線性代數(shù)重要公式

1、1、行列式1. n行列式共有n2個(gè)元素，展開(kāi)后有n!項(xiàng)，可分解為2n行列式；2代數(shù)余子式的性質(zhì)： 、Aij和aij的大小無(wú)關(guān)； 、某行（列）的元素乘以 其它行（列）元素的代數(shù)余子式為 0 ； 、某行（列）的元素乘以 該行（列）元素的代數(shù)余子式為 A ；3代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij =（1）jAjAj =（-1Mij4. 設(shè)n行列式D :將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為 D,，則D, =（_1） D ； 將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90：，所得行列式為D2，則D2 =（一12" D ；將D主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D3，則D3二D ；將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D

2、4，則D 4二D ；5.行列式的重要公式： 、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積; 、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積 、上、下三角行列式（n (n A)(-1)F、二i ）:主對(duì)角元素的乘積; 匚和丄：副對(duì)角元素的乘積拉普拉斯展開(kāi)式：n( n -1)(-1)2CB=(一1嚴(yán) AIb范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積;特征值；6. 對(duì)于n階行列式A，恒有：，EA ='n Y （_1）kSj2，其中Sk為k階主子式;k=17. 證明A =0的方法：、A =-A ；、反證法;、構(gòu)造齊次方程組Ax二0，證明其有非零解;、利用秩，證明r（A） n ；、證明0是其特征值;2、矩陣1. a是n階可逆矩

3、陣：A -0 (是非奇異矩陣)；=r (A) =n (是滿秩矩陣)=A的行(列)向量組線性無(wú)關(guān)；=齊次方程組Ax =0有非零解；=b Rn， Ax =b總有唯一解；=A與E等價(jià)；=A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；=A的特征值全不為0；= ATA是正定矩陣；=A的行(列)向量組是Rn的一組基；=A是只"中某兩組基的過(guò)渡矩陣；2. 對(duì)于n階矩陣A : AA、A* A = AE無(wú)條件恒 成立;3. (A 節(jié)=(A*)(A 丄)T =( At )丄(A*)t ( At )*(AB)T =BtAt(AB)* = B* A*(AB)丄=BA 丄可求代數(shù)和;4. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭

4、；行列式是數(shù)值，5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 A、b可逆：:A若 A= A2 ,，則：FI、n>、A = A| AJIllAs,；'A O "7丄O .9 B2 B丿(主對(duì)角分塊)O A 1 O B 丄 B O A 亠 O(副對(duì)角分塊)(拉普拉斯)J 11、'A叮A i O ；(拉普拉斯)£ B丿 i_B七A丄B - /3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個(gè)m n矩陣A，總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：F = Er 0；I。° m遜等價(jià)類：所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣

5、；對(duì)于同型矩陣 A、B，若r(A)二r(B)二A B ；2行最簡(jiǎn)形矩陣： 、只能通過(guò)初等行變換獲得； 、每行首個(gè)非0元素必須為1 ； 、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為 0；3. 初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換) 、若(A , E)(E , X)，則A可逆，且X =A丄； 、對(duì)矩陣(A, B )做初等行變化，當(dāng) A變?yōu)镋時(shí)，B就變成AB，即：c(A，B)、(E , A "B)； 、求解線形方程組：對(duì)于 n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程Ax二b，如果(A,b(E, x)， 則A可逆，且x“七；4. 初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決

6、定：左乘為初等行矩 陣、右乘為初等列矩陣； 、人=.，左乘矩陣A，入乘A的各行元素；右乘， 入乘A的F各列元素；、一、f 1 丫1 1 、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)E (i, j)，且Eij) Ei仔，例如：1| =11；I 1丿I 1丿 、倍乘某行或某列，符號(hào)E ( i ( k)且E ( i ( 尸E1 i ( , ) )例如：kk1'1 ；-(k 式 0);k< 1丿、倍加某行或某列，符號(hào) E(ij(k),且 E(ij(k)-= E (ij(-k), 如 :1k、丄1-k、11:kH 0)；11J< 15. 矩陣秩的基本性質(zhì)： 、 0 _r( Am n) _min( m, n

