數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷及答案

1、安徽大學(xué)2021 2021學(xué)年第一學(xué)期?數(shù)理統(tǒng)計(jì)?測(cè)試試卷(B卷)院/系(閉卷時(shí)間120分鐘)年級(jí) 專業(yè) 姓名 學(xué)號(hào)題號(hào)一一三四五總分得分得 分一、選擇題(本大題共5小題,每題2分,共10分)1、設(shè)總體 X N(1, 9) , (Xi, X2JH,X9)是 X 的樣本,那么().一 X -1X -1(A)N(0, 1);(B)N(0, 1);_1_3一 X -1一 X -1(C)N(0, 1);(D) - N(0, 1).9.31 n _2、設(shè)X1,X2,.,Xn為取自總體XN(叫仃2)的樣本,X為樣本均值,s2=-Z(Xi -X)2, n id那么服從自由度為n -1的t分布的統(tǒng)計(jì)量為().

2、(A)石(X-卜)(B) n -1 (X - C)( C)可 n-1(X- N)( 口)"(X - N)ssn3、假設(shè)總體Xn(L.2),其中.2,當(dāng)樣本容量n保持不變時(shí),如果置信度1-o(減小,那么N的置信區(qū)問(A)長度變大；(B)長度變??；(C)長度不變；(D)前述都有可能4、在假設(shè)檢驗(yàn)中,分別用a, P表示犯第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的概率,那么當(dāng)樣本容量n一定時(shí),以下說法中正確的選項(xiàng)是().(B) 口增大時(shí)P也增大；(D) (A)和(B)同時(shí)成立.(A) 口減小時(shí)P也減小；(C) % P其中一個(gè)減小,另一個(gè)會(huì)增大;的最小二乘估計(jì),= Y-X0?是殘差向量,那么(B) Cov(?)

3、 =o2In X (XX),X '；(D) (A)、(B)、(C)都對(duì).得 分2分,共10分) 5、在多元線性回歸分析中,設(shè) 是0 ().(A) E =0 n； ?(C)是.2的無偏估計(jì)；n - p -1二、填空題(本大題共5小題,每題6、設(shè)總體X和Y相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布N0, 32,而X1X2 11X9 和丫1,|1|,乂是分別來自X和Y的樣本,那么U =芻刊二 服從的分布是.丫12 III 丫92一7、設(shè)格與其都是總體未知參數(shù)e的估計(jì),且反比必有效,那么反與W的期望與方差滿足 8、設(shè)總體XN也.2 , D2,n為樣本容量,總體均值N的置信水平為1-a的置 信區(qū)間為X -九,X

4、 +九,那么'的值為.9、設(shè)Xi,X2,.,Xn為取自總體XN也.2的一個(gè)樣本,對(duì)于給定的顯著性水平口,已知關(guān)于仃2檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)閆2以出1,那么相應(yīng)的備擇假設(shè)Hi為;得 分10、多元線性回歸模型Y =X0+w中,B的最小二乘估計(jì)是? = 三、計(jì)算題本大題共5小題,每題10分,共50分工丁、x 011、總體X的概率餐'度函數(shù)為f x=8 e ,其中未知參數(shù)e a 0 ,0,其它X1,X2,|,Xn為取自總體的一個(gè)樣本,求e的矩估計(jì)量,并證實(shí)該估計(jì)量是無偏估計(jì)12、設(shè)X1,X2,Xn是來自總體XPGJ的樣本,九A0未知,求九的最大似然估計(jì)量13、兩個(gè)總體 X與Y獨(dú)立,X(%52)

5、, 丫(422),屋 匕,仃；,仃；未知,_ 2(%/2,川/和(丫1,丫2,川,工2)分別是來自X和丫的樣本,求之的置信度為1-a的置信二 2區(qū)間.14、合格蘋果的重量標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)小于 0.005公斤.在一批蘋果中隨機(jī)取9個(gè)蘋果稱重,得 其樣本修正標(biāo)準(zhǔn)差為S =0.007公斤,試問：(1)在顯著性水平a=0.05下,可否認(rèn)為該批 蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差到達(dá)要求 (2)如果調(diào)整顯著性水平a =0.025,結(jié)果會(huì)怎樣(總25 (9) =19.023,瘟5(9)=16.919,瘟25 (8) =17.535 ,72.05 (8) =15.507 )15、設(shè)總體XN(a,1) , a為未知參數(shù),aR, XhX2

6、,Xn為來自于X的簡單隨機(jī) 樣本,現(xiàn)考慮假設(shè)：H.： a = a0, H1 :a # a°( a° 為數(shù))取口 =0.05,試用廣義似然比檢驗(yàn)法檢驗(yàn)此假設(shè)(寫出拒絕域即可) .(u0.025 = 1.96 , U0.05 =1.65, 7：.025(1)=5.024,*05 (1) = 3.841)四、證實(shí)題(本大題共2小題,每題10分,共20分)16、設(shè)總體X服從B(1,p)分布,(用僅馬為總體的樣本,證實(shí)X是參數(shù)p的一個(gè)UMVU E17、設(shè)XiJH,Xn是來自兩參數(shù)指數(shù)分布px；3二屋",*00的樣本,證實(shí)X,X是電8充分統(tǒng)計(jì)量.五、綜合分析題本大題共10分1

