2021年上海中考專題10：二次函數(shù)壓軸題

1、1備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編（上海專版）10二次函數(shù)壓軸題（共34一.解答題（共34小題）1. （2020 上海）在平而直角坐標(biāo)系xQv中，直線尸一疑5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)£8（如圖）.拋物線尸蘇+加（aHO）經(jīng)過點(diǎn),4.（1）求線段as的長：（2）如果拋物線jkoS+bx經(jīng)過線段.結(jié)上的另一點(diǎn)C,且8C=逐，求這條拋物線的表達(dá)式：【解析】(1)針對于直線產(chǎn)一%+5,令x=0, y=5, ：.B (0, 5),令y=0,則一1+5=0, Ax=10, ：.A (10, 0), ：.1B= 752 + 102 =5/5：(2)設(shè)點(diǎn) C (m, -5%+5), :B (0

2、. 5),:.BC= Jm2 + (+ 5 5)2 =亭7川.":BC= V5»!s,：.nt=±2, 點(diǎn) C在線段 上,Am=2, ：.C (2, 4),將點(diǎn)d (10, OX C (2, 4)代入拋物線尸aF+fer (內(nèi)0)中，得儼1a大嗎=°，(4q + 2b = 4/.拋物線y= #+ %：（3） ;點(diǎn)d （10, 0）在拋物線y=a/+6x 中，得 100o+106=0,；b= - 10a,工拋物線的解析式為），=以2 - 10ax=a （x - 5） 2 - 25a,拋物線的頂點(diǎn)。坐標(biāo)為（5, -25a）,將x=5代入y=-打5中，得產(chǎn)一去

3、X5+5=.頂點(diǎn)。位于AJO8內(nèi)，：.0< - 25a <|, : <a<0；2. （2019上海）在平面直角坐標(biāo)系xQv中（如圖），已知拋物線y=-2x,其頂點(diǎn)為工<1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)K的坐標(biāo)，并說明它的變化情況：（2）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動點(diǎn)”.試求拋物線y=/-2x的“不動點(diǎn)”的坐標(biāo)；平移拋物線 7=-2a-,使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線的“不動點(diǎn)”，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)C,且四 邊形。四C是梯形，求新拋物線的表達(dá)式.【解析】（1）a = l>0,故該拋物線開口向上，頂點(diǎn)乂的坐標(biāo)為（1, -

4、1）,當(dāng)x>l, y隨x的增大而增大，當(dāng)xVl, y隨x增大而減小;（2）設(shè)拋物線“不動點(diǎn)”坐標(biāo)為G, » 則r=»-2f,解得：f=0或3,故“不動點(diǎn)”坐標(biāo)為（0, 0）或（3, 3）；當(dāng)OC .四時， 新拋物線頂點(diǎn)8為“不動點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)8 （2W）, 新拋物線的對稱軸為：x=m,與x軸的交點(diǎn)0）, 四邊形。結(jié)。是梯形， .直線在y軸左側(cè)， ；BC與ON不平行.IOC/AB,又丁點(diǎn) X （1, -1），點(diǎn) 3（爪 M, ：.m= - b故新拋物線是由拋物線y=/ - 2x向左平移2個單位得到的:當(dāng)。8«7時，同理可得：拋物線的表達(dá)式為：>= （x-2

5、） 2+2=-4x+6, 當(dāng)四邊形。鋁。是梯形，字母順序不對，故舍去，綜上，新拋物線的表達(dá)式為：y= （x+1） 2- 1.3. （2018上海）在平面直角坐標(biāo)系 g 中（如圖）.已知拋物線產(chǎn)一步+加+。經(jīng)過點(diǎn)X （ - h 0）和點(diǎn)3 （0,-）, 頂點(diǎn)為C，點(diǎn)。在其對稱軸上且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)。落在拋物線上 的點(diǎn)尸處.（1）求這條拋物線的表達(dá)式：（2）求線段CQ的長：（3）將拋物線平移，使其頂點(diǎn)C移到原點(diǎn)。的位置，這時點(diǎn)尸落在點(diǎn)E的位置，如果點(diǎn)M在丁軸上，且以。、D、E、M為頂點(diǎn)的四邊形而積為8,求點(diǎn)河的坐標(biāo).52 5-2 =- b C xf

6、ukukS1）（-y-b+c=O【解析】（1）把a(bǔ)（ - 1，0）和點(diǎn)3（0, ?代入產(chǎn)一92+bx+c得J 2 s，解得J拋物線解析式為尸- p+2x+99.C（2, ”拋物線的對稱軸為直線戶2.如圖，設(shè)8r則。廠力:線段DC繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90° ,點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)尸處，A ZPDC= 90° , DP=DC=t,：.P （2+r, |-r）,把尸（2+r, |-r）代入尸一疑+2x+,得一寺（2+力 2+2 （2+r） +|=-6整理得？-2，=0,解得門=0（舍去），口=2,線段8的長為2：（3）尸點(diǎn)坐標(biāo)為（4,與），。點(diǎn)坐標(biāo)為（2,三）， 2299拋物線

