三元一次方程組提高知識講解

1、三元一次方程組(提升)知識講解【學(xué)習目標】1 .理解三元一次方程(或組)的含義；2 .會解簡單的三元一次方程組；3 .會列三元一次方程組解決有關(guān)實際問題.【要點梳理】要點一、三元一次方程及三元一次方程組的概念1 .三元一次方程的定義：含有三個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程.如x+y-z=1,2a- 3b+4c=5等都是三元一次方程.要點詮釋：(1)三元一次方程的條件： 是整式方程,含有三個未知數(shù), 含未知數(shù)的項的最高次數(shù) 是1次.(2)三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0 ,其中a、b、c不為零.2 .三元一次方程組的定義：一般地,由幾個一次方程組成,并且含有三個

2、未知數(shù)的方程組,叫做三元一次方程組.要點詮釋：(1)三個方程中不一定每一個方程中都含有三個未知數(shù),只要三個方程共含有三個未知量即可.(2)在實際問題中含有三個未知數(shù),當這三個未知數(shù)同時滿足三個相等關(guān)系時,可以建立 三元一次方程組求解.要點二、三元一次方程組的解法解三元一次方程組的一般步驟(1)利用代入法或加減法, 把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組,消去兩組中的同一個未知數(shù),得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；(2)解這個二元一次方程組,求出兩個未知數(shù)的值；(3)將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比擬簡單的方程,得到一個一元一次方程；(4)解這個一元一次方程,求出最后一

3、個未知數(shù)的值；(5)將求得的三個未知數(shù)的值用“合寫在一起.要點詮釋：(1)解三元一次方程組的根本思路是：通過“代入或“加減消元,把“三元化為“二元.使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組,進而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.其思想 方法是：嚙Jr . 喑#三元一次方程A二元一次方程細 -一元二次方程(2)有些特殊的方程組可用特殊的消元法,解題時要根據(jù)各方程特點尋求其較簡單的解法.要點三、三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：1 .弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系,用字母(如x, y, z)表示題目中的兩個(或三個)未知數(shù);2 .找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；3 .根據(jù)這些相等關(guān)系列

4、出需要的代數(shù)式,從而列出方程并組成方程組；4 .解這個方程組,求出未知數(shù)的值；5 .寫出答案(包括單位名稱).要點詮釋：(1)解實際應(yīng)用題必須寫 “答,而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義,檢查求得的結(jié)果是否合理,不符合題意的應(yīng)該舍去.(2) “設(shè)、“答兩步,都要寫清單位名稱,應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一.(3)一般來說,設(shè)幾個未知數(shù),就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】 類型一、三元一次方程及三元一次方程組的概念& 1,以下方程組不是三元一次方程組的是().工 x y =11x2-4 =0 工 x=2心-x-1III|A.2y+z = -2B.y+1=x C. 2y=-3 D. x +

5、z=3、3y =6xy-z = 3x-z = 1、2y z=1【思路點撥】根據(jù)三元一次方程組的定義來求解,對A、B C、D四個選項進行一一驗證.【答案】B解：由題意知,含有三個相同的未知數(shù),每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1次,并且一共有三個方程,叫做三元一次方程組.A、滿足三元一次方程組的定義,故A選項錯誤；B x2-4=0,未知量x的次數(shù)為2次,不是三元一次方程,故B選項正確；C滿足三元一次方程組的定義,故C選項錯誤；D滿足三元一次方程組的定義,故D選項錯誤；應(yīng)選B.【總結(jié)升華】三元一次方程組中的方程不一定都是三元一次方程,并且有時需對方程化簡后再根據(jù)三元一次方程組的定義進行判斷.類型二、

