9時，各有24個，所以，符合題意的數(shù)共有216 + 9 X24= 432 （個）.【例20】在1000至1999這些自然數(shù)中個位數(shù)大于百位數(shù)的有多少個？ （6級）

24、【解析】（方法一）解決計數(shù)問題常用分類討論的方法.設(shè)在1000至1999這些自然數(shù)中滿足條件的數(shù)為1abc（其中c a）; （1）當(dāng)a 0時，c可取19中的任一個數(shù)字，b可取09中的任一個數(shù)字，于是一 共有9 10 90個.（2）當(dāng)a 1時，c可取29中的任一個數(shù)字，b仍可取09中的任一個數(shù)字， 于是一共有8 10 80個.（3）類似地，當(dāng)a依次取2, 3, 4, 5, 6, 7, 8時分別有70, 60, 50, 40, 30, 20, 10個符合條件的自然數(shù)所以，符合條件的自然數(shù)有90 80 70 III 20 10 450個.（方法二）1000至1999這1000個自然數(shù)中，每10個中有

25、一個個位數(shù)等于百位數(shù)，共有100個；剩余的數(shù)中，根據(jù)對稱性，個位數(shù)大于百位數(shù)的和百位數(shù)大于個位數(shù)的一樣多，所以總數(shù)為(1000 100)2450 個.【例21】某人忘記了自己的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是9 為確保打開保險柜至少要試多少次？（6級）【解析】四個非0數(shù)碼之和等于9的組合有1, 1 , 1, 6; 1, 1 , 2, 5; 1, 1 , 3, 4; 1 , 2, 2, 4; 1, 2, 3 ,3; 2, 2 , 2 , 3 六種.第一種中，只要考慮 6的位置即可，6可以隨意選擇四個位置，其余位置方 1 ,共有4種選擇.第二種中，先考慮放2,有4種選擇，再考

26、慮5的位置，有3種選擇，剩下的位置放 1共有4X3=12種選擇，同理，第三、第四、第五種都有12種選擇,最后一種與第一種相似, 3 的位置有四種選擇,其余位置放 2,共有 4種選擇 .由加法原理,一共可以組成 4+12+12+12+12+4= 56個不同的四位數(shù),即為確保打開保險柜至少要試 56 次.例 22 】從 1到 100 的所有自然數(shù)中,不含有數(shù)字4 的自然數(shù)有多少個 ? （ 6 級）解析】從 1到 100 的所有自然數(shù)可分為三大類,即一位數(shù),兩位數(shù),三位數(shù)一位數(shù)中,不含 4的有 8 個,它們是 1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中,不含 4 的可以這樣考慮：十位上,不含 4 的有

27、 l、2、3、5、6、7、8、9 這八種情況鞏固】解析】位上,不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 這九種情況,要確定一個兩位數(shù),再取個位數(shù),應(yīng)用乘法原理,這時共有 8 9 72個數(shù)不含 4.三位數(shù)只有 100所以一共有 8 8 9 1 81個不含 4 的自然數(shù)從 1 到 500的所有自然數(shù)中,不含有數(shù)字 4的自然數(shù)有多少個 ? （6級）從 1到 500 的所有自然數(shù)可分為三大類,即一位數(shù),兩位數(shù),三位數(shù)一位數(shù)中,不含 4的有 8 個,它們是 1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中,不含 4的可以這樣考慮：十位上,不含 4 的有 l、2、3、5、6、7、位上,不含 4 的有 0

28、、1、2、3、5、6、7、8、9 這九種情況,要確定一個兩位數(shù),再取個位數(shù),應(yīng)用乘法原理,這時共有8X9=72 個數(shù)不含 4.三位數(shù)中, 小于 500 并且不含數(shù)字 4的可以這樣考慮： 百位上, 不含 4 的有 1、可以先取十位數(shù),8、 9 這八種情況可以先取十位數(shù),2、3、這三種情況位上,不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 這九種情況,個位上,不含 4 的也有九種情況要確定一個三位數(shù),可以先取百位數(shù),再取十位數(shù),最后取個位數(shù),應(yīng)用乘法原理,這時共有3 9 9 243個三位數(shù).由于 500也是一個不含 4的三位數(shù).所以，1500中，不含4的三位數(shù)共有 3 9 9 1 244 個