7、)； 、r(At) =r(A)； 、若 ALI B，貝U r(A) = r(B)； 、若P、Q可逆，則r(A) =r(PA) =r(AQ) =r(PAQ)；(可逆矩陣不影響矩陣的 秩) 、max( r (A), r (B) _r(A, B) _ r (A) - r (B)；(探) 、r (A - B) < r (A) - r(B)；(探) 、r (AB 門 mi n( r (A), r (B)；(探) 、如果A是m n矩陣，B是n s矩陣，且AB二0,貝U：(探)I、B的列向量全部是齊次方程組 AX =0解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)；U、r (A)r (B) < nB 均為 n 階方陣，

8、則 r(AB)_r(A) r(B)-n ；6. 三種特殊矩陣的方幕： 、秩為1的矩陣：一定可以分解為 列矩陣(向量)行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律；/ 、1 a c 、型如0 1 b的矩陣：利用二項(xiàng)展開(kāi)式；e 0 1J二項(xiàng)展開(kāi)式：(a+b)n =c：an +C:anb1 協(xié)協(xié) 8：丄a1bn+C：bn =£ C：ambj ；m =0U、Cmnn(n -1)l|"( n - m 1) _ n! lL_2_3_-"|_mm!( n m)!C0 =C：in、組合的性質(zhì)：cm =c；cm/Cn-Cn'、cn =2nrcn =nC：；r出注：1、(a b)n展開(kāi)

9、后有n 1項(xiàng);12、利用特征值和相似對(duì)角化:、311 a2III31n/x1、b '321 322IH3 2 nx 2=ba43m13m 2IIIamn JE丿14丿am 1 x1 am 2 花 I" VnmXn =0二 Ax =b（向量方程，A為 m n 矩陣，m個(gè)方程，7伴隨矩陣：nr (A) = n、伴隨矩陣的秩：r(A*)二 1r (A) = n -1 ；1°r (A) :：: n1 、伴隨矩陣的特征值：A （AX =&X, A =|A A二 A X =1AX）；K扎 、A = A A丄、A| = An丄8. 關(guān)于A矩陣秩的描述： 、r（A）= n

10、, A中有n階子式不為0, n 1階子式全部為0；（兩句話） 、r（A） : n， A中有n階子式全部為0； 、r（A）_n，A中有n階子式不為0；9. 線性方程組：Ax =b，其中A為m n矩陣，貝U： 、m與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組 Ax=b有m個(gè)方程； 、n與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Ax=b為n元方程；10. 線性方程組Ax二b的求解： 、對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）； 、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成n元線性方程: ai x ' a12 x2 I | | ' a1 n xn

11、=ba21 x1 a22 x2 I I I a2n xn 二 R .bb2)g丿n個(gè)未知數(shù)）x "、® a2 III an）：2邛（全部按列分塊，其中E丿 、3! X! 32 X2 III anXn 二:（線性表出） 、有解的充要條件：r（A）= r（A，豪n （ n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1. m個(gè)n維列向量所組成的向量組 A :宀川1，歸構(gòu)成n m矩陣A二（宀宀山，m）；幷、 m個(gè)n維行向量所組成的向量組 B :聲，股,|山弟構(gòu)成ms矩陣B=氏；含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；2. 、向量組的線性相關(guān)、無(wú)關(guān) 二Ax=O有、無(wú)非零解；（齊次線

12、性方程 組） 、向量的線性表出二Ax=b是否有解；（線性方程組） 、向量組的相互線性表示二AX=B是否有解；（矩陣方程）3矩陣Amn與Bln行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組AX= 0和Bx= 0 同解；（Poi 例 14）4. r （ AtA ）=. r （A） ； （ 例 15）5. n維向量線性相關(guān)的幾何意義： 、:線性相關(guān)0 ； 、:線性相關(guān)坐標(biāo)成比例或共線（平行）； 、:,；線性相關(guān)二；，共面；6. 線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的兩套定理：若：'1, ：2， ，: s線性相關(guān)，則冷,2川1，s，s 1必線性相關(guān)；若：1, ：2川I，:s線性無(wú)關(guān)，則s必線性無(wú)關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，