7、平移，使其頂點(diǎn)。（2,：7）移到原點(diǎn)。的位置，拋物線向左平移2個單位，向下平移：7個單位, 2259而尸點(diǎn)（4, 7）向左平移2個單位，向下平移7個單位得到點(diǎn)££點(diǎn)坐標(biāo)為（2, -2）, 221 r77設(shè)M（0,刖），當(dāng)7>0時，-（桁+W+2）2 = 8,解得胴=（，此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（0.-）：2 2幺21e77當(dāng)加<0時，-m+W+2”2=g，解得加=一夕 此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 今：77綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-）或（0, 一夕.4. （2017上海）已知在平而直角坐標(biāo)系xQy中（如圖），已知拋物線ju-J+bx+c經(jīng)過點(diǎn)H （2, 2）,對稱軸是直 線x

8、=l,頂點(diǎn)為8.（1）求這條拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)3的坐標(biāo)：（2）點(diǎn)河在對稱軸上，且位于頂點(diǎn)上方，設(shè)它的縱坐標(biāo)為I,聯(lián)結(jié)也以用含加的代數(shù)式表示乙力"的余切值：（3）將該拋物線向上或向下平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)。在x軸上.原拋物線上一點(diǎn)尸平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q, 如果。產(chǎn)=00,求點(diǎn)。的坐標(biāo).小 5- 4- 3- 2- 1-4-3-2-1。 1 2 3 4 5 /-1-2-3-4-【解析】（1） 拋物線的對稱軸為x=l, ，x=-g=l,即一=1,解得6=2.2a 2x（-1）.>= - W+2x+c.將工（2, 2）代入得：-4+4+c=2,解得：c=2.，拋物線的解析式為y=-+2

9、%+2.配方得：y=-（x-1） 2+3.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1, 3）.（2）如圖所示：過點(diǎn)X作/G_LBM 垂足為G,則dG=L G （1, 2）.（1, 7w）, G （1, 2）, ：,MG=ni - 2.；cotNJAe=器="-2.（3）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1, 3）,平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上，.拋物線向下平移了 3個單位.平移后拋物線的解析式為y=-f+2x-1,尸。=3.O尸=。，.點(diǎn)。在尸。的垂宜平分線上.又.,0產(chǎn)y軸，點(diǎn)。與點(diǎn)尸關(guān)于x軸對稱.點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為一段將產(chǎn)一,代入、=7+公7得：-7+2x7=-最 解得：尸竽或廣寫!2+怎32醫(yī)3二點(diǎn)。的坐標(biāo)為-，

10、-'）或（- 一2上5. （2016上海）如圖，拋物線），=62+隊(duì)-5 （20）經(jīng)過點(diǎn)/（4, -5）,與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)&與），軸交于點(diǎn)C,且0C=50-拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D（1）求這條拋物線的表達(dá)式:（2）聯(lián)結(jié)乂夙BC、CD、DA,求四邊形乂8co的面積;（3）如果點(diǎn)E在y軸的正半軸上，且N8EO=N,/C,求點(diǎn)E的坐標(biāo).【解析】（1）二拋物線 j=a/+bx-5 與y 軸交于點(diǎn) C, ：.C （0, -5）, ：.OC=5. 9OC=5OB,08=1,又點(diǎn)8在x軸的負(fù)半軸上，5（-1, 0）.拋物線經(jīng)過點(diǎn)H（4, -5）和點(diǎn)3 （ - L 0）,對二上廣弋解魄：Z，這條

11、拋物線的表達(dá)式為- 4.x - 5.得頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2, -9）.連接HC,丁點(diǎn) X 的坐標(biāo)是（4 -5）,點(diǎn) C 的坐標(biāo)是（0，-5）,又 S./c=；x4X5 = 10, S/CD= 1 x4X4=8,，s 1ABCD=S/ABC+SCD（3 ）過點(diǎn) C 作 CH±AB.垂足為點(diǎn) H. ；S；YBC= 1 "BXCH= 10. AB=，（一 1 一 4尸 + （0 + 5尸=5夜,:.CHS 在 RTABCH 中,/BHC=90° , BC=l26. BH= SBC? - CH? =3杼AtanZC5/=1 = |. 在 RTAffOE 中，NBOE=90&

12、#176; , tanZ5£O= '： 4BE0=/ABC,BO 233A = 得EO=*，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，6. （2020浦東新區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，己知拋物線尸-占云+c與x軸交于點(diǎn),4 （ -3, 0）和點(diǎn)3,與1y軸相交于點(diǎn)C（0, 3）,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)。.（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)：（2）聯(lián)結(jié),4D、,4C、CD,求NZUC的正切值：（3）如果點(diǎn)尸是原拋物線上的一點(diǎn)，且NE4B=NA4C,將原拋物線向右平移加個單位（胴0）,使平移后新拋物線經(jīng)過點(diǎn)尸，求平移距離.5 -4 3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 -1_ 0 12 3 4【解析