29、所以一共有 8 8 9 3 9 9 1 324個不含 4 的自然數(shù)鞏固】 從 1 到 300的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的自然數(shù)有多少個 ? （6 級）解析】 從 1 到 300 的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含 2的有 8 個，它們是 1、3、4、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含 2的可以這樣考慮：十位上，不含2的有 1、3、4、5、6、7、8、9 這八種情況個位上，不含 2的有 0、1、3、4、5、6、7、8、9 這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時共有 8 9 72個數(shù)不含 2；三位數(shù)中，除去 300 外，百位數(shù)只

30、有 1 一種取法，十位與個位均有 0，1， 3，4，5，6，7，8，9 九種取法，根據(jù)乘法原理，不含數(shù)字 2 的三位數(shù)有： 1 9 9 81個，還要加上 300；根據(jù)加法原理，從 1 到 300 的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字 2 的自然數(shù)一共有 872 82 162 個例 23 】由數(shù)字 0、2、 8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列， 個【2008 年第二屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請賽】2008 排在第解析】比 2008小的 4位數(shù)有 2000和 2002 ，比 2008小的 3位數(shù)有 2 3 32 3 6（種），比 2008小的1位數(shù)有 2（種），所以 20

31、08排在第 2鞏固】從分別寫有 2、4、6、8 的四張卡片中任取兩張，做兩個一位數(shù)乘法 么共有多少種不同的乘積？（ 6 級）解析】8 級）18 （種），18 6 2比 2008小的 2 位數(shù)有29（個）. 如果其中的6 可以看成 9 ，那取 2有8、12、16、18四種，取 4增加 24、32、36三種，取 6增加 48、 72兩種，一共有 9 種例 24 】自然數(shù) 8336， 8545， 8782 有一些共同特征，每個數(shù)都是以 8開頭的四位數(shù)，且每個數(shù)中恰好有兩 個數(shù)字相同這樣的數(shù)共有多少個？（ 6 級）解析】 兩個相同的數(shù)字是 8時，另一個 8有 3個位置可選，其余兩個位置有 9 8 72

32、種填法，有 3 9 8 216個數(shù)； 兩個相同的數(shù)字不是 8 時，相同的數(shù)字有 9 種選法，不同的數(shù)字有 8 種選法，并有 3 個位置可放，有 9 8 3 216 個數(shù)由加法原理，共有 3 9 8 9 8 3 432 個數(shù)鞏固】 在 1000 到 1999 這 1000 個自然數(shù)中， 有多少個千位、 百位、 十位、 個位數(shù)字中恰有兩個相同的數(shù)？（6級）【解析】 若相同的數(shù)是1，則另一個1可以出現(xiàn)在個、十、百位中的任一個位置上，剩下的兩個位置分別有個和8個數(shù)可選，有3 9 8 216個；若相同的數(shù)是2,有3X8 = 24個；同理，相同的數(shù)是0, 3,4,5, 6, 7, 8, 9時，各有24個，

33、所以，符合題意的數(shù)共有216 9 24 432個【例25】如果一個三位數(shù) ABC滿足A B , B C，那么把這個三位數(shù)稱為“凹數(shù)”，求所有“凹數(shù)”的個數(shù).（8級）【解析】當(dāng)B為0時，A、C可以為19中的任何一個，此時有 中的任何一個，此時有 8 8種；當(dāng)B為8時，有1111 1 1- 9 10 19285（個）.M 69 9種；當(dāng)B為1時，A、C可以為291種；所以共有【例26】用數(shù)字1, 2組成一個八位數(shù)，其中至少連續(xù)四位都是【解析】將4個1看成一個整體，其余 4個數(shù)有5種情況：4個2、4個2時，的有多少個？ （ 6級）3個2、2個2、1個2和沒有2;3個2時，3個2和1個1共有4種排法，

