圓周角和圓心角的關(guān)系教案二

1、圓周角和圓心角的關(guān)系教學(xué)目標(biāo)（一 ）教學(xué)知識點(diǎn)1掌握圓周角定理幾個推論的內(nèi)容2會熟練運(yùn)用推論解決問題（二 ）能力訓(xùn)練要求1培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及理解問題的能力2在學(xué)生自主探索推論的過程中，經(jīng)歷猜想、推理、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學(xué)習(xí)方式（三 ）情感與價值觀要求培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和解決問題的能力教學(xué)重點(diǎn)圓周角定理的幾個推論的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)理解幾個推論的“題設(shè)”和“結(jié)論”教學(xué)方法指導(dǎo)探索法教具準(zhǔn)備投影片三張第一張：引例（記作§3 3 2A）第二張：例題（記作§3 3 2B）第三張：做一做（記作§3 3 2C）教學(xué)過程1 .創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課師 請同學(xué)們回憶一下我們前幾節(jié)

2、課學(xué)習(xí)了哪些和圓有關(guān)系的角？它們之間有什么關(guān)系？生 學(xué)習(xí)了圓心角和圓周角、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即圓周角定理師 我們在分析、證明上述定理證明過程中，用到了些什么數(shù)學(xué)思想方法？生分類討論、化歸、轉(zhuǎn)化思想方法.師同學(xué)們請看下面這個問題：（出示投影片§ 3. 3. 2A） 已知弦AB和CD交于。O內(nèi)一點(diǎn)P,如下圖.求證：PA - PB=PC - PD.PA PC師生共析要證PA - PB= PC - PD,可證 -C .由此考慮證明PA、PC PD PB為邊的三角形與以PD、PB為邊的三角形相似.由于圖中沒有這兩個三角形，所 以考慮作輔助線 AC和BD.要證PACs/X

3、PDB.由已知條件可得/ APC與/ DPB相等.如能再找到一對角相等.如/A=/D或/C=/B.便可證得所求結(jié) 論.如何尋找/ A=/D或/C=/B.要想解決這個問題，我們需先進(jìn)行下面的 學(xué)習(xí).n.講授新課師請同學(xué)們畫一個圓，以A、C為端點(diǎn)的弧所對的圓周角有多少個？（至少 畫三個）它們的大小有什么關(guān)系？你是如何得到的？生AC所對的圓周角有無數(shù)個，它們的大小相等，我是通過度量得到的.師大家想一想，我們能否用驗(yàn)證的方法得到上圖中的/ ABC= / ADC = /AEC?（同學(xué)們互相交流、討論）生由圖可以看出，/ ABC、/ ADC和/AEC是同弧（AC）所對的圓周角，根據(jù)上節(jié)課我們所學(xué)的圓周角定

4、理可知，它們都等于圓心角/AOC的一半，所以這幾個圓周角相等.師通過剛才同學(xué)的學(xué)習(xí)，我們上面提出的問題/ A=/D或/C=/B找到 答案了嗎？生找到了，它們屬于同弧所對的圓周角.由于它們都等于同弧所對圓心角 的一半，這樣可知/ A=/D或/C=/B.師如果我們把上面的同弧改成等弧，結(jié)論一樣嗎?生一樣，等弧所對的圓心角相等，而圓周角等于圓心角的一半.這樣，我 們便可得到等弧所對的圓周角相等.師通過我們剛才的探討，我們可以得到一個推論. 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.師若將上面推論中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，結(jié)論成立嗎? 請同學(xué)們互相議一議.生如下圖，結(jié)論不成立.因?yàn)橐粭l弦

5、所對的圓周角有兩種可能，在弦不是 直徑的情況下是不相等的.注意：“同弧”指“(2) “等弧”指“在同圓或等圓中”.(3) “同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”.師接下來我們看下面的問題：如下圖，BC是。的直徑，它所對的圓周角是銳角、直角，還是鈍角？你 是如何判斷的？(同學(xué)們互相交流、討論)0生直徑BC所對的圓周角是直角，因?yàn)橐粭l直徑將圓分成了兩個半圓，而 半圓所對的圓心角是/ BOC=180° ,所以/ BAC=/90° .師反過來，在下圖中，如果圓周角/ BAC=90° ,那么它所對的弦BC經(jīng) 過圓心O嗎？為什么？生弦BC經(jīng)過圓心O,因?yàn)閳A周角/ BAC=90&

6、#176; .連結(jié)OB、OC,所以圓 心角/BOC=180° ,即BOC是一條線段，也就是BC是。的一條直徑.師通過剛才大家的交流，我們又得到了圓周角定理的又一個推論：直徑所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑.注意：這一推論應(yīng)用非常廣泛，一般地，如果題目的已知條件中有直徑時， 往往作出直徑上的圓周角一一直角；如果需要直角或證明垂直時，往往作出直徑 即可解決問題.師為了進(jìn)一步熟悉推論，我們看下面的例題.（出示投影片§ 3. 3. 2B）例如圖示，AB是。的直徑，BD是。的弦，延長BD到C,使AC = AB,BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么?師生共析由于AB是。的

