matlab中方程根的近似計(jì)算(共14頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上實(shí)驗(yàn)一 方程根的近似計(jì)算一、問題求非線性方程的根二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會使用matlab中內(nèi)部函數(shù)roots、solve、fsolve、fzero求解方程，并用之解決實(shí)際問題。4、熟悉Matlab的編程思路，尤其是函數(shù)式M文件的編寫方法。三、預(yù)備知識方程求根是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是科學(xué)和工程中經(jīng)常碰到的數(shù)值計(jì)算問題。它的一般形式是求方程f(x)=0的根。如果有x*使得f(x*)=0，則稱x*為f(x)=0的根，或函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。并非所有的方程都能求出精確解或解析解。理論上已經(jīng)證明，用代數(shù)方法可以求出不超過3次的代數(shù)方程的解析解，但對于次數(shù)大于等于5的代數(shù)方程，沒

2、有代數(shù)求根方法，即它的根不能用方程系數(shù)的解析式表示。至于超越方程，通常很難求出其解析解。不存在解析解的方程就需要結(jié)合具體方程（函數(shù)）的性質(zhì)，使用作圖法或數(shù)值法求出近似解。而計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及又為這些方法提供了廣闊的發(fā)展前景，使之成為科學(xué)和工程中最實(shí)用的方法之一。下面介紹幾種常見的求近似根的方法。1. 求方程近似解的簡單方法1.1 圖形方法放大法求根圖形的方法是分析方程根的性態(tài)最簡潔的方法。不過，不要總是想得到根的精確值。這些值雖然粗糙但直觀，多少個(gè)根，在何范圍，一目了然。并且還可以借助圖形局部放大功能，將根定位得更加準(zhǔn)確一些。例1.1 求方程x5+2x2+4=0的所有根及其大致分布范圍。解（1

3、）畫出函數(shù)f(x)=x5+2x2+4的圖形，確定方程的實(shí)數(shù)根的大致范圍。為此，在matlab命令窗中輸入clfezplot x-x,grid onhold onezplot('x5+2*x2+4',-2*pi,2*pi) 1-1 函數(shù)f(x)=x5+2x2+4的圖形clfx=-2*pi:0.1:2*pi;y1=zeros(size(x);y2= x.5+2*x.2+4;plot(x,y1,x,y2)grid on axis tighttitle('x5+2x2+4')xlabel('x') 從圖1-1可見，它有一個(gè)實(shí)數(shù)根，大致分布在-2與2之間。

4、（2）將作圖范圍不斷縮小，用放大法可得到精度越來越高的根的近似值。在matlab命令窗中先后鍵入subplot(2,2,1)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x5+2*x2+4',-2,2)subplot(2,2,2)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x5+2*x2+4',-2,-1)subplot(2,2,3)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x5+2*x2+4',-1.6,-1.5)subplot(2,2,4)ezpl

5、ot x-x, grid on, hold on, ezplot('x5+2*x2+4',-1.55,-1.54) 圖1-2 放大法求函數(shù)f(x)=x5+2x2+4的根由圖1-2可知，方程的根在-1.545與-1.54之間。1.2 數(shù)值方法非線性方程f(x)=0求根的方法有區(qū)間法和迭代法兩大類，二分法、弦位法是區(qū)間法，簡單迭代法和牛頓迭代法及其變形是迭代法，這里只給出二分法、簡單迭代法和牛頓迭代法的構(gòu)造過程。（1）根的隔離與二分法根的隔離思想來源于連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一根x*

6、。二分法是最簡單的求根方法，它是利用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，將含根區(qū)間逐次減半縮小，取區(qū)間的中點(diǎn)構(gòu)造收斂點(diǎn)列xn來逼近根x*。用該方法求f(x)=0的近似解可分兩步做：第一步，確定根的近似位置或大致范圍，即確定一個(gè)區(qū)間a,b,使所求根是位于這個(gè)區(qū)間內(nèi)的唯一實(shí)根。這個(gè)區(qū)間稱為根的隔離區(qū)間，這可以通過函數(shù)作圖達(dá)到：先畫出y=f(x)的圖形，然后從圖上定出它與x軸交點(diǎn)的大概位置。第二步，以根的隔離區(qū)間a,b的端點(diǎn)作為根的初始近似值，用二分法逐步改進(jìn)根的近似值的精確度，直至求得滿足精確度的近似解。具體步驟如下：取a,b的中點(diǎn)x0=(a+b)/2，若f(x0)=0，則x0就是f(x)=0的根x*。若f(a)