34、每一-種排法有4種插法，共有4416種;2個2時，2個2和2個1共有6種排法，每-種排法有3種插法，共有6318種;1個2時，1個2和3個1共有4種排法，每一-種排法有2種插法，共有428種；4個1可以有5種插法;沒有2時， 所以，總共有： 答：至少連續(xù)四位都是只有1種；5 16 18 8 1 48 個.1的有48個.6級）【例27】 七位數(shù)的各位數(shù)字之和為60，這樣的七位數(shù)一共有多少個？【解析】七位數(shù)數(shù)字之和最多可以為9 7 63. 63 60 3.七位數(shù)的可能數(shù)字組合為: 9, 9, 9, 9, 9, 9,第一種情況只需要確定 9, 9, 9, 9, 9, 8 ,第二種情況只需要確定可以組

35、成的 9 , 9 , 9 ,第三種情況，三個相同的6.6的位置即可.所以有 6種情況.7.8和7的位置，數(shù)字即確定.8有7個位置，7有6個位置.所以第二種情況7位數(shù)有7 6 42個.9, 8, 8, 8,3個8的位置確定即7位數(shù)也確定.三個 8的位置放置共有7 6 5 210種. 8放置會產(chǎn)生3 2 16種重復(fù)的放置方式.所以3個8和4個9組成的不同的七位數(shù)共有 210 635種.所以數(shù)字和為60的七位數(shù)共有35 42 784.4整除，有多少種取法？ （6級）【例28】從自然數(shù)140中任意選取兩個數(shù)，使得所選取的兩個數(shù)的和能被 【解析】2個數(shù)的和能被4整除，可以根據(jù)被 4除的余數(shù)分為兩類:第一

36、類：余數(shù)分別為 0, 0. 140中能被4整除的數(shù)共有40 4 10 （個）,10個中選2個，有10 9 245 （種）取法;第二類：余數(shù)分別為1,3. 140中被4除余1,余3的數(shù)也分別都有10個，有10 10 100 （種）取法;第三類：余數(shù)分別為2,2 .同第一類，有45種取法.根據(jù)加法原理，共有45100 45 190 （種）取法.【例29】在1100的自然數(shù)中取出兩個不同的數(shù)相加，其和是3的倍數(shù)的共有多少種不同的取法？ （6級）【解析】將1100按照除以3的余數(shù)分為3類：第一類，余數(shù)為 1的有1, 4, 7,100, 共有34個；第二類，余數(shù)為2的一共有33個；第三類，可以被 3整除

37、的一共有33個.取出兩個不同的數(shù)其和是3的倍數(shù)只有兩種情況：第一種，從第一、二類中各取一個數(shù)，有34 33 1122種取法；第二種,從第三類中取兩個數(shù)，有 33 32 2 528種取法.根據(jù)加法原理，不同取法共有：1122 528 1650種.【鞏固】在110這10個自然數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)，使它們的和是法？ （ 6級）3的倍數(shù)，共有多少種不同的取【解析】兩個數(shù)的和是3的倍數(shù)有兩種情況，或者兩個數(shù)都是3的倍數(shù)，或有1個除以3余1,另一個除以3余2. 110中能被3整除的有3個數(shù)，取兩個有3種取法；除以3余1的有4個數(shù)，除以3余2的【鞏固】【解析】【鞏固】【解析】有3個數(shù)，各取1個有3 4

