計算方法教學大綱

1、計算方法教學大綱（本科）說明本大綱適用于數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)本科的教學本課程教學目的和要求：隨著計算機的迅速發(fā)展，在科學，技術(shù)，工程，生產(chǎn)，經(jīng)濟等領(lǐng)域中抽象出來的許多數(shù)學問題可以應(yīng)用計算機計算求解。本課程介紹了計算機中常用的數(shù)值計算方法，以及相關(guān)理論；要求學生掌握這些常用的方法和有關(guān)理論，并能用計算機求解。本大綱內(nèi)容包括個章節(jié)教學內(nèi)容，教學要求及學時分配。課程的知識范圍涉及：數(shù)學分析，高等代數(shù)等課程教材的選用：計算方法與算法語言上冊計算方法張德榮，王新民，高新民編 高等教育出版社。6、教學時數(shù)安排：本課程總學時為72學時，各部分學時安排如下：章節(jié)教學內(nèi)容教學時數(shù)第一章引論（誤差）6第二章插值法1

2、2第三章高次代數(shù)方程和超越方程的數(shù)值解法8第四章數(shù)值微分和數(shù)值積分8第五章解線性代數(shù)方程組的直接法12第六章解線性代數(shù)方程組的迭代法8第七章常微分方程數(shù)值解10教 學 內(nèi) 容 第一章 引論誤差 教學目的和要求：學習本章要求了解誤差的來源，掌握絕對誤差和相對誤差，有效數(shù)字的概念，會求函數(shù)值的誤差，掌握設(shè)計算法應(yīng)注意的事項。第一節(jié) 誤差的來源：講敘誤差的幾個主要來源，2稱之為模型誤差，3截斷誤差，4舍 ，5入誤差，6觀測誤差，7各舉例加以說明。第二節(jié) 近似數(shù)的誤差表示：給出描述近似數(shù)誤差的幾個慨念1.絕對誤差2.相對誤差3.絕對誤差限4.相對誤差限5.有效數(shù)字要求會計算絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字

3、，掌握誤差限的概念，并能用于計算。第三節(jié) 誤差的傳播 1.函數(shù)值的誤差 2.代數(shù)運算的誤差要求會運用函數(shù)值的誤差推導出積、商、和、差、開平方的誤差。第四節(jié) 設(shè)計算法應(yīng)該注意的事項：1.注意浮點應(yīng)算的特點，給出浮點數(shù)、規(guī)格化浮點數(shù)舉例說明浮點運算的特點：自動四舍五入、溢出、加減法對階（大數(shù)“吃”小數(shù)的現(xiàn)象） 2簡化計算公式、減少運算次數(shù)。舉例說明3采用誤差傳播小的算法，舉例說明4防止接近的兩數(shù)相減，舉例說明【本章重點難點】教學重點：近似數(shù)的誤差表示，函數(shù)值的誤差，設(shè)計算法應(yīng)該注意的事項。教學難點：有效數(shù)字的計算，函數(shù)值的誤差。第二章 插值法教學目的和要求：學習本章要求理解插值法的基本思想的方法，

4、掌握拉格朗日插值、牛頓插值和等距結(jié)點插值公式，掌握函數(shù)差商的慨念并會計算函數(shù)的差商，要求掌握差分的慨念，掌握向前差分和向后差分的關(guān)系式，以及差分計算，理解樣條差值的慨念，掌握樣條插值的基本方法和步驟。第一節(jié) 拉格朗日插值1線性插值：介紹線性插值計算方法，線性插值的特征。2二次插值：介紹二次插值方法，推導二次插值計算方式，為推廣到n次插值做準備工作。 5次插值（拉格朗日插值），給出n次拉格朗日插值公式，對定理給出說明。6N次插值誤差：給出并說明N次拉格朗日插值的誤差表示式。小結(jié)拉格朗日插值特征，舉例說明該插值，會有可能出現(xiàn)部分區(qū)域逼近。效果差的情況，為重新研究分段插值，進而研究樣條插值作出解釋。