7、8、現(xiàn)收集了 16組合金鋼中的碳含量X及強(qiáng)度Y的數(shù)據(jù),求得x =0.125, y =45.788,16162 (Xi - x) =0.3024, i=116(xi -X)(yi - y) -25.5218,% (yi - y)2 -2432.4566.i 1i T(1)建立Y關(guān)于X的一元線性回歸方程 ?=伊.十禺x;(2) XtY 與 X 的線性關(guān)系做顯著性檢驗(yàn)(口=0.05, Fo.05(1,14)=4.60, t0.025(14) = 2.1448 , to.05(14) =1.7613).安徽大學(xué)2021 2021學(xué)年第一學(xué)期?數(shù)理統(tǒng)計(jì)?(B卷)測(cè)試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(每題

8、2分,共10分)1、A 2 、D3、C 4、C 5、B二、填空題(每題2分,共10分)6、t(9)7、E(給=E(g),D(W)；D(房)8二%/2v n9、仃R(lnLd) d九小九的最大似然估計(jì)值,九的最大似然估計(jì)量為10分13、解：設(shè)S12, s2分別表示總體X, 丫的樣本方差,由抽樣分 布定理知 仃2 10、 Cov( ?) =a2(XX )- 三、計(jì)算題(本大題共5小題,每題10分,共50分)二 1-x1n11、解：(1) v1 =E(X )= J xf (x)dx = L Ixe ®dx = 8 ,用 Vi =1£ Xi =X 代替,所以“n -c 1 n =&

9、#163; Xi =X . 5 分n y n(2) E(8)=E(X)=1£ ElXiXElXXH ,所以該估計(jì)量是無偏估計(jì). 10n y分x12、解：總體 X 的分布律為 p(x,K) = PX =x = ea,x = 12| x!設(shè)(Xi,X2,|, xn)為樣本(Xi, X2,|,Xn)的一個(gè)觀察值,似然函數(shù)nn , xn ,內(nèi)L=口 P(X=x)=n een 一, 4分iTiT X !I X !對(duì)數(shù)似然函數(shù)nlnL(7U = n?u+2 1xi ln 九一 ln( x !),i =1n=0, ? xin i 11 n(In L( ) =0,-nXi,i 1PE/2(n Tn

10、-1):二 F :二 F1_./2(n1 -1,n2-1)1 = 1-：=1 一口,s2/s2仃；s2/s2-;:;:1F1?2 (n1 1,n2 1) .2F(/2(ni _1,n2_1) J2 二 1 -2 C2置信度為 1 a 的 置 信 區(qū) 間 為s2/SF1_O：2(n1 -1,n2 -1)s2/s2F "2 (n1 - 1,n2 - 1)10分14、解：(1)也：仃< 0.005,22 n -1 S具體計(jì)算得:P_22 8 0.007=_ _2-0.00520.05 8=0.005,=2(8),那么應(yīng)有:22.05(8) = 15.507,= 15.68 >1

11、5.507,所以拒2假設(shè)H.,即認(rèn)為蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)未到達(dá)要求.(2)新設(shè)H.1E0.005,由溫25 =17.535,二廿2一=15.68 <17.535,貝U接受 0.005假設(shè), 求.即可以認(rèn)為蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)到達(dá)要10分15、解：似然函數(shù)為L(x1, ,xn;a) =1記(2 二)ngv(Xia2ide 一 ,從而, ,、1L(x1,xn；a0) =n7?(2 二)W' (Xi a)22 i zX e 一又參數(shù)a的極大似然估計(jì)為X ,于是1supL(x1, , xn; a) =n7?aR(2二)得似然比函數(shù)為supL(X1, ,xn；a) n _MX1,Xn) =R-

12、 - =exp-(X -a0)2),L(x1, ,xn；a0)2給定口 =0.05,得 20.05 = P(?-(x1, ,xn) A % | a = a0) = P°(n(X a0) a 21n 九0),由于當(dāng)H.成立時(shí),n(X-a.)22,此即月05(1)=3.84 = 2ln£,從而上述問題的拒絕域是10分W0 =n(X -a0)23.84).四、證實(shí)題(本大題共2小題,每題10分,共20分)16、證實(shí)：X的分布律為f(x; p)= px(1-p)1： x = 0,1 .容易驗(yàn)證f (x; p)滿足正那么條件,于是I(p) =E ln f(x;p)沖1P(1 - P)

13、另一方面1p(1 - p) 1Var( X) = Var( X) = -=,nn nl (p)即X得方差到達(dá)C-R下界的無偏估計(jì)量,故X是p的一個(gè)UMVUE10分17、證實(shí)樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為nV(x1_i_i. P(X1,III,%;")=(1' I刈_nx _n -ne -1 ,e* I x(1)叱,取t =(X,x(i), g(t;u)=()2口_nx _n -ne 口 I,h(xjl1 ,Xn) =1,故由因子分解定理,(X,x)是(N,e)充分統(tǒng)計(jì)10分五、綜合分析題(本大題共10分)18、解：(1)根據(jù)數(shù)據(jù)可以得到回歸系數(shù)的估計(jì)為16x (Xi -x)(Vi -y)i =116工(Xi -X)2i 125.52181x = 45.788 - 84.3975 0