38、 12種取法根據(jù)加法原理，共有取法:在110這10個自然數(shù)中，每次取出三個不同的數(shù)，使它們的和是 （6級）三個不同的數(shù)和為 3的倍數(shù)有四種情況：三個數(shù)同余1,三個數(shù)同余2余0的數(shù)各有1個，四類情況分別有4種、1種、1種、4種.從7, 8, 9,76, 77這71個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù), 級）兩個數(shù)和為3的倍數(shù)情況有兩種：兩個被 3整除的數(shù)和是3 12 15 種.3的倍數(shù)有多少種不同的取法?2,三個數(shù)都被3整除，余1余3 3 36種，所以一共有4 1 1 36 42使其和為3的倍數(shù)的選法總數(shù)是多少？（ 63的倍數(shù)，一個被 3除余1的數(shù)和一個被3除余2的數(shù)相加也能被3整除這71個數(shù)中被3整除，被

39、3除余1，被3除余2的數(shù)分別有23、24、3整除的數(shù)的方法有24個，選取兩個數(shù)只要是符合之前所說的兩種情況就可以了，選取兩個被 23 22 （2 1 253種，從被3除余1和被3除余2的數(shù)中各取1個的方法共有24 24 576種，所以一共有253 576 829種選取方法.【鞏固】 從這些數(shù)中選取兩個數(shù)，使其和被 3除余1的選取方法有多少種？被 3除余2的選取方法有多少種? （6級）【解析】 兩個數(shù)的和被3除余1的情況有兩種：兩個被3除余2的數(shù)相加，和一個被3整除的數(shù)和一個被 3除余1的數(shù)相加，所以選取方法有24 23 （2124 23828 種.同樣的也可以求出被 3除余2的選取方法有242

40、3 (2 1)24 23828 種.【例30】1到60這60個自然數(shù)中，選取兩個數(shù)，使它們的乘積是被 法？ （ 6級）5除余2的偶數(shù)，問，一共有多少種選【解析】兩個數(shù)的乘積被5除余2有兩類情況，一類是兩個數(shù)被5除分別余1和2,另一類是兩個數(shù)被5除【例31【解析】分別余3和4,除余1、2、3、方式一共有（6只要兩個乘數(shù)中有一個是偶數(shù)就能使乘積也為偶數(shù) 1到60這60個自然數(shù)中，被54的偶數(shù)各有6個，被5除余1、2、3、4的奇數(shù)也各有6個，所以符合條件的選取6 6 6 6 6 6 6(6 6 6 6)216 種.】一個自然數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個數(shù)為“回文數(shù)”202都是回文

41、數(shù)，而 220則不是回文數(shù)問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個 個數(shù)是多少？（ 6級）我們將回文數(shù)分為一位、二位、三位、六位來逐組計算.所有的一位數(shù)均是“回文數(shù)”，即有9 個;在二位數(shù)中，必須為aa形式的，即有9個（因為首位不能為0,下同）；在三位數(shù)中，必須為aba （a、b可相同,在本題中，不同的字母代表的數(shù)可以相同在四位數(shù)中，必須為abba形式的，即有9X10 個;.例如 1331，7，?其中的第1996）形式的，即有9在五位數(shù)中，必須為abcba形式的，即有9X10X10= 900 個;在六位數(shù)中，必須為 abccba形式的，即有9x10x10= 900個.所以共有 9 + 9 + 90

42、 + 90 + 900 + 900 = 1998個，最大的為999999，其次為998899,再次為997799.而第1996個數(shù)為倒數(shù)第3個數(shù)，即為997799.所以，從一位到六位的回文數(shù)一共有1998個，其中的第1996個數(shù)是997799.【例32】如圖，將1, 2, 3,4, 5分別填入圖中1 5的格子中，要求填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大.共有種不同的填法.【走進美妙數(shù)學(xué)花園少年數(shù)學(xué)邀請賽】（6級）【解析】因為要求“填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大”，所以填入黑格中的數(shù)不能夠太小，否則就不滿足條件通過枚舉法可知填入黑格里的數(shù)只有兩類：第一類，填在黑格里的數(shù)是5和4;第二類,填在黑