13、】（1）拋物線y=-f+6x+c與x軸交于點(diǎn)工（-3, 0）和點(diǎn)3,與y軸相交于點(diǎn)C （0, 3）,則有；：3b+c = 0,解得二2,.拋物線的解析式為y=-z什3,頂點(diǎn)D (-1, 4).(2) 9：A ( -3, 0), C (0, 3),。(- 1, 4), "山=(-3 + 1產(chǎn) + (0 - 41=2日,CD= J(0 + 1)2 + (3 4尸=揚(yáng) AC= 7(-3 - 0)2 + (0 - 3)2 =3vl,"店+5=山，CD 1/. ZCD=90° , AtanZZ)JC= j.(3)過點(diǎn)尸作x軸的垂線，垂足為H 點(diǎn)尸在拋物線y=-/-2什3上，

14、工設(shè)尸(-a1 - 2k3),可得PH=| -(T - 2a+3|,XH=+3, ； ZRiB=ZDAC, ：.tanZR-lB=tanZDAC= 1.22 11當(dāng)" 3 = 3 ( - J"3),解得 4=1或-3 (舍棄)，：.P (-> ),過點(diǎn)P作x軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)N,則點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于直線x= -1對稱，根據(jù)對稱性可知N （-垓 =），平移的距離為 J 93當(dāng)"3=-3 （ -/-2什3）,解得a=*或-3 （舍棄），尸（右 一守，過點(diǎn)P作X軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q,則點(diǎn)。與點(diǎn)P關(guān)于直線x= -1對稱,根據(jù)對稱性可知2 （一學(xué)，-掾），14，

15、平移的距離為一，310 14綜上所述，平移的距離為工或二 337. （2020普陀區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xQv中（如圖），已知點(diǎn),4在x軸的正半軸上，且與原點(diǎn)的距離為3,拋 物線y=a-4G+3 （父0）經(jīng)過點(diǎn)X,其頂點(diǎn)為C,直線y= 1與y軸交于點(diǎn)8,與拋物線交于點(diǎn)。（在我對稱 軸右側(cè)），聯(lián)結(jié)3C、CD.（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)尸是y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，如果MC與88相似，且相似比不為1,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)：（3）將NC&）繞著點(diǎn)8逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使射線經(jīng)過點(diǎn).4,另一邊與拋物線交于點(diǎn)E （點(diǎn)E在對稱軸的右 側(cè)），求點(diǎn)E的坐標(biāo).9【解析】(1)點(diǎn)工在x軸的正半軸上，且

16、與原點(diǎn)的距離為3,.d (3, 0),把X (3, 0)代入拋物線-4ax+3 中得：0=9a-12o+3, Ao=b拋物線的表達(dá)式為：y=f-4x+3, y=R-4x+3= (x-2) 2- 1, ：,C (2, - 1)；(2)當(dāng)y=l 時，?-4a-+3 = 1,解得：xi=2-x/2, %2=2+V5,由題意得：D (2+2, 1),''B (0, 1), C (2, - 1),:BC= " + (1 + I. =2。BD=2+五,，：NDBC= /PBC=45° ,且相似比不C b 8P21/2"B P為 1 只能CBPs/YDSC. :

17、. = 77"，即=產(chǎn)，；.BP=8 - 4施,:P (0, 42 1 )：DB BC2 + /2 22(3)連接 dC,過 E 作 EH 上 BD 于 H,由旋轉(zhuǎn)得：NCBD=/ABE, :.NEBDjABC.452=32+12=10, BC2=22+22=4> AC1 = 12+12=2. ：.4B2=BC2+AC29是等腰直角三角形，且4C3=9（TAC _ 技 _ 1BC = 2=29pu tanNEBD=)=設(shè) EH=m,則 BH2ni /.E (2m» w+1 )t丁點(diǎn)E在拋物線上，（2m） 2 - 4X2m+3=；w+l, 4?h2 - 9/+2=0,解

18、得：桁 1=2（舍），（4. 3）.8.（2020楊浦區(qū)二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=62+6x+4經(jīng)過點(diǎn).4 （ - 3, 0）和點(diǎn)8 （3,2）,與y軸相交于點(diǎn)C.（1）求這條拋物線的表達(dá)式：（2）點(diǎn)尸是拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)如果點(diǎn)。關(guān)于直線XP的對稱點(diǎn)。恰好落在x軸上，求直線 ，產(chǎn)的截距；（3）在（2）小題的條件下，如果點(diǎn)E是y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是直線,"上一點(diǎn).當(dāng)E40與瓦函全等 時，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo).【解析】拋物線+外+4過點(diǎn)X （ -3, 0）和點(diǎn)B （3, 2）,噫;著解得后匕.,+%（2）如圖1,連接XC,點(diǎn)C關(guān)于直線乂尸的對稱點(diǎn)。，乂。=10;

19、,'=一!/ + :” + 4與、軸交于點(diǎn)。（0, 4）,與 x 軸交于點(diǎn)乂（-3, 0）, ：.AC=5, "4D=5.點(diǎn)。（2, 0）,設(shè)直線乂尸與），軸交于點(diǎn)A,則HC=HD,設(shè) OH=a,則 8C=/£D=4-a,在 RtZHOZ）中，HD2=OH1+OD2. ：. （4 -。）2=7+2< Aa = | 3二直線心的截距為3；（3） ;點(diǎn)E是r軸正半軸上一點(diǎn)，ZUOE是直角三角形，且NXOE=9（r 當(dāng)E4。與£小全等時，存在兩種情況：如圖2,當(dāng)NM= NzlOE=9（r , AEE4烏AAOE, ：.EF=OA, : /AHO=NEHF,