13、二者為對(duì)偶）若r維向量組A的每個(gè)向量上添上nr個(gè)分量，構(gòu)成n維向量組B :若A線性無(wú)關(guān)，則B也線性無(wú)關(guān)；反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)； （向量組的維數(shù)加加減減）簡(jiǎn)言之：無(wú)關(guān)組延長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān)，反之，不確定；7. 向量組A （個(gè)數(shù)為r ）能由向量組B （個(gè)數(shù)為s）線性表示，且A線性無(wú) 關(guān)，則r <s（二版P74定理7）；向量組A能由向量組B線性表示，則r （A）乞r （B） ； （ Pg6定理3） 向量組A能由向量組B線性表示二AX =B有解；=r（A） =r（A, B） （ P*5 定理 2）向量組A能由向量組B等價(jià)二r（A）=r（B）=r（A, B） （ R5定理2推論）8. 方陣A可

14、逆=存在有限個(gè)初等矩陣Pi, P2，l|l，Pl，使A=RP2| Pl ； 、矩陣行等價(jià)：A B PA=B （左乘，P可逆）二Ax= 0與Bx= 0同解 、矩陣列等價(jià)：A B=AQ=B （右乘，Q 可逆）； 、矩陣等價(jià)：A B=PAQ=B （ P、Q 可逆）；9. 對(duì)于矩陣Am n與Bl n : 、若A與B行等價(jià)，則A與B的行秩相等； 、若A與B行等價(jià)，則Ax= 0與Bx =0同解，且A與B的任何對(duì)應(yīng)的列向 量組具有相同的線性相關(guān)性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩；10. 若 Cm n ， 則： 、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣； 、C的行向量組

15、能由B的行向量組線性表示，AT為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11. 齊次方程組Bx =0的解一定是ABx二0的解，考試中可以直接作為定理使 用，而無(wú)需證明； 、ABx=0 只有零解 = Bx=O只有零解； 、Bx =0有非零解= ABx二0 一定存在非零解；12. 設(shè)向量組Bnr : b，b2j|l, br可由向量組從:d , a?,山,a$線性表示為：（印。題19結(jié) 論）（b,b2,l|l,br） =（a ,a2,丨1丨,as）K （ B =AK）其中K為s r，且A線性無(wú)關(guān)，則B組線性無(wú)關(guān)二r（K） =.r ；（ B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性:：r=r（B）二 r （AK ） r （

16、K）, r （K ） r,. r（ K） = r ；充分性：反證法）注：當(dāng)r=s時(shí)，K為方陣，可當(dāng)作定理使用；13. 、對(duì)矩陣Am n，存在Qnm， AQ二E m二r （A） =m、Q的列向量線性無(wú)關(guān)；（P87 ）、對(duì)矩陣Am n，存在Pnm， PAE. =r（A）皿、P的行向量線性無(wú)關(guān)；14. 二亠川I,s線性相關(guān)=存在一組不全為0的數(shù)k2,川,ks，使得k"! k2： 2川ks： s= 0成立；（定義）二©，匹,川,企）X：2 =0有非零解，即Ax= 0有非零解；込su re,"", : s） : s，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù);15. 設(shè)m n的

17、矩陣A的秩為r，則n元齊次線性方程組 Ax二0的解集S的秩為:r （S） =n _r ；16.若*為Ax=b的一個(gè)解，1，2川I，n丄為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，貝則*, 1，2，樸1，n丄線 性無(wú)關(guān)；（Pm題33結(jié)論）5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣二AtA=E或A-= AT （定義），性質(zhì)： 、A的列向量都是單位向量， 且兩兩正交，即a：aj= 0；：j （i ,j= 1,2，山n）； 、若A為正交矩陣，則A At也為正交陣，且 A=1 ； 、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬(wàn)不要忘記 施密特正交化 和單位化；2. 施密特正交化：（a1,6川1，ar）b1 = a1 ；b2 = a 2_ b，a?_ b，b Lbz儲(chǔ)占Lb2舟Q3. 對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān); 對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；4. 、A與B等價(jià)二A經(jīng)過(guò)初等變換得到B ；=PAQ 二 B