43、格里的數(shù)是 5和3 .接下來就根據(jù)這兩類進行計數(shù):第一類，填在黑格里的數(shù)是 5和4時，分為以下幾步：第一步，第一個黑格可從5和4中任選一個,有2種選法；第二步，第二個黑格可從5和4中剩下的一個數(shù)選擇，只有1種選法；第三步，第一個白格可從1 , 2, 3中任意選一個，有 3種選法第四步，第二個白格從1, 2, 3剩下的兩個數(shù)中任選一個，有2種選法；第五步，最后一個白格只有1種選法.根據(jù)乘法原理，一共有(2 1) (3 2 1) 12 種.第二類，填在黑格里的數(shù)是 5和3時，黑格中有兩種填法，此時白格也有兩種填法，根據(jù)乘法原理,不同的填法有2 24種.所以，根據(jù)加法原理，不同的填法共有12 4 1

44、6種.【鞏固】在如圖所示1X 5的格子中填入1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8中的五個數(shù)，要求填入的數(shù)各不相同，并且填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大.共有 種不同的填法.（6級）【解析】如果取出來的五個數(shù)是 1、2、3、4、5,則共有不同填法 16種.從8個數(shù)中選出5個數(shù)，共有8X7X6十（3X2X1）= 56中選法，所以共 16 X56=896種.【例33】從112中選出7個自然數(shù)，要求選出的數(shù)中不存在某個自然數(shù)是另一個自然數(shù)的 共有種選法.(6級)【解析】由于要求選出的數(shù)中不存在某個自然數(shù)是另一個自然數(shù)的2倍，那么一2倍，可以先根據(jù) 2倍關(guān)系將112進行如下分組：(1, 2,

45、 4, 8) ; (3, 4, 12) ; (5, 10) ; (7) ; (9) ; (11) 由于第一組最多可選出2個數(shù)，第二組最多可選出2個數(shù)，其余四組最多各可選出1個數(shù)，所以最多可選出8個數(shù)現(xiàn)在要求選出 7個數(shù)， 如果是第一組少一個，也就是說第一組選4 12 1118種選法；如果是第二組少一個，也就是說第一組選據(jù)乘法原理，有3 3 2 1 1 118種選法；如果是第三組少一個，也就是說第一組選有3 111113種選法；如果是第四、五、六組中的某一組少一個，由于這三組地位相同，所以各有選法.根據(jù)加法原理，共有 8 18 3 6 3 47種不同的選法.所以恰好有一組選出的數(shù)比它最多可選出的

46、數(shù)少一個.1個，第二組選 2個，其余四組各選 1個，此時有2個，其余五組各選一個，此時第一組有3種選法，根2個，第二組選2個，第三組不選，其余三組各選 1個,3 12 1116 種(6級)1到999中的一位數(shù)和兩001到999中各位數(shù)字之和【例34】從1到999這999個自然數(shù)中有【解析】由于在一個數(shù)的前面寫上幾個位數(shù)的前面補上兩個或一個能被4整除的數(shù)的個數(shù).一個數(shù)除以4的余數(shù)可能為除以4余2和3的各有2個.三個數(shù)的和要能被 4整除，必須要求它們除以4的余數(shù)的和能被 4整除，余數(shù)的情況有如下0 0 0; 0 1 3; 0 2 2; 1 1 2 ; 2 3 3.如果是0 0 0,即3個數(shù)除以4的

47、余數(shù)都是0,則每位上都有 3種選擇，共有3 3 3能,但是注意到其中也包含了000這個數(shù)，應(yīng)予排除，所以此時共有27 1 26個；如果是0個數(shù)的各位數(shù)字之和能被 4整除.0不影響這個數(shù)的各位數(shù)字之和，所以可以將0，使之成為一個三位數(shù)現(xiàn)在相當(dāng)于要求0,1 , 2, 3, 09中除以4余0的數(shù)有3個，除以4余1的也有3個,5種:27種可以此時有3如果是0有3 2 2如果是1如果是23，即3個數(shù)除以2 6 108 個；2，即3個數(shù)除以36個；2，即3個數(shù)除以54個；3，即3個數(shù)除以4的余數(shù)分別為4的余數(shù)分別為4的余數(shù)分別為4的余數(shù)分別為0,1,3,2,1,2,而在3個位置上的排列有3!6種，所在3個