20、 NAOH= NEFH=90。,：.AH=EH.由(2)知：OH=%, ：.EH=AH=OE-1，RtA田。中，廟=QtOH, A (OE-|) 2 = 3?+(|)2,解得：OE= 注12或匕1(舍).點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是3 + 32如圖3,當(dāng)N跖勺NKOE=90° , /EE4AEOA, 222：.4F=AO=3, EF=OE, RtAAHO 中，HH=舊 + (蘇=竽,：.FH= -3, EH=；-OE,33 /5RtZXE切中，由勾股定理得：EH2=Fffi+EF2, ：. (一一OE) 2= (-3) 2+0£2,解得：OE=3如一6, 22*點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是3V百6；3

21、+3/S-綜上，點(diǎn)石的縱坐標(biāo)是一-或3V5-6.9.（2020嘉定區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xQv中（如圖），已知經(jīng)過點(diǎn)乂（-3, 0）的拋物線丁=辦2+2加-3與），軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)8與點(diǎn)乂關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，。為該拋物線的頂點(diǎn).（1）直接寫出該拋物線的對稱軸以及點(diǎn)8的坐標(biāo)、點(diǎn)。的坐標(biāo)、點(diǎn)。的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié),山、DC、CB,求四邊形，38的面積：（3）聯(lián)結(jié),4C.如果點(diǎn)E在該拋物線上，過點(diǎn)石作工軸的垂線，垂足為線段交線段.4C于點(diǎn)尸.當(dāng)EF=2切時，求點(diǎn)E的坐標(biāo).J'小1-A ,-1-2-3【分析】（1）該拋物線的對稱軸為直線、=于=一1，而點(diǎn)X（-3, 0）,求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，進(jìn)

22、而求解:（2）將四邊形，38的面枳分解為A4M、梯形21MoC、BOC的面積和，即可求解：（3）設(shè)點(diǎn)EG, f+2x-3）,則點(diǎn)尸G, -X- 1）,求出ER 長度的表達(dá)式，即可求解.【解析】（1）該拋物線的對稱軸為直線=或=一1，而點(diǎn),4 （-3, 0）, La 點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1, 0）, c=-3,故點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0, -3）, 函數(shù)的對稱軸為X=-1,故點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-1, -4）：（2）過點(diǎn)D作DWLM,垂足為7+ 4)X1 = .3obc = 2 °8 = 2X1X3 = S 四邊 ¥公 BCD = S"DM + S 悌的CDM + SOBC = 4 +

23、 2 + 2 = 9（3）設(shè)直線zic的表達(dá)式為：尸日也則/二二 7解得：e=故直線dC的表達(dá)式為：y=-x-3,將點(diǎn)d的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：9。-6。-3=0,解得：a=l,故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+2x-3,設(shè)點(diǎn)E （x. /+2x-3）,則點(diǎn)尸（x, -x-3）,則 EF= （-x-3） - （x2+2x-3） =-/-3x, FH=x+3. : EF=2FH, " x" - 3x=2 (x+3),解得：x= - 2 或-3 (舍去- 3),故 m= - 2,故點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（-2, -3）.10. （2020長寧區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，己知拋

24、物線尸也經(jīng)過點(diǎn)乂 （2, -2）,對稱軸是 直線x=l,頂點(diǎn)為點(diǎn)3,拋物線與y軸交于點(diǎn)C.（1）求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)8的坐標(biāo);（2）將上述拋物線向下平移1個單位，平移后的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)。，求88的面積;BQ 1（3）如果點(diǎn)尸在原拋物線上，且在對稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)3尸交線段。引于點(diǎn)0,言=求點(diǎn)尸的坐標(biāo).T個 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1(9 - 1 - 2 - 3 - 4 -【分析】（1）先根據(jù)對稱軸求出膽，再將點(diǎn)乂坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出，得出拋物線解析式，最后配成頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)論:（2）先求出點(diǎn)。坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線CQ解析式，得出點(diǎn)E坐標(biāo)，再用而積公式求解即可得出結(jié)論

25、:表示出。"=*（/-2"1）,正以=反（。（3）設(shè)出點(diǎn)尸坐標(biāo)，構(gòu)造出HV/Qs/Xhvs,得出篙=熬-1）,進(jìn)而表示出° *+工/2%-去，代入直線0,中，即可得出結(jié)論. 【解析】拋物絞產(chǎn)/+加什的對稱軸是直線x=l，1w = - 2,，拋物線解析式為-2x+n, 拋物線過點(diǎn)(2, -2),.4-2X2+W= -2, F= -2,工拋物線的解析式為y=x2-2x-2= G-1)2-3, 頂點(diǎn)3的坐標(biāo)為(1, -3)；(2)如圖1,由平移知，平移后的拋物線解析式為)，=/ - Zx-3, 令y=0,貝ij / - 2x - 3=0,.*.a= - 1 或 x=3,

