學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理

1、學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理學(xué)而思教材編寫組前言小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理, 對(duì)于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要,不過(guò),對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬(wàn)的現(xiàn)象,為此,本人參考了單尊主編的?小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?、中國(guó)少年報(bào)社主編的?華杯賽教材?、?華杯賽集訓(xùn)指南?以及學(xué)而思的?寒假班系列教材? 和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材,力圖打破原有體系,重新整合劃分,構(gòu)建十七塊體系其第十七為解題方法聚集,可補(bǔ)充相應(yīng)雜題,原那么上簡(jiǎn)明扼要,努力刻畫小學(xué)奧數(shù)知識(shí)的主樹干.概述一、 計(jì)算1.四那么混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算順序分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧 一般而言：加減運(yùn)算中,能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式； 乘除運(yùn)算中,統(tǒng)一以

2、分?jǐn)?shù)形式.帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)2 .簡(jiǎn)便計(jì)算湊整思想基準(zhǔn)數(shù)思想裂項(xiàng)與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運(yùn)算順序運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用連減的性質(zhì)連除的性質(zhì)同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)增減括號(hào)的性質(zhì)變式提取公因數(shù)形如：3 .估算求某式的整數(shù)局部：擴(kuò)縮法4 . 比較大小通分a. 通分母b. 通分子跟“中介比利用倒數(shù)性質(zhì)假設(shè),貝U cba.o形如：,貝U .5 .定義新運(yùn)算6.特殊數(shù)列求和運(yùn)用相關(guān)公式：1+2+3+4 (n-1)+n+ (n-1) +-4+3+2+1=n數(shù)論奇偶性問(wèn)題奇奇=偶 奇偶=奇 偶偶=偶奇x奇=奇 奇X偶=偶 偶X偶=偶2 .位值原那么形如： =100a+10b+c3 .數(shù)的整除特征：

3、整除數(shù)特 征4 末尾是 0、2、4、6、85 各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)6 末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和,兩者之差是11的倍數(shù)4和25 末兩位數(shù)是4 或25的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8 或125的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7 或11或13的倍數(shù)4 .整除性質(zhì) 如果c|a、c|b,那么c|a b. 如果bc|a,那么b|a, c|a. 如果 b|a, c|a,且b,c =1,那么 bc|a.如果c|b,b|a那么c|a. a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除.5 .帶余除法一般地,如果a是整數(shù),b是整數(shù)bw0,那么一定有另外兩個(gè)

4、整數(shù)q和r, 0Wrvb,使得a=bx q+r當(dāng)r=0時(shí),我們稱a能被b整除.當(dāng)rw0時(shí),我們稱a不能被b整除,r為a除以b的余數(shù),q為a除以b的不完全商亦簡(jiǎn)稱為商.用帶余數(shù)除式又可以表示為a+b=qr, 0 r b a=bxq+r6 .唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積,即n= p1 p2 .X pk7 .約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如 n= pl x p2 x.xpk那么：n 的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n 的所有約數(shù)和：(1+P1+P1 + p1 ) (1+P2+P2 + p2 )(1+Pk+Pk + pk )8 .

5、同余定理 同余定義：假設(shè)兩個(gè)整數(shù) a, b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù),那么稱a, b對(duì)于模m同余,用式子表示為 a三b(mod m)假設(shè)兩個(gè)數(shù)a, b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同,那么 a, b的差一定能被c整除.兩數(shù)的和除以 m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和.兩數(shù)的差除以 m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差.兩數(shù)的積除以 m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積.9 .完全平方數(shù)性質(zhì)平方差： A -B = (A+B ) (A-B ),其中我們還得注意 A+B , A-B同奇偶性.約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù).約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方.質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解,使他滿足積是平方數(shù)

6、.平方和.10 .孫子定理(中國(guó)剩余定理)11 .輾轉(zhuǎn)相除法12 .數(shù)論解題的常用方法：枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)3、 幾何圖形1 .平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N-2) X 180等積變形(位移、害U補(bǔ))三角形內(nèi)等底等高的三角形 平行線內(nèi)等底等高的三角形公共局部的傳遞性極值原理(變與不變)三角形面積與底的正比關(guān)系S1 ： S2 =a ： b ;S1 ： S2=S4 : S3 或者 S1X S3=S2X S4相似三角形性質(zhì)(份數(shù)、比例)； S1 ： S2=a2 : A2S1 ： S3 ： S2 ： S4= a2 ： b2 ： ab ： ab ; S= (a+b) 2 燕尾定

7、理SAABG : SAAGC = SA BGE : SAGEC=BE: EC;SA BGA : SA BGC = SAAGF : SAGFC = AF : FC;SA AGC : SABCG = SAADG : SADGB =AD: DB ; 差不變?cè)碇?-2=3,那么圓點(diǎn)比方點(diǎn)多 3.隱含條件的等價(jià)代換例如弦圖中長(zhǎng)短邊長(zhǎng)的關(guān)系.組合圖形的思考方法化整為零先補(bǔ)后去正反結(jié)合2 .立體圖形規(guī)那么立體圖形的外表積和體積公式不規(guī)那么立體圖形的外表積整體觀照法體積的等積變形水中浸放物體：V升水=V物測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開圖最短線路與展開圖形狀問(wèn)題染色問(wèn)題幾面染色的塊數(shù)與“芯、棱長(zhǎng)、

