(全)基本不等式應(yīng)用-利用基本不等式求最值的技巧-題型分析

1、一.基本不等式基本不等式應(yīng)用1. (1)若 a,b R，則 a2 b2 2ab (2)若a,bR，則 ab2 .2a b (當(dāng)且僅當(dāng)a2b時取“二”）,» *2.右a,b R ,則若a,bR，則 a b2jab （當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”)若a,b R ,則ab2b2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”)3.若X0，則X若X0，則3.若 ab0，則xx1x當(dāng)且僅當(dāng)x 1時取“=”）；若x 0,則x1時取“=”)若ab（當(dāng)且僅當(dāng)1_2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時取“=”）xa b時取“=”)-2（當(dāng)且僅當(dāng)a b時取“=”）a2 b （當(dāng)且僅當(dāng)2二）22注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值

2、，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的 積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、應(yīng)用一：求最值例1 :求下列函數(shù)的值域1（1） y= 3x 2+ 衣4.若 a,bb時取“=”)比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用.(2) y=x+ x1解：(1) y = 3x 2 + 2x-2值域為U6 ,+m)(2)當(dāng) x>0 時，y= X+ - >2寸X 1 = 2;1當(dāng) XV 0 時，y= x+ -=（ x值域為（s,解題技巧： 技巧一：湊項1X-x)w-2 U 2 , +s)1X = -

3、2例1 ：已知xI，求函數(shù)y4x 2 的最大值。4x 5解：因4x0,所以首先要“調(diào)整”符號，又（4x不是常數(shù)，所以對4x 2要進(jìn)行拆、湊項,Qx4x 0， y4x 2154x 52)g 4x 54x 亠 32 3 15 4x1，即x 1時， 5 4x評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)4x上式等號成立,故當(dāng)X 1 時，ymax 1。例1.當(dāng)0 5 7 4時，求y x(82x)的最大值。解析：由0 < J <4知，S- 2工> 0|,利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子 積的形式，但其和不是定值。注意到2x

4、 (8 2x) 8為定值，故只需將y x(8 2x)湊上一個系數(shù)即可。2、 2 丿 當(dāng)x= 2時，y x(82x)的最大值為8。但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。=-2x' (3-2t) <-(當(dāng)2x = ；8；-2x,g卩x= 2時取等號 評注：本題無法直接運用基本不等式求解，-，求函數(shù)y2變式：設(shè)04x(32x)的最大值。解： 02x0 y2x 3 2x4x(3 2x)2 2x(3 2x)2；當(dāng)且僅當(dāng)2x32x,即 x30,3時等號成立。2技巧三：分離x2例3.求y 7x 10,(xx 1解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(十上一

5、+ 5 "11)的值域。X+1)的項，再將其分離。"dj.QlfZ)十仁”) r +1'k + 1當(dāng) A > -11,即 X+ 1 > OH, y 2 (x 1) -4-Nx 19 (當(dāng)且僅當(dāng)x= 1時取“=”號)。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元,4tt=x+ 1，化簡原式在分離求最值。2 2(t 1)7(t 1)+10 _t 5t 44ytt當(dāng)兀n -11,即t=Z 1 > 時，y 24(當(dāng)t=2即x= 1時取“=”號)。t評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最A(yù)值。

6、即化為y mg(x) B( Ag(x)0,B0) , g(x)恒正或恒負(fù)的形式,然后運用基本不等式來求最值。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時,若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)x -的單調(diào)性。x例：求函數(shù) y 廠VX2解：令Jx24 t(t2)，則 y丄 Vx24Tx242)因為10,t -t1y t -在區(qū)間t1，但t1,所以，所求函數(shù)的值域為1不在區(qū)間2,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間52,，故等號不成立，考慮單調(diào)性。2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故2練習(xí).求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時,x的值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式abw 計。(1) yx2 3x 11,(x 0