7、f(x0)<0，則根x*必在區(qū)間(a,x0)內(nèi)，取a1=a, b1=x0；否則根x*必在區(qū)間(x0,b)內(nèi)，取a1=x0, b1=b。這樣，得到新區(qū)間a1,b1，其長度為a,b的一半。如此繼續(xù)下去，進(jìn)行n等分后，得到一組不斷縮小的區(qū)間序列a,b, a1,b1, a2,b2, an,bn,和對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)數(shù)列xn=(an+bn)/2, n=0,1,2, 其中每個(gè)區(qū)間都含有根x*，滿足a,ba1,b1 a2,b2 an,bn 且每個(gè)區(qū)間的長度都是前一區(qū)間長度的一半。由于an,bn的長度為(b-a)/2n,當(dāng)n不斷變大時(shí)，這些區(qū)間將收斂于一點(diǎn)x*，該點(diǎn)即為所求的根。當(dāng)做到第n步時(shí)，有選擇適當(dāng)?shù)?/p>

8、步數(shù)n，就可達(dá)到滿意的精度。用二分法，理論上區(qū)間中點(diǎn)序列xn將收斂到根的真值，但收斂速度較慢，所以通常用二分法為其他方法提供初步的近似值。（2）簡單迭代法迭代法的基本原理是構(gòu)造一個(gè)迭代公式，反復(fù)用它得出一個(gè)逐次逼近方程根的數(shù)列，數(shù)列中每一項(xiàng)都是方程根的近似值，只是精度不同。簡單迭代法也成逐次迭代法，是非線性方程求根中各類迭代法的基礎(chǔ)。由于對方程作等價(jià)變換根不發(fā)生變換，將方程f(x)=0等價(jià)變換為，構(gòu)造迭代計(jì)算公式。取定初值x0，算出數(shù)列xn。如果xn收斂于x*，則有這說明，x*就是方程f(x)=0的根。上面稱為不動點(diǎn)方程，稱為迭代函數(shù)，數(shù)列xn稱為迭代數(shù)列。（3）牛頓迭代法如果f(x)在a,b

9、上具有二階導(dǎo)數(shù)，f(a)f(b)<0，且f'(x)與f''(x)在a,b上保持同號，這時(shí)可采用牛頓迭代法求方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)的惟一實(shí)根。牛頓迭代法將非線性方程線性化處理為近似方程，然后用近似方程獲得求根的迭代公式。具體做法如下：設(shè)xn是f(x)=0的一個(gè)近似根，把f(x)在xk處作泰勒展開，得f(x)=f(xk)+f'(xk)(x-xk)+(f''(xk)/2!)(x-xk)2+取前兩項(xiàng)來近似代替f(x)，則得近似線性方程f(x)f(xk)+f'(xk)(x-xk)=0如果f'(xk)0，令其解為xk+1，得xk

10、+1=xk-f(xk)/f'(xk), k=1,2,. （1-1）上式稱為f(x)=0的根的牛頓迭代格式。牛頓法具有明顯的幾何意義，方程y=f(xk)+f'(xk)(x-xk) 是曲線在點(diǎn)(xk, f(xk)處的切線方程。迭代方程（1.1）就是切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以牛頓迭代法就是用切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)近似替代曲線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因此牛頓法也稱切線法，是非線性方程求根方法中收斂最快的方法。2. matlab中方程求解的基本命令roots(p)：求多項(xiàng)式方程的根，其中p是多項(xiàng)式系數(shù)按降冪排列所形成的向量。solve(fun)：求方程fun=0的符號解，如果不能求得精確的