48、位置上的排列有3種，所以此時在3個位置上的排列有 3種，所以此時2, 3, 3,在3個位置上的排列有3種，此時有24個.根據(jù)加法原理，共有 26 108 36【鞏固】從10到4999這4990個自然數(shù)中，【解析】分段計算：在10004999這4000個數(shù)中，數(shù)字和被 4除余在200999這800個數(shù)中，數(shù)字和被 4除余0、其數(shù)字和能被4整除的數(shù)有多少個？ (6級)0、1、2、3的各有1000個;1、2、3的各有200個；54 24 248 在2099、120199這160個數(shù)中，數(shù)字和被 4除余0、1、2、3的各有40個;此外，1019、100119種分別有2個和4個被4整除, 所以，共有 1

49、000 200 40 6 1246 個鞏固】從 1 到 3998 這 3998 個自然數(shù)中，又多少個數(shù)的各位數(shù)字之和能被 解析】從 0到 999共有 1000個數(shù)，它們除以 4的余數(shù)為 0， 1， 2， 3，上對應(yīng)的 0， 1， 2， 3，都能被 4整除，所以答案為 1000個4 整除？（ 6 級）這樣，這 1000 個數(shù)每一個加上千位例 35 】 有兩個不完全一樣的正方體，每個正方體的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？（1 、 2、 3、 4、 5、 6將兩個正6 級）解析】要使兩個數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個數(shù)字要么同為奇數(shù)

50、，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮第一類，兩個數(shù)字同為奇數(shù)由于放兩個正方體可認(rèn)為是一個一個地放放第一個正方體時，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能， 即 1 ， 3， 5；放第二個正方體， 出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能， 由乘法原理，這時共有 3 3 9鞏固】解析】種不同的情形第二類，兩個數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有3 3 9種不同情形最后再由加法原理即可求解 兩個正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有 3 33 3 18 種不同的情形有兩個不完全一樣的正方體，每個正方體的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為奇數(shù)的有多少種情形？（1 、 2、 3、 4、6 級）5、6將兩個正方要使兩個

51、數(shù)字之和為奇數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性不同，即這兩個數(shù)字一個為奇數(shù)，另一個為偶數(shù)，由于放兩個正方體可認(rèn)為是一個一個地放放第一個正方體時，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個正方體，出現(xiàn)偶數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時共有3 3 9 種不同的情形例 36 】有兩個骰子，每個骰子的六個面分別有 1、 2、 3、 4、 5、 6 個點隨意擲這兩個骰子，向上一面點 數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？（ 6 級）解析】 方 法一：要使兩個骰子的點數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個點數(shù)的奇偶性相同，可以分為兩步：二個骰子的點數(shù)只能是與第一個骰子的點數(shù)相同奇偶性的3 種可能的點數(shù)根據(jù)乘法原理，向上一面的點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有6 3 18 （種）方法二：要使兩個骰子點數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個點數(shù)的奇偶性相同，所以，可以分為兩類：第一步第一個骰子隨意擲有 6 種可能的點數(shù)；第二步當(dāng)?shù)谝粋€骰子的點數(shù)確定了以后，第第一類：兩個數(shù)字同為奇數(shù)有 3 3 9 （種）不同的情形第二類：兩個數(shù)字同為偶數(shù)類似第一類，也有 3 3 9 （種）不同的情形根據(jù)加法原理，向上一面點數(shù)之和為偶數(shù)的情形共有9 9 18 （種）解析】對于 3 個骰子的情況，情況比較復(fù)雜，點數(shù)和的取值范圍是3 到 18 ，其中點數(shù)和為3到 8的情況的方法三：隨意擲