5、第二節(jié) 分段插值4分段線性插值：講敘分段插值方法，指出在結(jié)點處一段不存在一階導數(shù)。8兩點帶導數(shù)插值：在分段線性插值基礎(chǔ)上，解決分段點（結(jié)點，處帶導數(shù)插值問題推導出兩點帶導數(shù)插值公式，并證明唯一性。9帶導數(shù)三次插值余項：給出并證明帶導數(shù)三次插值余項。第三節(jié) 三次條插值1樣條函數(shù)定義：明確給出樣條插值函數(shù)應(yīng)滿足的三個條件。2求樣條函數(shù)表達式：利用前一節(jié)兩點帶導數(shù)插值的結(jié)果，分析推導出樣條函數(shù)插值的計算方法，指出需付加邊界條件，最后給出求樣條插值函數(shù)的步驟。第四節(jié) 差商與牛頓插值多項式3逐步插值多項式：給出并證明函數(shù)逐步蛤值多項式，其中含有一組有待寬常數(shù)。6差商：引進差商函數(shù)的慨念，推導出上述逐步插

6、值多項式中待定可用正數(shù)差商進行計算，從而得到牛頓插值多項式及余項的表達式。11差商表：為便于計算正數(shù)的差商，證明兩個相關(guān)定理，給出差商表。利用例題說明差商表的應(yīng)用，進一步求出例題中指明的牛頓插值多項式。第五節(jié) 差分3差分：給出差分的定義，講解差分的性質(zhì)以及差分表，利用例子說明差分表的計算。6高階差分：給出求高階差分的兩個定理，對其中定理1進行證明，而另一定理類似可證。8函數(shù)差分和向后差分：給出函數(shù)差分定義，證明向前差分與向后差分關(guān)系式。第六節(jié) 等距結(jié)點插值公式1等距結(jié)點慨念2等距結(jié)點條件下函數(shù)差分和函數(shù)差商的關(guān)系式：給出有關(guān)定理并證明結(jié)論。5等距結(jié)點插值公式：給出等距結(jié)點前插公式及后插公式，講

7、解并證明前插公式，例題?！颈菊陆虒W重點和難點】教學重點：拉格朗日插值，牛頓插值，樣條插值，等距結(jié)點插值，差商及差分。教學難點：樣條插值的思想方法及推導，等距結(jié)點插值。第三章 高次代數(shù)方程和超越方程數(shù)值解法教學目的和要求：學習本章，要求理解求實函數(shù)f（x）=0的數(shù)值解法，了解對分法的條件和步驟，理解逐次迭代法的基本思想，掌握其方法步驟，理解收斂速度的慨念，掌握弦截法、切線法的條件和結(jié)論，理解相關(guān)理論，掌握單點弦截法，切線法的定理證明。第一節(jié) 對分法1對分法求方程f（x）=0的根的條件2對分法求方程f（x）=0的根的方法和步驟3對分法的特點。第二節(jié) 逐次迭代法3基本思想和方法：具體方法步驟，迭代函

8、數(shù)g (x) 和迭代方程Xn+1 = 的慨念，并給出幾何解釋。9壓縮印象原理：給出函數(shù)g (x) 是閉區(qū)間 a，b 上壓縮映象的定義，并由定義得出壓縮系數(shù)L的慨念。證明壓縮映象可作迭代函數(shù)，從而得到迭代公式Xn+1 = 的定理1，再討論利用一階導數(shù)尋找迭代函數(shù)的定理210例題：利用例題講解上述定理1、定理2的應(yīng)用。12收斂速度：給出有關(guān)迭代法收斂速度的階的慨念，證明迭代法m階收斂的定理14誤差估計：給出迭代法誤差估計式，并加以證明。第三節(jié) 弦截法1單點弦截法：幾何解釋。給出定理條件結(jié)論并加以證明。2雙點弦截法：幾何解釋。給出定理并證明。例題。第四節(jié) 切線法4切線法幾何解釋，從中得到切線法迭代公

