三角函數(shù)與平面向量的綜合應用(共22頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三角函數(shù)與平面向量的綜合應用【要點梳理】1 三角恒等變換(1)公式：同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式、和差公式(2)公式應用：注意公式的正用、逆用、變形使用的技巧，觀察三角函數(shù)式中角之間的聯(lián)系，式子之間以及式子和公式間的聯(lián)系(3)注意公式應用的條件、三角函數(shù)的符號、角的范圍2 三角函數(shù)的性質(zhì)(1)研究三角函數(shù)的性質(zhì)，一般要化為yAsin(x)的形式，其特征：一角、一次、一函數(shù)(2)在討論yAsin(x)的圖象和性質(zhì)時，要重視兩種思想的應用：整體思想和數(shù)形結合思想，一般地，可設tx，yAsin t，通過研究這兩個函數(shù)的圖象、性質(zhì)達到目的3 解三角形解三角形問題主要有兩種

2、題型：一是與三角函數(shù)結合起來考查，通過三角變換化簡，然后運用正、余弦定理求值；二是與平面向量結合(主要是數(shù)量積)，判斷三角形形狀或結合正、余弦定理求值試題一般為中檔題，客觀題、解答題均有可能出現(xiàn)4 平面向量平面向量的線性運算，為證明兩線平行提供了重要方法平面向量數(shù)量積的運算解決了兩向量的夾角、垂直等問題特別是平面向量的坐標運算與三角函數(shù)的有機結合，體現(xiàn)了向量應用的廣泛性【自我檢測】1 已知角終邊上一點P(4,3)，則的值為_2 已知f(x)sin(x)cos(x)的一條對稱軸為y軸，且(0，)，則_.3. 如圖所示的是函數(shù)f(x)Asin(x)B(A>0，>0，|)圖象的一部分，則

3、f(x)的解析式為_4 (2012·四川改編)如圖，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE1，連接EC、ED，則sinCED_.5. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AD1，BC2，AB3，P是BC上的一個動點，當·取得最小值時，tanDPA的值為_【題型深度剖析】題型一三角恒等變換例1設<<，sin，求的值思維啟迪：可以先將所求式子化簡，尋求和已知條件的聯(lián)系探究提高三角變換的關鍵是尋求已知和所求式子間的聯(lián)系，要先進行化簡，角的轉(zhuǎn)化是三角變換的“靈魂”要注意角的范圍對式子變形的影響【訓練1】已知cossin ，則sin的值是()A B. C

4、D.題型二三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)例2(2011·浙江)已知函數(shù)f(x)Asin(x)，xR，A>0,0<<，yf(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)(1)求f(x)的最小正周期及的值；(2)若點R的坐標為(1,0)，PRQ，求A的值思維啟迪：三角函數(shù)圖象的確定，可以利用圖象的周期性、最值、已知點的坐標列方程來解決探究提高本題確定的值時，一定要考慮的范圍；在三角形中利用余弦定理求A是本題的難點【訓練2】已知函數(shù)f(x)Asin xBcos x(A，B，是常數(shù)，>0)的最小正周期為2，并且當x時，f(x)max2.(1

5、)求f(x)的解析式；(2)在閉區(qū)間上是否存在f(x)的對稱軸？如果存在，求出其對稱軸方程；如果不存在，請說明理由題型三三角函數(shù)、平面向量、解三角形的綜合應用例3已知向量m，n.(1)若m·n1，求cos的值；(2)記f(x)m·n，在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2ac)cos Bbcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍思維啟迪：(1)由向量數(shù)量積的運算轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)式，化簡求值(2)在ABC中，求出A的范圍，再求f(A)的取值范圍探究提高(1)向量是一種解決問題的工具，是一個載體，通常是用向量的數(shù)量積運算或性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題(2)三角形中的三角