8、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系.4、 典型應(yīng)用題1 .植樹問(wèn)題開放型與封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系2 .方陣問(wèn)題外層邊長(zhǎng)數(shù)-2=內(nèi)層邊長(zhǎng)數(shù)外層邊長(zhǎng)數(shù)-1 X 4=外周長(zhǎng)數(shù)外層邊長(zhǎng)數(shù)2-中空邊長(zhǎng)數(shù)2=實(shí)面積數(shù)3 .列車過(guò)橋問(wèn)題車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)=速度x時(shí)間車長(zhǎng)甲+車長(zhǎng)乙=速度和X相遇時(shí)間車長(zhǎng)甲+車長(zhǎng)乙=速度差X追及時(shí)間列車與人或騎車人或另一列車上的司機(jī)的相遇及追及問(wèn)題車長(zhǎng)=速度和X相遇時(shí)間車長(zhǎng)=速度差X追及時(shí)間4 . 年齡問(wèn)題差不變?cè)? .雞兔同籠假設(shè)法的解題思想6 .牛吃草問(wèn)題原有草量=牛吃速度-草長(zhǎng)速度x時(shí)間7 .平均數(shù)問(wèn)題8 . 盈虧問(wèn)題分析差量關(guān)系9 .和差問(wèn)題10 . 和倍問(wèn)題11 .差倍問(wèn)題12 .逆推問(wèn)題復(fù)

9、原法,從結(jié)果入手13 .代換問(wèn)題列表消元法等價(jià)條件代換5、 行程問(wèn)題1 .相遇問(wèn)題路程和=速度和x相遇時(shí)間2 .追及問(wèn)題路程差=速度差x追及時(shí)間3 .流水行船順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速船速=順?biāo)俣?逆水速度+ 2水速=順?biāo)俣?逆水速度+ 24 .屢次相遇線型路程：甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)X 2-1環(huán)型路程：甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)其中甲共行路程=單在單個(gè)全程所行路程X共行全程數(shù)5 .環(huán)形跑道6 .行程問(wèn)題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用路程一定,速度和時(shí)間成反比.速度一定,路程和時(shí)間成正比.時(shí)間一定,路程和速度成正比.7 .鐘面上的追及問(wèn)題. 時(shí)針和分針成直線；時(shí)針和分針成直角.8 .結(jié)

10、合分?jǐn)?shù)、工程、和差問(wèn)題的一些類型.9 .行程問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流和“假定看成的思考方法.6、 計(jì)數(shù)問(wèn)題1 .加法原理：分類枚舉2 .乘法原理：排列組合3 .容斥原理：總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC常用：總數(shù)量=A+B-AB4 .抽屜原理：至多至少問(wèn)題5 .握手問(wèn)題在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛角、線段、三角形, 長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形正方形7、 分?jǐn)?shù)問(wèn)題1 . 量率對(duì)應(yīng)2 .以不變量為“ 13 .利潤(rùn)問(wèn)題4 .濃度問(wèn)題倒三角原理例：5 .工程問(wèn)題合作問(wèn)題水池進(jìn)出水問(wèn)題6 .按比例分配8、 方程解題1 .等量關(guān)系相關(guān)聯(lián)量的表示法例： 甲+乙 =100甲+乙=3x 100-x3x x解

11、方程技巧恒等變形2 .二元一次方程組的求解代入法、消元法3 .不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度4 .不等方程的分析求解九、找規(guī)律周期性問(wèn)題年月日、星期幾問(wèn)題余數(shù)的應(yīng)用數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d求項(xiàng)數(shù)：n=求和：S=等比數(shù)列求和：S=裴波那契數(shù)列策略問(wèn)題搶報(bào)30放硬幣最值問(wèn)題最短線路a.一個(gè)字符陣組的分線讀法b.在格子路線上的最短走法數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題a.統(tǒng)籌方法b.烙餅問(wèn)題十、 算式謎1 .填充型2 . 替代型3 .填運(yùn)算符號(hào)4 . 橫式變豎式5 .結(jié)合數(shù)論知識(shí)點(diǎn)十一、數(shù)陣問(wèn)題1 .相等和值問(wèn)題2 .數(shù)列分組 知行列數(shù),求某數(shù) 知某數(shù),求行列數(shù)3 . 幻方奇階幻方問(wèn)題： 楊輝法羅伯法偶階幻方問(wèn)題： 雙偶階：對(duì)稱交換法 單偶階：同心方陣法十二、 二進(jìn)制1 .二進(jìn)制計(jì)數(shù)法二進(jìn)制位值原那么二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化二進(jìn)制的運(yùn)算2 .其它進(jìn)制十六進(jìn)制十三、 一筆回1 . 一筆畫定理：一筆畫圖形中只能有 0個(gè)或兩個(gè)奇點(diǎn)；兩個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)必須從一個(gè)奇點(diǎn)進(jìn),另一個(gè)奇點(diǎn)出;2 .哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈3 .多筆畫定理筆畫數(shù)=十四、邏輯推理1 .等價(jià)條件的轉(zhuǎn)換2 .列表法3 . 對(duì)陣圖競(jìng)賽問(wèn)題,涉及體育比賽常識(shí)十五、火柴棒問(wèn)題1 .移動(dòng)火柴棒改變圖形個(gè)數(shù)2 .移動(dòng)火柴棒改變算式,使之成立十六、智力問(wèn)題1 .突破思維定勢(shì)2 .某些