2020-2021學年高中數(shù)學新教材人教A版必修第一冊學案：5.1.1 任意角 Word版含解析

1、第五章三角函數(shù)5.1任意角和弧度制5.1.1任意角【素養(yǎng)目標】1了解任意角的概念，能區(qū)分各類角的概念(數(shù)學抽象)2掌握象限角的概念，并會用集合表示象限角(直觀想象)3理解終邊相同的角的含義及表示，并能解決有關問題(數(shù)學運算)4能夠根據(jù)任意角的概念，結合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，為以后的學習打好基礎(邏輯推理)【學法解讀】在本節(jié)學習中，學生應用運動的觀點來理解角的定義，其關鍵是抓住角的終邊和始邊，在學習時提升自己的數(shù)學抽象及直觀想象等素養(yǎng)必備知識探新知基礎知識知識點1角的概念角可以看成一條_射線_繞著端點旋轉所成的圖形思考1：定義中當射線旋轉時有幾種旋轉方向？提示：根據(jù)旋轉方向，

2、射線在旋轉時，有逆時針、順時針和不作任何旋轉三種旋轉方向知識點2角的表示頂點：用o表示；始邊：用oa表示，用語言可表示為起始位置；終邊：用ob表示，用語言可表示為終止位置思考2：(1)當角的始邊和終邊確定后，這個角就被確定了嗎？(2)你能說出角的三要素嗎？提示：(1)不是的雖然始、終邊確定了，但旋轉的方向和旋轉量的大小(旋轉圈數(shù))并沒有確定，所以角也就不能確定(2)角的三要素是頂點、始邊、終邊知識點3角的分類類型定義圖示_正角_一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角_負角_一條射線繞其端點按順時針方向旋轉形成的角_零角_一條射線沒有作任何旋轉，稱它形成了一個零角思考3：(1)正角、負角、零角

3、是根據(jù)什么區(qū)分的？(2)如果一個角的終邊與其始邊重合，這個角一定是零角嗎？提示：(1)角的分類是根據(jù)組成角的射線的旋轉方向確定的(2)不一定零角的終邊與始邊重合，但終邊與始邊重合的角不一定是零角，如360，360等，角的大小不是根據(jù)始邊、終邊的位置，而是根據(jù)射線的旋轉知識點4象限角如果角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限思考4：把一個角放在平面直角坐標系中時，這個角是否一定就是某一個象限的角？提示：象限角是指當角的始邊與x軸的非負半軸重合時，終邊在哪個象限，我們就說這個角是第幾象

4、限角如果一個角的終邊在坐標軸上時，我們認為這個角不在任何象限內，又叫軸線角知識點5終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合_s|k360，kz_，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和思考5：反過來，若角，滿足s|k360，kz時，角，是否是終邊相同的角？提示：當角，滿足s|k360，kz時，表示角與相隔整數(shù)個周角，即角，終邊相同基礎自測1下列各角：60，126，63，0，99，其中正角的個數(shù)是(b)a1b2c3d4解析正角有126，99共2個2將射線om繞端點o按逆時針方向旋轉120所得的角為(a)a120b120c60d2403(2018濟南外國語期中)

5、下列各角中，與1 110的角終邊相同的角是(d)a60b60c30d30解析1 110336030，所以與30的角終邊相同4若30角的始邊與x軸的非負半軸重合，現(xiàn)將30角的終邊按逆時針方向旋轉2周，則所得角是_690_.解析因為逆時針方向旋轉為正角，所以302360690.5圖中從oa旋轉到ob，ob1，ob2時所成的角度分別是_390_、_150_、_60_.解析題圖中(1)中的角是正角，390，題圖中(2)中的角，一個是負角、一個是正角，150，60.關鍵能力攻重難題型探究題型一任意角的概念例1 下列命題正確的是(c)a終邊與始邊重合的角是零角b終邊和始邊都相同的兩個角一定相等c在9018