6、函數(shù)要結合正弦定理、余弦定理進行轉(zhuǎn)化，注意角的范圍對變形過程的影響【訓練3】在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且lg alg blg cos Blg cos A0.(1)判斷ABC的形狀；(2)設向量m(2a，b)，n(a，3b)，且mn，(mn)·(nm)14，求a，b，c的值【高考中的平面向量、三角函數(shù)客觀題】典例1：(5分)(2012·山東)函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為()A2 B0 C1 D1考點分析本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查整體思想和數(shù)形結合思想解題策略根據(jù)整體思想，找出角x的范圍，再根據(jù)圖象求函數(shù)的最值解后反思(1)函數(shù)yAsi

7、n(x)可看作由函數(shù)yAsin t和tx構成的復合函數(shù)(2)復合函數(shù)的值域即為外層函數(shù)的值域，可以通過圖象觀察得到典例2：(5分)(2012·天津)在ABC中，A90°，AB1，AC2.設點P，Q滿足，(1)，R.若·2，則等于 ()A. B. C. D2考點分析本題考查向量的線性運算，考查向量的數(shù)量積和運算求解能力解題策略根據(jù)平面向量基本定理，將題中的向量，分別用向量，表示出來，再進行數(shù)量積計算解后反思(1)利用平面向量基本定理結合向量的線性運算表示向量是向量問題求解的基礎；(2)本題在求解過程中利用了方程思想【感悟提高】方法與技巧1研究三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)一定

8、要化成yAsin(x)B的形式，然后利用數(shù)形結合思想求解2三角函數(shù)與向量的綜合問題，一般情況下向量知識作為一個載體，可以先通過計算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題再進行求解失誤與防范1三角函數(shù)式的變換要熟練公式，注意角的范圍；2向量計算時要注意向量夾角的大小，不要混同于直線的夾角或三角形的內(nèi)角【專項訓練1】1 (2012·大綱全國)ABC中，AB邊的高為CD，若a，b，a·b0，|a|1，|b|2，則等于()A.ab B.ab C.ab D.ab2 已知向量a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，則函數(shù)f(x)a·b的最小正周期是()A. B C2 D43 已知a

9、，b，c為ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m(，1)，n(cos A，sin A)若mn，且acos Bbcos Acsin C，則角A，B的大小分別為()A.， B.， C.， D.，4 已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，則向量與向量的夾角的取值范圍是 ()A. B. C. D.5 (2012·北京)在ABC中，若a3，b，A，則C的大小為_6 在直角坐標系xOy中，已知點A(1,2)，B(2cos x，2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x0，若，則x的值為_7 已知函數(shù)f(x)sin xcos x，且f(x)2f(x)，f(x)是f(

10、x)的導函數(shù)，則_.8 (10分)已知A，B，C的坐標分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若·1，求的值9 (12分)設銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2bsin A.(1)求B的大??；(2)求cos Asin C的取值范圍【專項訓練2】1 (2012·江西)已知f(x)sin2，若af(lg 5)，bf，則()Aab0 Bab0 Cab1 Dab12 已知a，b(1，)，則|atb| (tR)的最小值等于()A1 B. C. D.3在ABC中，·3，ABC的面積SABC，則與夾角的取

11、值范圍是 A. B. C. D.4 (2011·安徽)已知函數(shù)f(x)sin(2x)，其中為實數(shù)f(x)對xR恒成立，且f>f()，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_5若0<<，<<0，cos，cos，則cos_.6 (2012·山東)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動當圓滾動到圓心位于(2,1)時，的坐標為_7 (13分)已知f(x)loga(a>0且a1)，試討論函數(shù)的奇 偶性、單調(diào)性三角函數(shù)與平面向量的綜合應用【要點梳理】1 三角恒等變換(1)公式：

12、同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式、和差公式(2)公式應用：注意公式的正用、逆用、變形使用的技巧，觀察三角函數(shù)式中角之間的聯(lián)系，式子之間以及式子和公式間的聯(lián)系(3)注意公式應用的條件、三角函數(shù)的符號、角的范圍2 三角函數(shù)的性質(zhì)(1)研究三角函數(shù)的性質(zhì)，一般要化為yAsin(x)的形式，其特征：一角、一次、一函數(shù)(2)在討論yAsin(x)的圖象和性質(zhì)時，要重視兩種思想的應用：整體思想和數(shù)形結合思想，一般地，可設tx，yAsin t，通過研究這兩個函數(shù)的圖象、性質(zhì)達到目的3 解三角形解三角形問題主要有兩種題型：一是與三角函數(shù)結合起來考查，通過三角變換化簡，然后運用正、余弦定理求值；二是與平面向量結