11、符號解，可以計(jì)算可變精度的數(shù)值解。solve(fun,var)：對指定變量var求代數(shù)方程fun=0的符號解。fsolve(fun,x0)：用最小二乘法求非線性方程fun=0在估計(jì)值x0附近的近似解。fzero(fun,x0)：求函數(shù)fun在x0附近的零點(diǎn)。四、實(shí)驗(yàn)過程1、編寫二分法求根程序，求方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0實(shí)根的近似值，使誤差不超過10-3。解：（1）求根的初始隔離區(qū)間在matlab工作區(qū)輸入命令：ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x3+1.1*x2+0.9*x-1.4') 圖1-4畫出曲線圖1-4。由上圖

12、可知，根應(yīng)在-2和2之間，進(jìn)一步畫出該部分的圖形。ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x3+1.1*x2+0.9*x-1.4',-2,2) 圖1-5由圖1-5可見，根在0.5與1之間。（2）編寫程序如下：f=input('輸入函數(shù)：f(x)=');qujian=input('輸入?yún)^(qū)間=');err=input('輸入誤差=');a=qujian(1);b=qujian(2);yc=1;while (b-a)>err)&(yc=0)c=(a+b)/2;x=a; ya=eval(f

13、);x=b; yb=eval(f);x=c; yc=eval(f);if ya*yc<0 b=c; else a=c; end x0=cend 存為文件erfenfa.m調(diào)用erfenfa得到如下結(jié)果：>> erfenfa輸入函數(shù)：f(x)='x3+1.1*x2+0.9*x-1.4'輸入?yún)^(qū)間=0,1輸入誤差=0.001x0=0.5000x0=0.7500x0=0.6250x0=0.6875x0=0.6563x0=0.6719x0=0.6641x0=0.6680x0=0.6699x0=0.6709由此得到，方程的根的近似值為0.6709.2、編寫牛頓迭代法求根程

14、序，求1中方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的實(shí)根的近似值，并計(jì)算迭代次數(shù)為6的近似根。解：由1可知，0.5,1是根所在的區(qū)間，在0.5,1上f(x)= x3+1.1x2+0.9x-1.4f'(x)=3*x2+2.2x+0.9, f''(x)=6x+2.2f'(x)與f''(x)在0.5, 1上保持同號，f(1)>0與f''(1)同號，所以取x0=1為迭代初始值。用matlab語言編寫一般的程序如下：f=input('輸入函數(shù)：f(x)=');n=input('請輸入迭代次數(shù)：n=')

15、;x0=input('請輸入迭代初始值：x0=');f1=diff(f);format longfor i=1:nx=x0;fx0=eval(f);f1x0=eval(f1);x0=x0-fx0/f1x0;fprintf('x0=%12.10fn',x0)end 存為文件niudunfa.m，調(diào)用及運(yùn)行結(jié)果如下：>> niudunfa輸入函數(shù)：f(x)='x3+1.1*x2+0.9*x-1.4'請輸入迭代次數(shù)：n=6請輸入迭代初始值：x0=1x0=0.x0=0.x0=0.x0=0.x0=0.x0=0.由此得到，方程的根的近似值為0.。

16、3. 用matlab中的內(nèi)部函數(shù)求方程的根。（1）用roots求方程x9+x8+1=0的根；（2）用solve求上述方程的根；（3）用fzero求方程x2+4sinx=25的實(shí)根；（4）用fsolve求方程x=e-x在0附近的根；解：（1）在matlab命令窗口輸入命令：p=zeros(10,1); p(1:2,end,1)=1; roots(p) ans = -1.9643 -0.8254 + 0.2893i -0.8254 - 0.2893i -0.6575 + 0.3146i -0.6575 - 0.3146i 0.6573 + 0.4660i 0.6573 - 0.4660i 0.80

17、75 + 0.7906i 0.8075 - 0.7906i （2）在matlab命令窗口輸入命令：solve('x9+x8+1=0') ans =RootOf(X19 + X18 + 1, X1) （3）首先作圖確定根的大致范圍：clf, ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x2+4*sin(x)-25') 圖1-6由圖1-6可確定兩根在x1-4，x25附近。再具體求根。x1=fzero('x2+4*sin(x)-25',-4)x2=fzero(' x2+4*sin(x)-25',5) x1 = -4.8049x2 = 5.6235 （4）在matlab命令窗口輸入命令：x=fsolve('