26、.點(diǎn)。在x正半軸上，：.D (3, 0),針對于拋物線y=/-2x-2,令 x=0,貝iJ),=-2,：.C (0, -2),，直線CD的解析式為產(chǎn)=yX - 2,記直線8與直線X=1的交點(diǎn)為£則E(L114qS .BCD= 2BE- xc= 2 X 3 "( -3)|X3=I：(3)如圖 2,設(shè)尸(a,過點(diǎn)尸作尸N垂直于直線x= 1于點(diǎn)N過點(diǎn)Q作QM1PN于M,:.qm/nb9:APMOsWNB,.QM _PM _PQ 麗麗一國 BQ 1,麗=7 QM _ PM _ 5"Jn 一麗 " 丁:PN=a - b BN=a2 - 2a - 2+3= a2 -

27、 2a+l,. QM _ PM _ 5a2-2a+la-16'OU | (J-2+l), PM=l (a - 1), bo:MN=PN-PM=" （a-1）,點(diǎn)。與點(diǎn)3的縱坐標(biāo)之差的絕對值為:（£-2a+l）,.八 , 5 1 2 111、,Q （+6* ：A （2, -2）, 直線。4的解析式為y=-x, .點(diǎn)。在線段。4上， 尹石+曠尸石國- 3 （舍）或 4 = 4,：.P (4, 6).0211. （2020寶山區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，拋物線y=af-24x-3a （a<0）與x軸交于工3兩點(diǎn)（點(diǎn)H在點(diǎn)3的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)乂的直線/：與y

28、軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,與拋物線的另一個交點(diǎn)為Q.且CD=4AC.（1）直接寫出點(diǎn).4的坐標(biāo)，并求直線/的函數(shù)表達(dá)式（其中左、6用含。的式子表示）:（2）點(diǎn)上是直線/上方的拋物線上的動點(diǎn)，若,4CE的而積的最大值為3求。的值：（3）設(shè)尸是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)。在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn),4、D、P、。為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時，請直 接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).【分析】(1)將已知拋物線解析式轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)式，可以直接得到點(diǎn)H的坐標(biāo)：根據(jù)直線y=Z6過H ( -b0),得到直線，：y=kx+k,解方程得到點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為4,求得無得到直線/的函數(shù)表達(dá)式為)，=以+。；(2)過E作" y軸交直線/于F,設(shè)E(x,

29、 g2-2G3)，得到尸(x, ax+a),求出EF=af - 3"-4a, 根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；(3)令以2-2ax-3a=ax+a,即a/TaxTan。，得到。(4, 5a),設(shè)尸(1,所)，若,切是矩形尸。的 一條邊，若是矩形JPQ0的對角線，列方程即可得到結(jié)論.【解析】(1)當(dāng)、=。/-26-34=。(x+1) (x-3),得K ( - 1, 0), B (3, 0), :直線/：過 d ( - 1, 0),：Q=Zb,即 k=b,工直線/：產(chǎn)kx+k, 拋物線與直線/交于點(diǎn)乂，D, .ax? - lax - 3a=kx+k,RP ar - (2a+k)

30、x - 3 - k=0,9CD=4AC. 點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為4,工-3/=-1X4, a:.k= a,.直線/的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a：(2)如圖1,過E作E尸y軸交直線，于F,設(shè) E (x, ax - 2ax - 3a貝lj F (x, ax+a), EF=aW - 2ax - 3a - ax - a=ax2 - 3ax - 4a,)325，S.7CE=SUFF - S； CEF=不(ox2 - 3ax - 4t7)(x+l) -(ar2 - 3ax - 4a)x= z-(a>T - 3ax - 4a )=不(x不)-g-，ZZZZ Z o25，AACE的面積的最大值a.JCE的面積的最

31、大值為 4 25 _ 5 一47=中解得°= 一之（3）以點(diǎn)X、D、尸、。為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形, 令 ax2 - 2ax - 3a=ax+a9 即 ax1 - 3ax - 4a=0>解得：xi = - 1, X2=4,:D （4, 5o）,拋物線的對稱軸為直線X=l,設(shè)尸（L JM）,如圖2,若,切是矩形的一條邊，：.m=21a+5a=26a,則尸（1, 26a）,四邊形尸。是矩形，A Z-WP=90° ,adIpd'ap2,：.52+ （5d） 2+32+ （26-5。）2=22+ （26。）2,即 CT= y,ZVO, . _7尸（1, 一竽）：如圖3

32、,若是矩形.花。0的對角線，圖3則易得。（2, -3a）,（-3）=8。，則尸（1, 8夕）,二四邊形，包。是矩形，IA Z.1PD=9O° ,"3+步=JZ)2,:.(-1 - 1) 2+ (8a) 2+ (1 -4) 2+ (8。-5。)2=52+ (5。)2,即 1,Vt7<0. _ 1 = 一,：.P (b -4),綜上所述，點(diǎn)& D、尸、。為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)尸(b 一竽)或(1, -4).12. (2020黃浦區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系.9,中，已知拋物線尸 #+加+c經(jīng)過點(diǎn)1 ( -4, 0)和8 (2, 6),其 頂點(diǎn)為。.(1)求此拋物