13、合(主要是數(shù)量積)，判斷三角形形狀或結合正、余弦定理求值試題一般為中檔題，客觀題、解答題均有可能出現(xiàn)4 平面向量平面向量的線性運算，為證明兩線平行提供了重要方法平面向量數(shù)量積的運算解決了兩向量的夾角、垂直等問題特別是平面向量的坐標運算與三角函數(shù)的有機結合，體現(xiàn)了向量應用的廣泛性【自我檢測】1 已知角終邊上一點P(4,3)，則的值為_答案解析tan .根據(jù)三角函數(shù)的定義得tan .所以.2 已知f(x)sin(x)cos(x)的一條對稱軸為y軸，且(0，)，則_.答案解析f(x)sin(x)cos(x)2sin，由k (kZ)及(0，)，可得.3. 如圖所示的是函數(shù)f(x)Asin(x)B(A&

14、gt;0，>0，|)圖象的一部分，則f(x)的解析式為_答案f(x)2sin1解析由于最大值和最小值之差等于4，故A2，B1.由于22sin 1，且|，得.由圖象知()2k (kZ)，得2k(kZ)又>2，0<<1.函數(shù)f(x)的解析式是f(x)2sin1.4 (2012·四川改編)如圖，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE1，連接EC、ED，則sinCED_.答案解析方法一應用兩角差的正弦公式求解由題意知，在RtADE中，AED45°，在RtBCE中，BE2，BC1，CE，則sinCEB，cosCEB.而CED45°CEB，si

15、nCEDsin(45°CEB)(cosCEBsinCEB)×.方法二利用余弦定理及同角三角函數(shù)基本關系式求解由題意得ED，EC.在EDC中，由余弦定理得cosCED，又0<CED<，sinCED.5. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AD1，BC2，AB3，P是BC上的一個動點，當·取得最小值時，tanDPA的值為_答案解析如圖，以A為原點，建立平面直角坐標系xAy，則A(0,0)，B(3，0)，C(3,2)，D(0,1)，設CPD，BPA，P(3，y) (0y2)(3,1y)，(3，y)，·y2y92，當y時，·取得最

16、小值，此時P，易知|，.在ABP中，tan 6，tanDPAtan().【題型深度剖析】題型一三角恒等變換例1設<<，sin，求的值思維啟迪：可以先將所求式子化簡，尋求和已知條件的聯(lián)系解方法一由<<，得<<，又sin，所以cos.所以cos cos()coscos sinsin ，所以sin .故原式cos (12sin ).方法二由sin，得sin cos ，兩邊平方，得12sin cos ，即2sin cos >0.由于<<，故<<.因為(sin cos )212sin cos ，故sin cos ，解得sin ，cos .

17、下同方法一探究提高三角變換的關鍵是尋求已知和所求式子間的聯(lián)系，要先進行化簡，角的轉(zhuǎn)化是三角變換的“靈魂”要注意角的范圍對式子變形的影響【訓練1】已知cossin ，則sin的值是()A B. C D.答案C解析cossin sin cos sin，所以sinsin.題型二三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)例2(2011·浙江)已知函數(shù)f(x)Asin(x)，xR，A>0,0<<，yf(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)(1)求f(x)的最小正周期及的值；(2)若點R的坐標為(1,0)，PRQ，求A的值思維啟迪：三角函數(shù)圖象的確定，可

