近世代數(shù)4—6結(jié)合律、交換律及分配律

1、第2 講一、算律§4 6 結(jié)合律、交換律及分配律( 2 課時(shí))(Associative Law Commutative Law and distributive law )定義任一個(gè)A B到D的映射都叫做A B到D的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算。定義 若 是A A到A的代數(shù)運(yùn)算，則可稱 是A的代數(shù)運(yùn)算或稱二元運(yùn) 算。§4、結(jié)合律：?代數(shù)運(yùn)算就是二元運(yùn)算，當(dāng)元素個(gè)數(shù)2時(shí)，譬如ai,a2,a3,a4同時(shí) 進(jìn)行運(yùn)算： a1 a2 a3 a4 ，這已經(jīng)超出了我們定義的范圍，這個(gè)符號(hào) 至少現(xiàn)在是沒有意義的。? 對(duì)四個(gè)元素我們可以進(jìn)行兩兩運(yùn)算，進(jìn)行了三次后就能算出結(jié)果。 兩兩運(yùn)算的過程叫做加括號(hào)。加括

2、號(hào)的方法顯然不止一種：(a1 a2) a3 a4；a1 (a2 a3) a4；(a1a2 ) (a3 a4)加括號(hào)的方法不一樣，其運(yùn)算的結(jié)果是否一樣？例 1：設(shè) A Z, “”是整數(shù)中的減法：則特取 2,5,3 Z ，(2 5) 36 ，而 2 (5 3) 0(2 5) 3 2 (5 3)其運(yùn)算的結(jié)果不一樣。例 2：設(shè) A Z,“ ”是整數(shù)中的加法：則r,s,t Z,(r s) t r (s t)定義1:設(shè) 是集合A的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果 a,b,c A都有(a b) c a (b c) ，則稱 滿足結(jié)合律。例2、“ + ”在Z中適合結(jié)合律。例1、“-”在Z中不滿足結(jié)合律。思考題: 就結(jié)合律成立

3、與交換律不成立分別各舉一例。上述實(shí)例告誡我們，并不是每一個(gè)代數(shù)運(yùn)算都能滿足結(jié)合律的。、/ I '。宀注意: 定義2 :設(shè)A中的代數(shù)運(yùn)算為，任取n(n 2)個(gè)元素 ai,a2, ,an，如果所有加括號(hào)的方法最后算出的結(jié)果是一樣的，那么這個(gè)結(jié)果就用ai a2an來表示。注意： 從定義 2 可知，“ a1 a2an” (n 2) 也可能是有意義的。定理1( p11.定理)：如果A的代數(shù)運(yùn)算 滿足結(jié)合律，那么 對(duì)于A的任意n(n 2)個(gè)元素ai,a2, ,an來說，所有加括號(hào)的方法運(yùn)算的結(jié)果總是唯一的，因此，這一唯一的結(jié)果就可用a1 a2an 來表示。證明：因n是有限數(shù)，所以加括號(hào)的方法必是有

4、限的。?任取一種加括號(hào)的方法(ai a2a.)，往證:(a1 a2an) a1 (a2an)對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立。假設(shè)對(duì)n，結(jié)論成立,bi和b2分別是i和ni 個(gè)元素經(jīng)加括號(hào)而運(yùn)算的結(jié)果 .i n i,n in i ，由歸納假設(shè)，(ai a2an ) bib2 ai (a2ai) ai iai 2an ai( a2ai) ai i ai 2anaia2aiai iai 2an 。§5、交換律即所有加括號(hào)的方法運(yùn)算的結(jié)果是唯一的。設(shè) (a1 a2an) b1 b2 ，定義3 :設(shè) 是集合A的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果 a,b A都有a b b a ，則稱 滿足交換律。定理2

5、:設(shè)A的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)滿足結(jié)合律和交換律，那么ai a2an中的元的次序可以任意掉換。證明: 用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng) n=2 時(shí)定理成立，假設(shè)當(dāng)元素的個(gè)數(shù)為 n 1時(shí)，定理成立，元素的個(gè)數(shù)為 n 時(shí)，設(shè)ai1oai2 oL oain是ai,a2,L ,an的按任意一個(gè)次序相乘的結(jié)果。這里的兒是1， 2， Ln的一個(gè)排列，而a, ai2, L赳是ai, L ©的一個(gè)排列。因此，有aik an 。所以，ai oai oL oai (ai oai oL oai )oan o(ai oL oai )i1 i2i ni1 i2ik 1n ik 1in(ai1oai2oL oaik1)o(aik1 oL