33、線的表達(dá)式：(2)求AABD的面積；(3)設(shè)C為該拋物線上一點(diǎn)，且位于第二象限，過點(diǎn)C作CH_Lx軸，垂足為點(diǎn)H,如果OCH與ZUBZ)相似， 求點(diǎn)C的坐標(biāo).1【分析】(1)將點(diǎn)乂、8的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解：(2) BD2=AB2+.1D2,則為直角三角形，的面積=基y10,即可求解；(3) 08 與，題 相似，tanNCOH=tan/X&)或 tanNJIM,即 tanNCOH=寨=理學(xué)巳=到 3,即可求解.【解析】(1)將點(diǎn)乂、3的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得:故拋物線的表達(dá)式為：y=y+2x:(2)對于尸 *+2x,頂點(diǎn)。(-2, - 2), 4X X1-2 1-216 4b

34、 + c = 0，解得:4 + 2b + c = 6(b = 2U = 0貝(山=J(-4 + 2)2+ (0+ 2>=2v5同理.空=675, BD=4店, 故初三空坦山， /工加）為直角三角形，的而枳=ix6/2 X2V2 =12：(3)在AJB。中，tanZJ5P= = | = !: 4OCH 與 A®)相似，即 tan/COH=上或 3,設(shè)點(diǎn) C （w. ：+2I），則 tanNCOH=*_：；工=上或 3,解得：出=70或-竽（不合題意的值已舍去），14 14故點(diǎn)”的坐標(biāo)為（-10, 30）或（一掌 ）.13. （2020虹口區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQr中，拋

35、物線y=ax2+6x+3經(jīng)過點(diǎn),4 （ - 1, 0）和點(diǎn)3 （3, 0）, 該拋物線對稱軸上的點(diǎn)尸在x軸上方，線段尸8繞著點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)90°至PC （點(diǎn)8對應(yīng)點(diǎn)C）,點(diǎn)C恰好落 在拋物線上.（1）求拋物線的表達(dá)式并寫出拋物線的對稱軸：（2）求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)。在拋物線上，聯(lián)結(jié).4C,如果NQ1C=乙/C,求點(diǎn)。的坐標(biāo).【分析】（1）將點(diǎn)乂、8坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解:(2)證明PMC出八辦7(zUS),則PM=AV, MC=PN,即可求解：(3)設(shè) MH=3x,用 x 表示HM、GM,利用 XG=JM+GM=心，求出 x 的值；在dOH 中，OH=y/AH2-OA&qu

36、ot; 求得點(diǎn)H的坐標(biāo)，即可求解.【解析】(1)將點(diǎn)X、3坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得:故拋物線的表達(dá)式為：尸-/+2葉3：函數(shù)的對稱軸為：x=l；(a - b + 3 = 0(9a + 3b + 3 = 0解得:(a = -1 lb = 21(2)設(shè)點(diǎn) C (m, ”)，則 =-77，+2m+3,點(diǎn)尸(b s),如圖1，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)。作CM,尸N交拋物線對稱軸于點(diǎn)M,V ZPBN+ZBPN=9Q° , ZBPN+ZAfPC=90c ,r. ZMPC= NPBN, : NPMC= NBNP=90° , PB=PC,：.PA/C四 ABNP (W4S),:PM=

37、BN、MC=PN,m 1 = s(m = 2 n s = 2,解得：1n = 3 ,ji = m2 + 2m + 3(s = 1故點(diǎn)。(2, 3),點(diǎn)尸(1, 1)：故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1, 1)：(3)設(shè)直線XC交y軸于點(diǎn)G,直線X。交)，軸于點(diǎn)H由（2）知，點(diǎn) C （2, 3）,而點(diǎn)H （ - 1, 0）,過點(diǎn)。作CKkx軸于點(diǎn)K,則CK=AK= 3,故直線的傾斜角為45° ,故/乂6。=/6：1。=45°,/. tan Z.1SC=箓=吝=3 / ZOAC= /ABC,tan ZOJC= 3：在ZUGH中，過點(diǎn)H作用，LG于點(diǎn)設(shè)V ZJG(9=45° ,則 GO

38、=HO=L：.MG=MH=3x,V tanZOJC=3,則M=x,AG=.lM+GM=x+3x= V（-l）2+ l2 =后， 解得：X=手在A®/中，AH= 4am2 + MH2 = V10x=在AAOH 中,OH=弋AH? 一 0屋=故點(diǎn) H（0, 一由點(diǎn)M、H的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：產(chǎn)=一會一處，聯(lián)立0并解得：x= - 1（舍去）或孑 7 Q故點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（丁 一）.14. （2020浦東新區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，已知拋物線y=-r+&c匕與x軸交于點(diǎn),4和點(diǎn)3 （點(diǎn),4在 點(diǎn)3的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0, 3）,對稱軸是直線x=l.（1）求拋物線的表達(dá)