18、以利用圖象的周期性、最值、已知點的坐標列方程來解決解(1)由題意得T6.因為P(1，A)在yAsin(x)的圖象上，所以sin()1.又因為0<<，所以.(2)設點Q的坐標為(x0，A)由題意可知x0，得x04，所以Q(4，A)連接PQ，在PRQ中，PRQ，由余弦定理得cosPRQ，解得A23.又A>0，所以A.探究提高本題確定的值時，一定要考慮的范圍；在三角形中利用余弦定理求A是本題的難點【訓練2】已知函數(shù)f(x)Asin xBcos x(A，B，是常數(shù)，>0)的最小正周期為2，并且當x時，f(x)max2.(1)求f(x)的解析式；(2)在閉區(qū)間上是否存在f(x)的

19、對稱軸？如果存在，求出其對稱軸方程；如果不存在，請說明理由解(1)因為f(x)sin(x)，由它的最小正周期為2，知2，又因為當x時，f(x)max2，知2k (kZ)，2k (kZ)，所以f(x)2sin2sin.故f(x)的解析式為f(x)2sin.(2)當垂直于x軸的直線過正弦曲線的最高點或最低點時，該直線就是正弦曲線的對稱軸，令xk (kZ)，解得xk，由k，解得k，又kZ，知k5，由此可知在閉區(qū)間上存在f(x)的對稱軸，其方程為x.題型三三角函數(shù)、平面向量、解三角形的綜合應用例3已知向量m，n.(1)若m·n1，求cos的值；(2)記f(x)m·n，在ABC中，角

20、A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2ac)cos Bbcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍思維啟迪：(1)由向量數(shù)量積的運算轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)式，化簡求值(2)在ABC中，求出A的范圍，再求f(A)的取值范圍解(1)m·nsin ·cos cos2sin sin，m·n1，sin.cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A0.co

21、s B，0<B<，B.0<A<.<<，sin.又f(x)sin.f(A)sin.故函數(shù)f(A)的取值范圍是.探究提高(1)向量是一種解決問題的工具，是一個載體，通常是用向量的數(shù)量積運算或性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題(2)三角形中的三角函數(shù)要結合正弦定理、余弦定理進行轉(zhuǎn)化，注意角的范圍對變形過程的影響【訓練3】在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且lg alg blg cos Blg cos A0.(1)判斷ABC的形狀；(2)設向量m(2a，b)，n(a，3b)，且mn，(mn)·(nm)14，求a，b，c的值解(1)因為lg alg blg

22、 cos Blg cos A0，所以1，所以sin 2Asin 2B且ab.因為A，B(0，)且AB，所以2A2B，即AB且AB.所以ABC是非等腰的直角三角形(2)由mn，得m·n0.所以2a23b20.由(mn)·(nm)14，得n2m214，所以a29b24a2b214，即3a28b214.聯(lián)立，解得a，b2.所以c.故所求的a，b，c的值分別為，2，.【高考中的平面向量、三角函數(shù)客觀題】典例1：(5分)(2012·山東)函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為()A2 B0 C1 D1考點分析本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查整體思想和數(shù)形結合思想解題策略

23、根據(jù)整體思想，找出角x的范圍，再根據(jù)圖象求函數(shù)的最值解析由題意.畫出y2sin x的圖象如圖，知，當x時，ymin.當x時，ymax2.故ymaxymin2.答案A解后反思(1)函數(shù)yAsin(x)可看作由函數(shù)yAsin t和tx構成的復合函數(shù)(2)復合函數(shù)的值域即為外層函數(shù)的值域，可以通過圖象觀察得到典例2：(5分)(2012·天津)在ABC中，A90°，AB1，AC2.設點P，Q滿足，(1)，R.若·2，則等于 ()A. B. C. D2考點分析本題考查向量的線性運算，考查向量的數(shù)量積和運算求解能力解題策略根據(jù)平面向量基本定理，將題中的向量，分別用向量，表示出

