線段的垂直平分線典型例題

1、典型例題例1.如圖，已知：在 ABC中， C 90 , A 30 , BD平分 ABC交 AC于D求證：D在AB的垂直平分線上.分析：根據(jù)線段垂直平分線的逆定理，欲證 D在AB的垂直平分線上，只需證明BD DA即可證明：C 90， A 30 （已知）， ABC 60（ Rt的兩個(gè)銳角互余）又 BD平分ABC （已知）1DBA 丄 ABC 30 A.2 BD AD （等角對(duì)等邊） D在AB的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線 段的垂直平分線上）.例2 .如圖，已知：在 ABC中，AB AC， BAC 120，AB的垂直平分 線交AB于E,交BC于 F。求證：CF 2BF。分析

2、：由于 BAC 120，AB AC，可得 B C 30，又因?yàn)镋F垂直 平分AB,連結(jié) AF,可得AF BF .要證CF 2BF，只需證CF 2AF，即證 FAC 90就可以了 .證明：連結(jié)AF, EF垂直平分AB （已知）二FA FB （線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩端點(diǎn)的距離相等） FAB B （等邊對(duì)等角） ABAC（已知）， BC（等邊對(duì)等角）又 BAC120 （已知）， BC30 （三角形內(nèi)角和定理） FAC 90 FC 2FA （直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半） FC 2FB說明：線段的垂直平分線的定理與逆定理都由三角形的全等證得，初學(xué)者往 往不習(xí)慣直接使用絕無僅

3、有垂直平分線的定理與逆定理， 容易舍近求遠(yuǎn)， 由三角 形全等來證題 .例3如圖，已知：AD平分 BAC , EF垂直平分AD，交BC延長(zhǎng)線于F,連 結(jié) AF。求證： B CAF 。分析：B與 CAF不在同一個(gè)三角形中，又 B， CAF所在的兩個(gè)三角 形不全等，所以欲證 B CAF ，不能利用等腰三角形或全等三角形的性質(zhì) . 那 么注意到 EF垂直平分 AD,可得FA FD，因此 FAD ADF，又因?yàn)镃AF FAD CAD ， B ADF BAD ，而 CAD BAD ，所以可證 明 CAF B.證明： EF垂直平分AD（已知）， FA FD （線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等

4、）. FADADF （等邊對(duì)等角） BADFBAD （三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），CAFFADCAD ，又 BADCAD（角平分線定義）， BCAF說明：運(yùn)用線段的垂直平分線的定理或逆定理， 能使問題簡(jiǎn)化， 如本例題中，EF垂直平分AD可以直接有結(jié)論FA FD，不必再去證明兩個(gè)三角形全等.例4如圖，已知直線I和點(diǎn)A,點(diǎn)B,在直線I上求作一點(diǎn)P,使PA PB.分析：假設(shè)P點(diǎn)已經(jīng)作出，則由PA PB，那么根據(jù)“到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”可知，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上而點(diǎn)P又在直線I上，則點(diǎn)P應(yīng)是AB的垂直平分線與垂線I的交點(diǎn)。作法： 1連結(jié) AB.2.作線段AB的垂直平分線，交直線I于點(diǎn)P.則 P 即為所求的點(diǎn) .說明：在求作一個(gè)點(diǎn)時(shí)，要考慮該點(diǎn)具備什么樣的特點(diǎn)，如它到