9、式。7定理：給出切線法收斂定理條件結(jié)論，并加以證明。例題。11切線法誤差：給出切線法誤差估計式，并加以證明?！颈菊陆虒W重點和難點】教學重點：逐次迭代法，弦截法，切線法。教學難點：雙點弦截法理論證明，收斂速度。第四章 數(shù)值微分和數(shù)值積分教學目的和要求：學習本章，要求了解利用插值多項式P(x)替代原函數(shù)f (x)求導數(shù)及求積分的方法，掌握常用的數(shù)值微分公式及其截斷誤差。掌握理查遜外推公式及其應(yīng)用。掌握矩形、梯形、拋物線復合求積公式，了解復合求積公式截斷誤差，理解梯形公式平分區(qū)間法，掌握龍貝格求積值的方法步驟。第一節(jié) 數(shù)值微分1插值多項式和數(shù)值微分：用插值多項式P(x)求f (x)的導數(shù)替代f (x

10、)的導數(shù)。2插值多項式作數(shù)值微分的誤差表達式：給出有關(guān)定理，3并證明定理4常用的數(shù)值微分公式：用定理1導出一些微分公式及其截斷誤差。5用外推法求微分：給出外推公式及用外推法求微分步驟。第二節(jié) 插值求積分公式2插值求積公式：用拉格朗日插值P(x)代f (x)，求積分。5復合矩形、梯形公式：幾何解釋，推導公式。8復合拋物線公式：幾何解釋，推導公式。11復合求積公式解斷誤差：通過逐段討論局部誤差而得到整體誤差。13求積公式的代數(shù)精確度：給出求積公式代數(shù)精度概念，用例題進一步說明。14梯形公式平分區(qū)間法：講解方法15理查遜外推法和拋物線公式：外推公式具體應(yīng)用。17龍貝格求積法：講解方法，給出用龍貝格求

11、積法具體步驟。【本章教學重點難點】教學重點：理查遜外推法、復合求積公式、梯形公式平分區(qū)間法、龍貝格求積法教學難點：理查遜外推法、解斷誤差、龍貝格求積法第五章 解線性代數(shù)方程組直接法教學目的和要求：學習本章，要求了解線性方程組直接法的基本思想，了解高斯消去法。掌握矩陣幾種三角分解以及相關(guān)理論，掌握緊湊格式法，平方根法解線性代數(shù)方程組，了解追趕法解線性方程組，掌握矩陣P2U分陣，理解主元素法，掌握矩陣范數(shù)和向?qū)Х稊?shù)概念及性質(zhì)。理解擾動分析，會求矩陣條件數(shù)。第一節(jié) 消去法和矩陣的三角分解1簡單消去法：用消去法解三階線性方程組，定義出消去法的主元素、乘數(shù)及乘數(shù)矩陣。2矩陣的三角分解：給出矩陣LU分解的

12、定理并證明。3三角分解與消去法：分析解線性方程組可用矩陣三角分解達到目的。第二節(jié) 緊湊格式與平方根法3緊湊格式法：推導三角分解計算公式，舉例說明緊湊格式解線性方程組步驟，方法。5平方根法：實正定對稱陣的三角分解LDLT及LLT，推導出平方根法解線性方程組計算公式。第三節(jié) 三對角線性方程組及追趕法2三對角線性方程組：三對角矩陣的概念，三對角矩陣的LU分解。（追趕法）3追趕法：解三對角線性方程組的有關(guān)定理及證明第四節(jié) 方陣的PLU分解2置換矩陣：置換矩陣的定義和性質(zhì)，由單位陣I到置換矩陣的例子4非奇異方陣PLU分解：給出定理并證明，舉例說明PLU分解的步驟及方法第五節(jié) 主元素法1選主元素的必要性：