6、 oain)oan(ai1oai2 oL oaik1)o(aik1 oL oain)oan (ai1oai2oL oaik1oaik1 oL oain)oan a1 oa2 oL oan滿足交換律的運(yùn)算一般用“ + ”表示。§6、分配律定義4 :設(shè)代B都是集合，而e是B A A的代數(shù)運(yùn)算，而是A的代數(shù)運(yùn)算，如果 b B, ai,a2 A，都有be (a1 a2) (be a1) (be a2)那么稱 e, 滿足左分配律 。定理3 :設(shè)代B和e,如上，如果 滿足結(jié)合律，且e,滿足左分配 律，那么 b B, a1,a2, ,an A， 都有be (a1 a2 L an) (be a1)

7、(be a2) L (be an)論證思路? 采用數(shù)學(xué)歸納法，歸納假設(shè) n 1時(shí)命題成立。定義5 :設(shè)代B和e,同上，若b B, ai,a2 A，若有(a1 a2)e b (a1 e b) (a2 e b) ，那么稱 e , 滿足右分配律定理4 :設(shè)代B和e,同上，若 適合結(jié)合律，而e ,適合右分配律。那么b B, ai,a2,L ,a“ A,都有(ai L a“)ebe b) L (an e b)。注意:定義 4 與定義 5，、定理 3 與定理 4 是對(duì)稱的兩對(duì)概念，所以 定理 4 的證明可依據(jù)定理 3 的思路解之。作業(yè): P12 ， P16 。映射，同態(tài)及同構(gòu)§7、1、一一映射（

8、雙射。Bijection ）在高等代數(shù)中，已對(duì)各類映射作了系列性的介紹，這里只簡(jiǎn)要的 復(fù)習(xí)。定義1、設(shè) 是集合A到A的映射，且 既是單的又是滿的，則稱 是 一個(gè)一一映射（雙射）。定理1：設(shè) 是A到A的一個(gè)雙射，那么由可誘導(dǎo)出（可確定出）A到A的一個(gè)雙射1 （通常稱1是 的逆映射）結(jié)論：設(shè):A A是映射，那么：（1） 是雙射可唯一的確定一個(gè)逆映射1：A A，使得：?11A，11a ；? 也是1的逆映射，且（1） 1；（2）是雙射 A與A同時(shí)是有限集或同時(shí)是無限集。2、 變換（transformation） 定義2 :設(shè):A A是映射，那么稱為A的變換。當(dāng) 是雙射（單射，滿射）時(shí)，也稱為一一變換（

9、單射變換,滿射變換）例 2P19§、同態(tài)（Homomorphism ）比較代數(shù)系統(tǒng)的一種方法定義3:設(shè)集合代a都各有代數(shù)運(yùn)算r (稱A,及A：為代數(shù)系統(tǒng))而:A A是映射，且滿足下面等式：a,b A, (a b)(a)(b)(習(xí)慣上稱 可保持運(yùn)算)那么稱是A到A的同態(tài)映射。例3、設(shè):Z A 1, 1，其中Z, 中的代數(shù)運(yùn)算 就是Z中的加法，而A/中的代數(shù)運(yùn)算為數(shù)中的乘法?，F(xiàn)設(shè)(n)1, n乙那么(2)1,1,而(2 3)(2 3)(5)1,(2)(3)( 1)_( 1)( 1) ( 1) 111,即(2 3)_ (3)不是同態(tài)映射。例4、設(shè)Z, 與A/同例3，今設(shè):ZA為(n) 1,

10、 n Z，那么m, n Z, (m n) 1, (m) (n)1 11(m n) (m) (n),即 是Z到A的同態(tài)映射如果同態(tài)映射 是單射(滿射)，那么自然稱 是同態(tài)單射(同態(tài)滿射)，而在近世代數(shù)中，同態(tài)滿射是尤其重要的。定義4 :若 是A, 到A/的同態(tài)滿射，那么習(xí)慣上稱A與N同態(tài)，并記為AA ；習(xí)慣上稱A是A的同態(tài)象.定理1.如果 是A, 到A；的同態(tài)滿射，那么(1 )若 滿足結(jié)合律也適合結(jié)合律；(2)若 滿足交換律也適合交換律.證明：(1)任取a,b,c代因 是滿射 a,b,c代使(a) a, (b) b，又因?yàn)锳中的滿足結(jié)合律a (b c) (a b) c(a (b c)(af(bc