6、三元一次方程組的解法眇x+y2. (2021 春?蘇州校級期末)假設(shè) x： v： z=2: 7: 5, x - 2y+3z=6 ,求一的值.【思路點撥】 根據(jù)x： y： z=2 ： 7 ： 5,設(shè)x=2k , y=7k , z=5k,代入x - 2y+3z=6得出方程, 求出方程的解,即可求出 x、y、z的值,最后代入求出即可.【答案與解析】解：x： y: z=2: 7: 5,. .設(shè) x=2k, y=7k , z=5k,代入 x- 2y+3z=6 得：2k- 14k+15k=6 ,解得：k=2 ,1. x=4 , y=14 , z=10,x+y 4+14z 1Q=0.18.【總結(jié)升華】 假設(shè)

7、某一方程是比例形式,那么先引入?yún)?shù),后消元.舉一反三fx:2 = y:3,【變式】解方程組Jy:4=z:5,x -2y +3z =29 【答案】2 一斛：由,得3x = 2y,即x = y,35 由,得5y = 4z,即z = y,4215把、代入,得 y2y+y=29. 34解得y=12.把代入,得x=8,把代入,得 z=15.x = 8,所以原方程組的解為y=12,I z =15.卜+ y=3a "3.方程組?y +z =5a的解使得代數(shù)式x-2y+3z的值等于-10,求a的值. z + x = 4a 【思路點撥】 由題意可知,此方程組中的 a是數(shù),x、y、z是未知數(shù),先解方程組

8、,求 出x, y, z(含有a的代數(shù)式),然后把求得的x、v、z代入等式x-2y+3z=-10,可得關(guān)于a 的一元一次方程,解這個方程,即可求得a的值.【答案與解析】解法一：-,得z-x = 2a +,得 2z=6a, z= 3a把z= 3a分別代入和,得 y=2a, x=a. x =a y = 2a -I z = 3a把* = 2, y = 2a, z = 3a 代入 x-2y+3z = 10 得a-2x 2a+3X 3a=-10.一 5 斛得a 二 一一.3解法二：+,得2(x+y+z) = 12a.即 x+y+z=6a -,得z=3a,-,得x=a,-,得y=2a.x = a I c y

9、 = 2a, z = 3a把* = 2, y = 2a, z = 3a 代入 x-2y+3z = 10 得a-2x 2a+3X 3a=-10.一 5解得a - -5.3【總結(jié)升華】當方程組中三個方程的未知數(shù)的系數(shù)都相同時,可以運用此題解法 2中的技巧解這類方程組.舉一反三:什x3y+z=0 nt.【變式】右 W,那么x： y： z=.3x -3y -4z =0 【答案】15:7:6類型三、三元一次方程組的應(yīng)用C4.涼山甲、乙、丙三塊地,草長得一樣密,一樣快,甲地3；公頃可供12頭牛吃4周；乙地10公頃可供21頭牛吃9周,求丙地24公頃可供幾頭牛吃 18周？【思路點撥】 此題草地上原有一些草,其

10、數(shù)量不知,草地上的草還在不停地生長,但生長的速度不知道,因此解題時應(yīng)把原有的草量、草的生長速度及每頭牛每周的食草量用字母表示, 設(shè)成輔助未知數(shù),再根據(jù)題意便可列出方程組.【答案與解析】解：設(shè)每公頃草地原有牧草akg,每周每公頃草地生長草bkg,每頭牛每周吃草 ckg,丙地24公頃地可供x頭牛吃18周."a+4父1% =4父12c 根據(jù)題意得由得1a3310a +9M10b =9父21c04a +18父 24b =18Mxc =54c5 代入,得x=36.9二一 c10答：丙地24公頃可供36頭牛吃18周.【總結(jié)升華】用三元一次方程組解答實際問題的方法與用二元一次方程組解答實際問題的方 法類似,根據(jù)題目給出的條件尋找相等關(guān)系是利用方程解應(yīng)用題的重要一環(huán).【變式】2021?黃岡中學(xué)自主招生有鉛筆、練習本、圓珠筆三種學(xué)習用品,假設(shè)購鉛筆 3 支,練習本7本,圓珠筆1支共需3.15元；