24、來，再進行數(shù)量積計算解析(1)，·(1)224(1)342，即.答案B解后反思(1)利用平面向量基本定理結合向量的線性運算表示向量是向量問題求解的基礎；(2)本題在求解過程中利用了方程思想【感悟提高】方法與技巧1研究三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)一定要化成yAsin(x)B的形式，然后利用數(shù)形結合思想求解2三角函數(shù)與向量的綜合問題，一般情況下向量知識作為一個載體，可以先通過計算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題再進行求解失誤與防范1三角函數(shù)式的變換要熟練公式，注意角的范圍2向量計算時要注意向量夾角的大小，不要混同于直線的夾角或三角形的內(nèi)角【專項訓練1】1 (2012·大綱全國)ABC中，AB邊的高為

25、CD，若a，b，a·b0，|a|1，|b|2，則等于()A.ab B.ab C.ab D.ab答案D解析利用向量的三角形法則求解如圖，a·b0，ab，ACB90°，AB.又CDAB，AC2AD·AB，AD.(ab)ab.2 已知向量a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，則函數(shù)f(x)a·b的最小正周期是()A. B C2 D4答案B解析f(x)2cos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin，T.3 已知a，b，c為ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m(，1)，n(cos A，sin A)若mn，且aco

26、s Bbcos Acsin C，則角A，B的大小分別為()A.， B.， C.， D.，答案C解析由mn得m·n0，即cos Asin A0，即2cos0，<A<，A，即A.又acos Bbcos A2Rsin Acos B2Rsin Bcos A2Rsin(AB)2Rsin Cccsin C，所以sin C1，C，所以B.4 已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，則向量與向量的夾角的取值范圍是 ()A. B. C. D.答案D解析由題意，得：(2cos ，2sin )，所以點A的軌跡是圓(x2)2(y2)22，如圖，當A位于使向量與圓相切時，向

27、量與向量的夾角分別達到最大、最小值，故選D.5 (2012·北京)在ABC中，若a3，b，A，則C的大小為_答案解析利用正弦定理及三角形內(nèi)角和性質(zhì)求解在ABC中，由正弦定理可知，即sin B.又a>b，B.CAB.6 在直角坐標系xOy中，已知點A(1,2)，B(2cos x，2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x0，若，則x的值為_答案或解析因為(2cos x1，2cos 2x2)，(cos x,1)，所以·(2cos x1)cos x(2cos 2x2)·12cos2xcos x0，可得cos x0或cos x，所以x的值為或.7 已知函數(shù)f(x

28、)sin xcos x，且f(x)2f(x)，f(x)是f(x)的導函數(shù)，則_.答案解析由題意知，f(x)cos xsin x，由f(x)2f(x)，得cos xsin x2(sin xcos x)，得tan x3，所以.三、解答題(共22分)8 (10分)已知A，B，C的坐標分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若·1，求的值解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(cos 3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin ，由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos

29、 .又，.(2)由·1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .又2sin cos .由式兩邊分別平方，得12sin cos ，2sin cos .9 (12分)設銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2bsin A.(1)求B的大?。?2)求cos Asin C的取值范圍解(1)由a2bsin A，根據(jù)正弦定理得sin A2sin Bsin A，所以sin B，由ABC為銳角三角形可得B.(2)由(1)可知ACB，故CA.故cos Asin Ccos Asincos Asincos Acos Asin Acos Asin Asin，由

30、ABC為銳角三角形可得，0<C<，故0<A<，解得<A<，又0<A<，所以<A<.故<A<，所以<sin<，所以<sin<，即cos Asin C的取值范圍為.【專項訓練2】1 (2012·江西)已知f(x)sin2，若af(lg 5)，bf，則()Aab0 Bab0 Cab1 Dab1答案C解析將函數(shù)整理，利用奇函數(shù)性質(zhì)求解由題意知f(x)sin2，令g(x)sin 2x，則g(x)為奇函數(shù)，且f(x)g(x)，af(lg 5)g(lg 5)，bfg，則abg(lg 5)g1g(lg 5)g(lg 5)11，故ab1.2 已知a，b(1，)，則|atb| (tR)的最小值等于()A1 B. C. D.答案B解析方法一atb，|atb|2224t22t142，當t時，|atb|2取得最小值，即|atb|取得最小值.方法二如圖所示，a，b，在OB上任取一點T，使得tb (t<0)，則|atb|，顯然，當