6、0范圍內的角不一定是鈍角d小于90的角是銳角分析角的概念推廣后確定角的關鍵是抓住角的旋轉方向和旋轉量解析終邊與始邊重合的角還可能是360，720，故a錯；終邊和始邊都相同的兩個角可能相差360的整數(shù)倍，如30與330，故b錯；由于在90180范圍內的角包含90角，所以不一定是鈍角，c正確；小于90的角可以是0，也可以是負角，故d錯誤歸納提升關于角的概念問題的處理正確解答角的概念問題，關鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉方向與大小另外需要掌握判斷結論正確與否的技巧，判斷結論正確需要證明，而判斷結論不正確只需舉一個反例即可【對點練習】 如圖，射線o

7、a繞頂點o逆時針旋轉45到ob位置，并在此基礎上順時針旋轉120到達oc位置，則aoc_75_.解析由角的定義可得aocaobboc45(120)75.題型二終邊相同的角例2 已知角2 020.(1)把改寫成k360(kz,0360)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求，使與終邊相同，且360720.分析先求出，判斷角所在的象限；用終邊相同的角表示滿足的不等關系，求出k和.解析(1)由2 020除以360，得商為5，余數(shù)為220.取k5，220，5360220.又220是第三象限角，為第三象限角(2)與2 020終邊相同的角為k3602 020(kz)令360k3602 020720(kz)

8、解得6k3(kz)所以k6，5，4.將k的值代入k3602 020中，得角的值為140，220，580.歸納提升1.把任意角化為k360(kz，且0360)的形式，關鍵是確定k，可以用觀察法(的絕對值較小)，也可用除法2要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角時，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出k的值3象限角與軸線角(終邊在坐標軸上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角|k360k36090，kz第二象限角|k36090k360180，kz第三象限角|k360180k360270，kz第四象限角|k360270k360360，kz(2)軸線角：

9、角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負半軸上|k360，kz終邊落在x軸的非正半軸上|k360180，kz終邊落在y軸的非負半軸上|k36090，kz終邊落在y軸的非正半軸上|k360270，kz終邊落在y軸上|k18090，kz終邊落在x軸上|k180，kz終邊落在坐標軸上|k90，kz【對點練習】 若將例題中“角2 020”改為“315”，其他條件不變，結果如何？解析(1)36045，是第一象限角(2)與315終邊相同的角為k360315(kz)，令360k360315720(kz)，解得k(kz)，所以k0,1,2.將k值代入k360315中，得所求角為315，45和405.題型三象限

10、角的確定例3 若是第一象限角，則2，分別是第幾角限角？分析由是第一象限角可知k360k36090(kz)，則2，的范圍分別為2k36022k360180(kz)，k180k18045(kz)再通過對整數(shù)k分類討論即可得結果解析因為k360k36090(kz)，所以2k36022k360180(kz)所以2是第一、二象限角或終邊落在y軸非負半軸上的角又k180k18045(kz)，所以當k2n(nz)時，n360n36045.所以是第一象限角當k2n1(nz)時，n360180n360225，所以是第三象限角故是第一、三象限角歸納提升已知角所在象限，判角n，(nz)所在象限的方法(1)若已知角是

11、第幾象限角，判斷，等是第幾象限角，主要方法是解不等式并對整數(shù)k進行分類討論求解題的思維模式應是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住內在聯(lián)系，確定解題方略(2)由的象限確定2的象限時，應注意2可能不再是象限角，對此特殊情況應特別指出如135，而2270就不再是象限角【對點練習】 若是第二象限角，那么和90都不是(b)a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析是第二象限角，k36090k360180，kz，k18045k18090，kz，即終邊是第一或第三象限角，而顯然是第三象限角，90是第四象限角，故選b課堂檢測固雙基1與457角終邊相同的角的集合是(c)a|k360457，kzb|k36097，kzc|k360263，kzd|k360263，kz解析457與97角終邊相同，又97角與263角終邊相同，又263角與k360263角終邊相同，應選c2215是(b)a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析由于215360145，而145是第二象限角，則215也是第二象限角3下列各組角中，終邊相同的是(b)a390，690b330，750c480，420d3