2011年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題及答案

1、2011年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題答案速查：一、選擇題（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）CBABDCDD二、填空題（9）（10）（11）（12）（13）（14）三、解答題（15）（16）（17）（18）略（19）（20）（I） ；（II） ，（21）（I） 的特征值為-1，1，0，對應的特征向量為， （II） （22）（I） 的概率分布為XY-10101/30101/301/3 （II） 的概率分布為Z-101P1/31/31/3 （III） （23）（） ；（） 一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，請將所選

2、項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）已知當時，與是等價無窮小，則（ ）（A）k=1, c =4 （B） k=1,c =4 （C） k=3,c =4 （D） k=3,c =4【答案】 （C）【考點】無窮小量的比較，等價無窮小，泰勒公式【難易度】【詳解】解析：方法一：當時，故選擇（C）.方法二：當時，故，選（C）.（2）已知函數(shù)在x=0處可導，且=0，則= （ ）（A） 2 （B） （C） （D） 0.【答案】（B）【考點】導數(shù)的概念【難易度】【詳解】解析：.故應選（B）（3）設是數(shù)列，則下列命題正確的是 （ ） （A）若收斂，則收斂 （B）若收斂，則收斂（C） 若收斂，則收斂 （D）若收斂，則

3、收斂【答案】（A）【考點】級數(shù)的基本性質(zhì)【難易度】【詳解】解析：由于級數(shù)是級數(shù)經(jīng)過加括號所構(gòu)成的，由收斂級數(shù)的性質(zhì)：當收斂時，也收斂，故（A）正確.（4）設，則的大小關(guān)系是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（B）【考點】定積分的基本性質(zhì)/4【難易度】【詳解】解析：如圖所示，因為時，因此，故選（B）（5）設為3階矩陣，將的第二列加到第一列得矩陣，再交換的第二行與第三行得單位矩陣，記，則= （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（D）【考點】矩陣的初等變換【難易度】【詳解】解析：由初等矩陣與初等變換的關(guān)系知，所以，故選（D）（6）設為矩陣，是非齊次線性方程組的個線性無關(guān)的解

4、，為任意常數(shù)，則的通解為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（C）【考點】線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)；非齊次線性方程組的通解【難易度】【詳解】解析：為的解，因為線性無關(guān)，故線性無關(guān)，為的解，故的通解為所以應選（C）. （7）設,為兩個分布函數(shù)，其相應的概率密度與是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度的是 （ ） （A） （B）（C） （D）+【答案】（D）【考點】連續(xù)型隨機變量概率密度【難易度】【詳解】解析：故選（D）.（8）設總體X 服從參數(shù)為的泊松分布，為來自該總體的簡單隨機樣本，則對于統(tǒng)計量和，有 （ ） （A）>,> （B）>,<（C）<,> （D

5、）<,<【答案】（D）【考點】隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望；隨機變量的數(shù)學期望的性質(zhì)【難易度】【詳解】解析：由于是簡單隨機樣本，且相互獨立，從而，故又，故選（D）.二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9） 設，則 .【答案】【考點】重要極限公式【難易度】【詳解】解析：所以有.（10） 設函數(shù)，則 .【答案】【考點】多元復合函數(shù)的求導法【難易度】【詳解】解析：兩邊取對數(shù)得，由一階微分形式不變性，兩邊求微分得 將，代入得（11） 曲線在點處的切線方程為 .【答案】【考點】隱函數(shù)微分法【難易度】【詳解】解析：兩邊對求導得，所以在點處，從而得到曲線在點處

6、的切線方程為.（12） 曲線，直線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 .x2y10【答案】【考點】定積分的應用【難易度】【詳解】解析：（13） 設二次型的秩為1，中各行元素之和為3，則在正交變換下的標準形為 .【答案】【考點】用正交變換化二次型為標準形【難易度】【詳解】解析：的各行元素之和為3，即所以是的一個特征值.又因為二次型的秩.因此，二次型的標準形為：.（14）設二維隨機變量服從正態(tài)分布，則= .【答案】【考點】數(shù)學期望的性質(zhì)；相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)【難易度】【詳解】解析：因為，所以，,又因為，所以，相互獨立.由期望的性質(zhì)有。三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指

7、定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）求極限【考點】無窮小量的比較；洛必達法則【難易度】【詳解】解析：當時，（16）（本題滿分10分）已知函數(shù)具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，是的極值，.求【考點】多元復合函數(shù)的求導法；二階偏導數(shù)；多元函數(shù)的極值【難易度】【詳解】解析：為的極值（17）（本題滿分10分）求不定積分【考點】不定積分的基本性質(zhì)；不定積分的換元積分法與分部積分法【難易度】【詳解】解析：其中是任意常數(shù).（18）（本題滿分10分）證明方程恰有兩個實根.【考點】閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】【詳解】解析：令，則當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；

8、當時，單調(diào)遞減；又因為.是函數(shù)在上唯一的零點.又因為且由零點定理可知，使,方程恰有兩個實根.（19）（本題滿分10分）設函數(shù)在區(qū)間具有連續(xù)導數(shù)，且滿足, ，求的表達式.【考點】二重積分的計算；一階線性微分方程【難易度】【詳解】解析：因為，.兩邊對求導，得,解齊次方程得由，得. 所以函數(shù)表達式為.（20）（本題滿分11分）設向量組， 不能由向量組, , 線性表出.（I）求的值 ；（II）將，用，線性表出.【考點】向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)；矩陣的初等變換【難易度】【詳解】解析：（I）因為，所以線性無關(guān)，又因為不能由線性表示，所以，所以，所以（II）=故，（21）（本題滿分11分）為3階實對稱矩陣

9、，的秩為2，且（I）求的所有特征值與特征向量;（II）求矩陣.【考點】矩陣的秩；矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)；實對稱矩陣的特征值和特征向量【難易度】【詳解】解析：（I）因為所以，所以是的特征值，是對應的特征向量；是的特征值，是對應的特征向量.因知，所以是的特征值.設是屬于特征值的特征向量，因為為實對稱矩陣，所以不同特征值對應的特征向量相互正交，即 解得故矩陣的特征值為；特征向量依次為，其中均是不為0的任意常數(shù). （II）將單位化得，令，則所以.（22）（本題滿分11分）設隨機變量與的概率分布分別為XPY1P且.（I） 求二維隨機變量的概率分布；（II） 求的概率分布；（III） 求與的相關(guān)系數(shù).【考點】二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布；兩個隨機變量簡單函數(shù)的分布；相關(guān)系數(shù)【難易度】【詳解】解析：（I）因為，所以即又因為所以的概率分布為X Y-101Y00010X1（II） 的所有可能取值為-1，0，1 .的概率分布為Z-101p1/31/31/3 （） ，故，從而.（23）（本題滿分11分）設二維隨機變量服從區(qū)域上的均勻分布，其中是由與所圍成的三角形區(qū)域.（I）求的概率密度；（II）求條件