11、)(af(b) (c)a(bC)(a b) c)(abf(c) (af(b)f (c)麗乙所以 a (b c) (a b) c同理可以證明(2)定理2、設(shè)A, , 和A,都是代數(shù)系統(tǒng)，而映射:A A關(guān)于，以及，都是同態(tài)滿射，那么：(1) 若，滿足左分配律廠也適合左分配律；(2) 若，滿足右分配律廠也適合右分配律。證明：(1) a,b,c 代因 是滿射 a,b,c A,使(a) a, (b) b, (c) c.又因?yàn)槭顷P(guān)于，及，的同態(tài)映射廠(b_J廠(2廠(c) a (b c)(a b) (a c)(a b) (a c)心廠(b) (a)_ (c)(Jb)_(丁c)即 a (b c) (a b)

12、 (a c).同理可證明(2)。思考題1 :在定理1及定理2中，都要求映射 是滿射，似 乎當(dāng) 是同態(tài)滿射時(shí)，才能將A中的代數(shù)性質(zhì)(結(jié)合律、交 換律及分配律)“傳遞”到A中，那么：(1) 當(dāng) 不是滿射時(shí)，“傳遞”還能進(jìn)行嗎？(即定理1，2 成立嗎？)(2) 即使 是滿射，“傳遞”的方向能改變嗎？(即A中的性質(zhì)能“傳遞”至U A中去嗎？）§9、一、同構(gòu) （isomorphism ）定義4、設(shè) 是A,到A；的同態(tài)映射，若是個(gè)雙射，那么稱 是同構(gòu)映射，或稱A與A同構(gòu)，記為A A。例 6、設(shè) A Z 1,2,3, , A Z 1, 2, 3, ,而 與都是整數(shù)中通常的加法“ + ”，現(xiàn)作:A,

13、 代其中（n） n, n A，那么是同構(gòu)映射.事實(shí)上，（1） 是單射:n, mA且 n m,(n)nm（m）是單射.(2)是滿射：t A,t A,且（t)(t) t A是滿射.(3)是同態(tài)映射n, m A, (nm)(n m)(nm) ( n) ( m)(n)(m)(n m)(n)(m)由（1），（ 2），（ 3 ）知，是同構(gòu)映射，即A A 定理3、設(shè)是A, , 到a/7的同構(gòu)映射，那么（1） “ ”適合結(jié)合律“”也適合結(jié)合律；（2） “ ”適合交換律“”也適合交換律；（3）“”和“+”滿足左（右）分配律和“一”滿足左（右）分配律。注意：由上述表明，同構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)體系由運(yùn)算所帶來的規(guī)律性是相

14、同的，因此，同構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)體系盡管可能有這樣或那樣的差別，但 從近世代數(shù)的宗旨來看，我們自然認(rèn)為：它們的差別是表面上的，次 要的，而它們的共同點(diǎn)一一運(yùn)算所體現(xiàn)的規(guī)律性則是本質(zhì)的，主要的。于是，我們需要闡明近世代數(shù)的觀點(diǎn)是：凡同構(gòu)的代數(shù)體系都認(rèn)為是 （代數(shù)）相同的。在上述的觀點(diǎn)下，一個(gè)代數(shù)體系經(jīng)同構(gòu)映射而保持不變的性質(zhì)叫 做它的代數(shù)性質(zhì)。于是，由代數(shù)運(yùn)算所表述的任意一個(gè)性質(zhì)都是代數(shù) 性質(zhì)。我們將代數(shù)體系的代數(shù)性質(zhì)的總合統(tǒng)稱為它的代數(shù)結(jié)構(gòu)。因此,同構(gòu)的代數(shù)體系由于完全相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。 研究代數(shù)體系的首要目的 就是確定所有互不同構(gòu)的代數(shù)體系以及它們的代數(shù)結(jié)構(gòu)。而為了確定一個(gè)代數(shù)體系的代數(shù)結(jié)構(gòu)，只須讓它與一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)已經(jīng)清楚的代數(shù) 體系同構(gòu)則可。思考題 1 ：設(shè) N 0,1,2,3, , N 1,2,3, ，試證：N , 與N, 不可能同構(gòu).思考題2 :試證：（1）Z, 與乙不同構(gòu).（2） Q, 與Q ,不同構(gòu)（其中Q為非零有理數(shù)集）.（3）設(shè)F為數(shù)域，A （矽耳心包怡 F F4x1 x2Axi F M2(F)X3 X4試證：A, 與A是同構(gòu)的。(其中“ + ”為數(shù)組間的加法，“一”為 矩陣的加法)思路：(1 )(反證法)若N N，且是N到N的同構(gòu)映射。貝卩(1)1,令(0) a( a 1), a (0)(0 0)(0) (0) a a 1,(2)(反