13、講述為什么要選主元素的幾條理由4選主元素的方法：按列選主元，全面選主元，例題說明第六節(jié) 向量的范數(shù)和矩陣的范數(shù)5向量的范數(shù)：向量范數(shù)的定義和性質(zhì)，列范數(shù)，行范數(shù)及譜范數(shù)，證明范數(shù)不等式的定理10矩陣的范數(shù)：矩陣范數(shù)的定義和性質(zhì)及等價定義，矩陣范數(shù)的性質(zhì)，求矩陣行范數(shù)，列范數(shù)，譜范數(shù)的有關(guān)定理及其證明第七節(jié) 解線性方程組擾動分析2擾動矩陣非奇異的充分條件：證明有關(guān)矩陣范數(shù)不等式的定理3擾動分析：推導線性方程組當系數(shù)陣和常數(shù)向量有擾動（微小誤差）時造成的相對誤差限表達式4方陣條件數(shù)：方陣條件數(shù)的定義及其簡單性質(zhì)【本章教學重點難點】教學重點：矩陣的三角分解，緊湊格式法、平分根法、主元素法、向量范數(shù)、

14、矩陣范數(shù)的定義和性質(zhì)，解線性方程組擾動分析，方陣條件數(shù)教學難點：緊湊格式法，平方根法計算公式的推導，計算矩陣范數(shù)的定理證明，解線性方程組擾動分析第六章 解線性代數(shù)方程組的迭代法教學目的和要求：學習本章，要求理解迭代法的基本思想，掌握簡單迭代法和賽德而爾迭代法的分量形式及矩陣形式計算公式，理解嚴格對角占優(yōu)陣的概念，掌握系數(shù)矩陣按行嚴格對角占優(yōu)的簡單迭代法和賽德爾迭代法都收斂的定理，理解若當標準形和方陣譜半徑的概念，掌握一般迭代法收斂的必要充分條件。第一節(jié) 簡單迭代法和賽德爾迭代法 1向量序列的極限：介紹向量序列極限的定義2簡單迭代法：推導簡單迭代法分量形式和矩陣形式計算公式3賽德爾迭代法：推導賽

15、德爾迭代法分量形式和矩陣形式計算公式第二節(jié) 迭代法的收斂條件1一般迭代法收斂的充分條件：給出定理并證明結(jié)論3嚴格對角占優(yōu)方陣：給出定義，并證明嚴格對角占優(yōu)陣非奇異的引理5簡單迭代法和賽德爾迭代法收斂的充分條件：證明有關(guān)定理，并舉例進一步說明第三節(jié) 迭代法的收斂條件（續(xù)）3若當標準形：給出定義，并證明引理1 引理26方陣的譜半徑：給出定義，并證明，例題【本章教學重點難點】教學重點：簡單迭代法、賽德爾迭代法、迭代法的收斂條件、嚴格對角占優(yōu)陣、方陣譜半徑。教學難點：迭代法的收斂條件，若當標準形。第七章 常微分方程值解教學目的和要求：學習本章，要求了解求一階常微分方程初值問題的數(shù)值解方法。要求掌握折線法和改進折線法。掌握預(yù)估校正法。理解龍格一庫塔法。理解線性多步法，理解單步法的收斂性和穩(wěn)定性。第一節(jié) 折線法 1折線法遞推公式：討論并給出折線法遞推公式2截斷誤差：討論折線法的誤差4遞推不等式：證明引理6收斂性：證明折線法收斂的定理，例題第二節(jié) 預(yù)估校正法2改進折線法：推導改進折線法遞推公式，并討論誤差估計。3預(yù)估校正法第三節(jié) 龍格庫塔法二階龍格一庫塔法：具體講解此種方法第四節(jié) 線性多步法1一般線性多步法：具體講解此種方法2阿達姆斯外推法3阿達姆斯內(nèi)插法第五節(jié) 收斂性和穩(wěn)定性1顯式單步法