7、直徑，故連接AD.由推論直徑所對的圓周角是 直角，便可得ADXBC,又因?yàn)?ABC中，AC = AB,所以由等腰三角形的三線 合一，可證得BD=CD.下面哪位同學(xué)能敘述一下理由？生BD = CD.理由是：連2AD .AB是。的直徑, ./ADB=90即 ADXBC.又= AC=AB, .BD = CD.師通過我們學(xué)習(xí)圓周角定理及推論，大家互相交流，討論一下，我們探索 上述問題時，用到了哪些方法？試舉例說明.生在得出本節(jié)的結(jié)論過程中，我們用到了度量與證明的方法.比如說在研 究同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；還學(xué)到了分類與轉(zhuǎn)化的方法.比 如說在探索圓周角定理過程中，定理的證明應(yīng)分三種情況

8、，在這三種情況中，第 一種情況是特殊情況，是證明的基礎(chǔ)，其他兩種情況都可以轉(zhuǎn)化為第一種情況來 解決.再比如說，學(xué)習(xí)圓周角定義時，可由前面學(xué)習(xí)到的圓心角類比得出圓周角 的概念m. P107 隨堂練習(xí)1 .為什么有些電影院的坐位排列（橫排）呈圓弧形？說一說這種設(shè)計的合理 性.答：有些電影院的坐位排列呈圓弧形， 這樣設(shè)計的理由是盡量保證同排的觀 眾視角相等.2 .如下圖，哪個角與/ BAC相等？答：/BDC = /BAC.3 .如下圖，。的直徑AB=10cm, C為。上的一點(diǎn)，/ ABC=30° ,求AC的長.解：:AB為。的直徑. ./ACB=90° .又 /ABC=30

9、76; ,.AC=1AB=1 X10= 5(cm).224.小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好為半圓形.根據(jù)下圖，你能判斷 哪個是半圓形？為什么？IV .下面我們一起來看一個問題：做一做(出示投影片§ 3. 3. 2C) 船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁.如下圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過 A、B兩點(diǎn)的一個圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個危 險臨界點(diǎn)，/ ACB就是“危險角”.當(dāng)船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時， 就有可能觸礁；當(dāng)船與兩個燈塔的夾角小于“危險角”時，就能避免觸礁.(1)當(dāng)船與兩個燈塔的夾角/ a大于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什 么？(2)當(dāng)船

10、與兩個燈塔的夾角/ a小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什 么？分析：這是一個有實(shí)際背景的問題.由題意可知：“危險角” / ACB實(shí)際 上就是圓周角.船P與兩個燈塔的夾角為/ a , P有可能在。外，P有可能在 。0內(nèi)，當(dāng)/ a>/C時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)；當(dāng)/ a</C時，船位于暗礁區(qū) 域外，我們可采用反證法進(jìn)行論證.解：(1)當(dāng)船與兩個燈塔的夾角/ a大于“危險角” / C時，船位于暗礁區(qū)域 內(nèi)(即OO內(nèi)).理由是：連2SBE,假設(shè)船在。上，則有/ a=/C,這與/ a>/C矛盾，所以船不可能在。上；假設(shè)船在。外，則有/ a</AEB,即/ a</C,這與/

11、a>/C矛盾，所以船不可能在。外.因此，船只能位于。內(nèi).(2)當(dāng)船與兩個燈塔的夾角/ a小于“危險角” /C時，船位于暗礁區(qū)域外(即 。0外).理由是：假設(shè)船在。上，則有/ a = /C,這與/ a </C矛盾，所以船不可能在 /O上；假設(shè)船在。O內(nèi)，則有/ a >/AEB,即/ a >/ C.這與/ a<ZC 矛盾，所以船不可能在。內(nèi)，因此，船只能位于。外.注意：用反證法證明命題的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾.(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.V .課時小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的2個推

12、論，結(jié)合我們上節(jié)課學(xué)到的圓周角定 理，我們知道，在同圓或等圓中，根據(jù)弦及其所對的圓心角、弧、弦、弦心距之 間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了圓中這些量之間相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化， 而圓周角定理建立了圓心角 與圓周角之間的關(guān)系，因此，最終實(shí)現(xiàn)了圓中的角 (圓心角和圓周角).線段(弦、 弦心距)、弧等量與量之間相等關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，從而為研究圓的性質(zhì)提供了有 力的工具和方法.VI .課后作業(yè)課本P108習(xí)題3. 5vn.活動與探究1.如下圖，BC為。的直徑，ADLBC于D, P是AC上一動點(diǎn)，連結(jié)PB 分別交AD、AC于點(diǎn)E、F.當(dāng)PA AB時，求證：AE=EB;當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時，AF=EF.證明你的結(jié)論.過程(1)連結(jié) AB,證 AE=EB.需證/ABE=/BAE.(2)執(zhí)果索因?qū)l件：要 AF = EF,即要/A=/AEF,而/AEF=/BED,而要/A=/BED,只需/B=/C,從而轉(zhuǎn)化為PC AB.結(jié)果(1)證明：延長AD交。O于點(diǎn)M,連結(jié)AB、BM.BC為。的直徑，ADLBC于D.AB BM . ./ BAD=/ BMD.又 ; AB AP , ./ABP= / BMD. ./ BAD=/ABP. .AE=BE.當(dāng) PC AB 時，AF=EF.證明：:PC AB, ./ P