7、)(2)y 2x » 3 y2sinx 丄 (0,)sin x2.已知0x 1,求函數(shù)y 7x(1 x)的最大值.；3. 0 x2 f-,求函數(shù)y 7x(2 3x)的最大值.3條件求最值1.若實數(shù)滿足a b 2，則3a3b的最小值是分析:“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3a 3b定值,因此考慮利用均值定理求最小值,解:3a 和3b 都是正數(shù)，3a 3b > 2j3a 3b 2j尹 6當(dāng)3a3b時等號成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即當(dāng)a b 1時，3a 3b的最小值是6.變式：若log 4 x1 1log4 y 2，求一的最小值.并求x,y的值x y技巧六：整體代

8、換:多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x 0, y0,且-1,求x yy的最小值。錯解：Q x 0, y故y min 12。錯因：解法中兩次連用基本不等式，在y 2ix等號成立條件是x y，在丄x2$等號成立19條件是- 一即y 9x，取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，列出x y等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：Q x 0, y 0,1 91, xx y-9 9x 10 6 10 16x y x y當(dāng)且僅當(dāng)1，可得 x 4,y12 時，x y min 16。9x一時，上式等號成立,y變

9、式:(1)若x, y R且2x，求1 1的最小值x y技巧七、已知a, b,x, y R且旦x1，求x y的最小值y已知x, y為正實數(shù)，且x 2 +專=1,求 沁1 + y 2的最大值.x同時還應(yīng)化簡 寸1 + y 2中y2前面的系數(shù)為1 ,W1 + y2 = X 寸 2 -F面將x,+行分別看成兩個因式:即 X寸 1 + y2 =72y23 廠+ - w 3V2y= a1-的最小值.ab一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)二是直接用基本 不等式，對本題來說，因已知條、丄30 2b30 2b 2 b2+ 30b法一：a=izr,ab=zr -b=由 a> 0得，0v bv 152

10、t 2+ 34t 311 vtv 16, ab =令 t= b+1, abw 18法二:由已知得：令 u/ab/ab w 3yJ2 ,點評:式abb+ 1=2 (t+ ¥ )+ 34 V t + ¥ >= 81 y 當(dāng)且僅當(dāng)t= 4，即b = 3, a= 6時，等號成立。1830一 ab = a + 2bt a + 2b2寸2 ab- 30一 ab22 abu 30w 0, 52 w uw 3羽1 y18本題考查不等式abw 18,JOb ( a,b R )的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力;如何由已知不等a 2b 30(a,b R )出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a

11、b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等b Jab (a,b R )，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得 ab的范圍.式2變式：1.已知a>0, b>0, ab (a + b) = 1,求a+ b的最小值。2.若直角三角形周長為 1,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x, y為正實數(shù)，3x+ 2y= 10,求函數(shù)如=侮 +侮的最值.a + b a 2+ b 2 w 一2，本題很簡單解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,侮+佰 w承寸(侮)2 +(佰)2=V2 /3x+ 2y = 25技巧八：已知a, b為正實數(shù)，2b+ab+ a= 30,求函數(shù)分析：這是一個二元函

12、數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑， 性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的； 件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式 的途徑進(jìn)行。變式:x 5)的最大值。注意到2x 1與 5 2x的和為定值。(J2x 1 J5 2x)2 4 2j(2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8 又y 0,所以0 y 22解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和 為定值”條件靠攏。W>0, W2= 3x+2y+ 2暢 苗 =10 + 2侮 何 w 10+ (侮)2 -(阿)2 = 1

13、0+ (3x + 2y)= 20 Ww 近=2苗求函數(shù) y J2x 175 2x(-2解析:2y3故 ymax22。當(dāng)且僅當(dāng)2x 1=5 2x，即x -時取等號。2評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積 極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1.已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2 b2 c2 ab bc ca1)正數(shù) a, b, c 滿足 a+b+ c= 1,求證：(1 a)(1 - b)(1 c)> 8abc已知 a、b、c R ,且 a b c 1。求證：1 111118a b c分析:不等式右邊數(shù)字1 a b c /bc8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個2”連乘，又，可由此變形入手。解: Q a、b、c R , a b c 1。1 1a2/bc。a同理-b2>/ac1 彳 2Zabcc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得1 11 11 1ga b ca/bc 2>/aC /ab8。當(dāng)且僅當(dāng)1時取等號。3應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題19例：已知x 0, y 0且丄 -x y求使不等式m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。解:y k,