39、式；（2）直線KN平行于x軸，與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且*48,點(diǎn)。關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)為£求線段OE的長：（3）點(diǎn)尸是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)C尸、EP, EP交線段3C于點(diǎn)F,當(dāng)以匿n SaC£F=1： 2時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).小 6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 -4-3 -2 -1, -2 -3-4-5【分析】(1)根據(jù)對稱軸為直線x=l求出6=2,即可求解：1a5 77即可求解：P即可求解.(2)由拋物線的對稱性知，0河=02別呼=方 則點(diǎn)N I, J,即在直線產(chǎn)不上,PF 1PF PP/-a2+3a(3) SKPF： SEF=k

40、 2,即一=一，而PP FsWCF,則一=,即一5:EF 2EFEC 12【解析】(1)由題意得：解得：6=2， :拋物線與y軸交于點(diǎn)。(0. 3),故c=3, 故拋物線的表達(dá)式為：尸-擠2什3；(2)對于 y=-/+2+3,令 y=0,則 x=-l 或 3,故點(diǎn)工3的坐標(biāo)分別為：(1, 0)、(3, 0),則3=4,孫丁=2=3,如圖1，作拋物線的對稱軸交MN于點(diǎn)。，由拋物線的對稱性知，QM=ON= MN= I，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1+2=。故點(diǎn)N(J -),即MV在直線上,/2 4則點(diǎn)。關(guān)于MV的對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(0, I),即 0E= I：（3）過點(diǎn)尸作PP 0C交3c于點(diǎn)尸'，設(shè)

41、直線3c的表達(dá)式為：尸心也，則心:二+九，解得：:二1，故直線3c的表達(dá)式為：y=-x+3,設(shè)點(diǎn)尸（4, -J+2什3）,則點(diǎn)P （%-療3）,貝IJ 尸尸, =（-/+2。+3 ） - （-4+3 ） =-/+3。，PF 1,:SdCPF; SCEF= 1 ： 2，即而=子 :PP' /CE.:ZP Fs 4ECF, PF PP'川廠'+3。1EF EC 122解得：J或士 2 25 71 1S故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（一."）或（-，一）.2 42 415. （2020松江區(qū)二模）如圖，在平而直角坐標(biāo)系X。中，拋物線=-+云+3與x軸和,軸的正半軸分別交于

42、3;8兩點(diǎn)，且0工=03,拋物線的頂點(diǎn)為M聯(lián)結(jié)4、.LM.（1）求這條拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)河的坐標(biāo)；（2）求 sinNALW的值：（3）如果。是線段08上一點(diǎn)，滿足NM：1Q=45° ,求點(diǎn)。的坐標(biāo).#【分析】(1)拋物線y=-+6x+3與_，軸交于3點(diǎn)，令x=0得y=3,求出8 (0, 3),而乂。=8。求出H (3,0),進(jìn)而求解：(2)證明NMBC=90° ,則sinNK4M =翳=系(3)證明NAU/=NCU0,即可求解.【解析】(1)拋物線”=-/+6.什3與y軸交于8點(diǎn)，令 x=0 得y=3,：.B (0, 3),9AO=BO.：.A (3. 0),把乂 (3,

43、0)代入y=-$+6戶3,得-9,3計3=0,解得6=2,這條拋物線的表達(dá)式y(tǒng)= -f+2r+3,頂點(diǎn)M(L 4)：(2) VJ (3, 0), B (0, 3) M (1, 4),，氏3=2, 43=18,3=20,A ZMBC=90c ,72 _ vlO SITI 乙 BAM - jTyT肯一彳 c ：AM 2J510(3) Q = O£，N CUB=45 °V ZM4O=45° ,，NBAM= /OAQ,由(2)得si”NB/M=等，.sinOAQ =#.OQ 0Q1 ,0A3300=1,：.Q (0, 1).16. （2020青浦區(qū)二模）如圖，在平而直角坐

44、標(biāo)系xQv中，二次函數(shù)y=a/-4ax+3的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)工B,與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，且tanNC4O=3.（1）求這個二次函數(shù)的解析式;（2）點(diǎn)尸是對稱軸右側(cè)拋物線上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CP交對稱軸于點(diǎn)尸，當(dāng)ScCDF： S/FD尸=2: 3時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo):（3）在（2）的條件下，將PCD沿直線翻折，當(dāng)點(diǎn)尸恰好與點(diǎn)。重合時，折痕交x軸于點(diǎn)交），備用圖【分析】（1）在RtAJOC中，tan/C"A第=3,求出點(diǎn)乂的坐標(biāo),即可求解;（2）利用經(jīng)竺=2 g即可求解;SAFDP PQ 3(3)證明N0NM= 4POH、則tanN0NM =需=tanPOM =PH西一5.#【解析】 1

45、二次函數(shù)一_40升3的圖象與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0, 3）,：OC=3,nr=3,連接 MC,在 RtZUOC 中，tanNCU 市將點(diǎn)d （h 0）代入jua/-an+B,得 a-4a+3=0,解得：a = l.所以，這個二次函數(shù)的解析式為尸r2-4升3：（2）過點(diǎn)C作CG«LQF,過點(diǎn)尸作尸。，。£垂足分別為點(diǎn)G、O. :拋物線y=f -4x+3的對稱軸為直線x=2,，CG=2,.SCDF CG 2S"DP PQ 3：.PQ=3. 點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為5, 把 x=5 代入 y=，- 4x+3,得 y= 8, 點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（5, 8）：（3）過點(diǎn)尸作垂足分別

