(完整版)二元一次方程組應用題的常見類型分析

1、黃岡教育張家界教育中心內(nèi)部使用二元一次方程組應用探索二元一次方程組是最簡單的方程組，其應用廣泛，尤其是生活、生產(chǎn)實踐中的許多問題，大多需要通過設元、布列二元一次方程組來加以解決，現(xiàn)將常見的幾種題型歸納如下：一、數(shù)字問題例1 一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大 27,求這個兩位數(shù).分析：設這個兩位數(shù)十位上的數(shù)為 x,個位上白數(shù)為y,則這個兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關系可用下表十位上的數(shù)個位上的數(shù)對應的兩位數(shù)相等關系原兩位數(shù)xy10x+y10x+y=x+y+9新兩位數(shù)yX10y+x10y+x=10x+y+2710x y x y 9

2、1 x 1解方程組， ，得 ，因此，所求的兩位數(shù)是 14.10y x 10x y 27 y 4點評：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學習慣于只設一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設這個兩位數(shù)為x,或只設十位上的數(shù)為x,那將很難或根本就想象不出關于x的方程.一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關的求數(shù)問題，一般應設各個數(shù)位上的數(shù)為 先”，然后列多元方程組解之.二、利潤問題例2一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少？分析：商品的利潤涉及到進價、定價和賣出價，因此，設此商品的定價為

3、x元，進價為y元，則打九折時的賣出價為0.9x元，獲利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y ;打八折時的賣出價為 0.8x元，獲利（0.8x-y）元,可得方程0.8x-y=10.x 200y 1500.9x y 20%y解方程組 y y,解得0.8x y 10因此，此商品定價為 200元.點評：商品銷售盈利百分數(shù)是相對于進價而言的，不要誤為是相對于定價或賣出價.利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤=賣出價-進價；二是：利潤=進價XRJ潤率（盈利百分數(shù)）.特別注意 利潤”和利潤率”是不 同的兩個概念.三、配套問題例3 某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓25個或螺母2

4、0個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應滿足關系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)X2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù) X1.因此，設安排x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓 25 x個，螺母20 y個，依題意，得x y 12050x 2 20y 1x 20y 1005 -故應安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母.點評：產(chǎn)品配套是工廠生產(chǎn)中基本原則之一，如何分配生產(chǎn)力，使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品恰好配套成為主管生產(chǎn) 人員常見的問題，解決配

5、套問題的關鍵是利用配套本身所存在的相等關系，其中兩種最常見的配套問題的等量 關系是：(1)上合一 ”問題：如果a件甲產(chǎn)品和b件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的b倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的a倍,ab(2)主合一 ”問題:如果甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件，丙產(chǎn)品c件配成一套，那么各種產(chǎn)品數(shù)應滿足的相等關系式是：甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù)丙產(chǎn)品數(shù)abc四、行程問題例4 在某條高速公路上依次排列著 A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米.分別在 A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往

6、A、C兩個加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來的團伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經(jīng)過 3小時后才被另一輛巡邏車追趕上.問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？【研析】設巡邏車、犯罪團伙的車的速度分別為x、y千米/時，則y 120 小,整理，得120x y 40x 80,解得，x y 120y 40因此，巡邏車的速度是 80千米/時，犯罪團伙的車的速度是 40千米/時.點評：相向而遇”和 同向追及”是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個相等關系,這個關系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現(xiàn)在：相向而遇”時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離;向

7、向追及”時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離.五、貨運問題典例5某船的載重量為 300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應各裝多少噸？分析：充分利用這艘船的載重和容積”的意思是貨物的總重量等于船的載重量”且貨物的體積等于船的容積”.設甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則x6xy 3002y 1200x3x300600x 150y 150因此，甲、乙兩重貨物應各裝150噸.點評：由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實際問題的方程組時要注意先化簡，再

8、考慮 消元和解法，這樣可以減少計算量，增加準確度.化簡時一般是去分母或兩邊同時除以各項系數(shù)的最大公約數(shù) 或移項、合并同類項等.六、工程問題例6某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力， 一 一4每天可生產(chǎn)這種服裝 150套，按這樣的生產(chǎn)進度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的一；現(xiàn)在工廠改進了人員5組織結(jié)構和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用 1天，而且比訂貨量多生產(chǎn) 25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？分析：設訂做的工作服是 x套，要求的期限是 y天，依題意，得4150y xx 33755,解得200 y 1

9、 x 25 y 18點評：工程問題與行程問題相類似，關鍵要抓好三個基本量的關系，即工作量=工作時間XX作效率”以及它們的變式 工作時間=工作量 H作效率，工作效率=工作量 H作時間其次注意當題目與工作量大小、多少無關時，通常用 “1表示總工作量.二元一次方程組實際問題賞析【知識鏈接】列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為審、找、歹h解、答”五步，即：（1）審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù)；(2)找：找出能夠表示題意兩個相等關系；(3)歹U:根據(jù)這兩個相等關系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；(4)解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；

10、(5)答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案【典題精析】例1 (2006年南京市)某停車場的收費標準如下：中型汽車的停車費為6元/輛，小型汽車的停車費為 4元/輛.現(xiàn)在停車場有50輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費230元，問中、小型汽車各有多少輛？解析：設中型汽車有 x輛，小型汽車有y輛.由題意，得x y 50, 6x 4y 230.解得,x 15, y 35.故中型汽車有15輛，小型汽車有35輛.例2 (2006年四川省眉山市)某蔬菜公司收購蔬菜進行銷售的獲利情況如下表所示:銷售方式直接銷售粗加工后銷售精加工后銷售每噸獲利(兀)100250450現(xiàn)在該公司收購了 140噸

11、蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸(兩種加工不能同時進行).(1)如果要求在18天內(nèi)全部銷售完這140噸蔬菜，請完成下列表格：銷售方式全部直接銷售全部粗加工后銷售盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利(元)(2)如果先進行精加工，然后進行粗加工，要求在15天內(nèi)剛好加工完140噸蔬菜，則應如何分配加工時間？解：(1)全部直接銷售獲利為：100X140=14000 (元)；全部粗加工后銷售獲利為：250X140=35000 (元)；盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利為：450X (6X18) + 100X (1406X18) =51800 (元).(2)設應安排x天進行精加工，y天進行

12、粗加工.由題意，得x y 15, 6x 16y 140.解得,x 10, y 5.內(nèi)部使用故應安排10天進行精加工，5天進行粗加工【跟蹤練習】為滿足市民對優(yōu)質(zhì)教育的需求，某中學決定改變辦學條件，計劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需 700元.計劃在年內(nèi)拆除舊校舍與建造新校舍共 7200平方米，在 實施中為擴大綠地面積，新建校舍只完成了計劃的80%,而拆除舊校舍則超過了計劃的 10%,結(jié)果恰好完成了原計劃的拆、建總面積.(1)求：原計劃拆、建面積各是多少平方米？(2)若綠化1平方米需200元，那么在實際完成的拆、 建工程中節(jié)余的資金用來綠化大約是多少平方米?答案：(1)原計劃拆、建面積各是4800平方米、2400平方米;(