46、為點(diǎn)H#丁點(diǎn)尸的坐標(biāo)為58）,：.OH=5, PH=8,將尸8沿直線MN翻折，點(diǎn)尸恰好與點(diǎn)。重合，:.MN1OP,：.ZONM+ZNOP=9Q<> ,又： /POH+/NOP=90Q ,：.ZONM=ZPOH./ tanzONM =崇:=tan£POM =器:=17. （2020閔行區(qū)二模）在平而直角坐標(biāo)系X。，中，我們把以拋物線上的動點(diǎn),4為頂點(diǎn)的拋物線叫做這條拋 物線的“子拋物線”.3如圖，已知某條“子拋物線”的二次項(xiàng)系數(shù)為1且與軸交于點(diǎn)C.設(shè)點(diǎn).4的橫坐標(biāo)為切過點(diǎn),4作 y軸的垂線交1y軸于點(diǎn)B.（1）當(dāng)明=1時，求這條“子拋物線”的解析式；（2）用含機(jī)的代數(shù)式表示

47、乙4cB的余切值：（3）如果NO4C=135° ,求陽的值.【分析】（1）根據(jù)題意得出X（加，加2）,將加=1代入得出其坐標(biāo)，繼而可得答案：（2）根據(jù)，（mnr）知“子拋物線”的解析式為y = |a - m）2+m2.求出x=0時y的值可知點(diǎn)。坐標(biāo)，表3示出。a 3C的長度，從而求得余切值；(3)過。點(diǎn)作OZXLCJ的延長線于點(diǎn)。,過點(diǎn)。作y軸的平行線分別交A4的延長線于點(diǎn)£交x軸于點(diǎn)尸，證ZL®經(jīng)根尸。得DE=OF,設(shè) XE=，知。尸=* BE=m+n = OF=ED.結(jié)合。3=E尸得DF m+n 3(m2 = m + 2nm+2”.再由=知cot4DE= =&

48、quot;F = n,聯(lián)立方程組m+n 3，解之可得答案.AE n 2= -mn 2【解析】(1)由題得，d 3，謂)，當(dāng)冽=1時，乂 (h 1),.這條“子拋物線”的解析式：y = |(x-l)2+l：(2)由 d (切，且軸，可得OB=nr. “子拋物線”的解析式為y=,(x-7n)2+m2.令x=0,則y = |m2>5 oq點(diǎn)。的坐標(biāo)(0，-m2)> 0C = 2mZ,.BC = 1-7n2.在 RtZklffC 中，cotACB =2§ =更:=A D771 L(3)如圖，過。點(diǎn)作OQLCT的延長線于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作y軸的平行線分別交的延長線于點(diǎn)£交x軸

49、于點(diǎn)凡VZOJC= 135° ,NQ1D=45° ,又ODLCA,：.ZO.4D= ZAOD=45° , HZ) OD,:fAEDW4DF0 (zUS),W=Q產(chǎn)，DE=OF,設(shè)，£=，那么。尸=，BE=?n + w = OF=ED.又,：OB=EF,； nr=m+2n.又；NBCA=NADE,DE cot AD E =m+nnZm2 = m + 2n1解方程組m+n 3，得u = 2, m2 = （舍去），=Jn 2"】的值為2.18. （2020崇明區(qū)二模）已知拋物線y+6-4經(jīng)過點(diǎn)H （ - 1, 0）, B （4, 0）,與y軸交于點(diǎn)C

50、,點(diǎn)。是該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，連結(jié),4C、BC、CD、BD.（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對稱軸：（2）當(dāng)S,BCD=4S/UOC時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)：（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)E是x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn).4、D、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a （a+1） （x-4）- 3ax - 4a,根據(jù)-4a= - 4,可得。=1,由此即可解決問題.（2）如圖 1 中，設(shè)。（«7, / - 3m - 4）,連接 OD 根據(jù) S _5CD=S£,ocd+S&08Q-S.-03C=4Su

51、0c，構(gòu)建方程求 出加即可解決問題.（3）分兩種情形：如圖2中，當(dāng).1E1為平行四邊形的邊時，根據(jù)。產(chǎn)=.江=1,求解即可.如圖3中，當(dāng)OF是平行四邊形的對角線時，根據(jù)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為6.求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.【解析】(1)'y=62+bx-4經(jīng)過點(diǎn)d ( - b 0), B (4, 0),.可以假設(shè)拋物線的解析式為(x+1) (x-4)=/-3ax - 4a./. - 4。= - 4,。= 1,.拋物線的解析式為：y=x2 - 3x - 4,對稱軸刀=家(2)如圖1中，設(shè)。(m,渥-3加-4),連接OD01,: S3BCD=SaOC計SaOBD - SfQBC=4

52、Suoc，A-X4X ( - m2+3m+4) +± x4Xw-i x4X4=4x i Xl X42222整理得：nr - 4m+4=0,解得加=2,：.D (2, -6).(3)如圖2中，當(dāng)，化為平行四邊形的邊時,圖2:DF/AE,。(2, -6)：.F (b -6),：.DF=1.：.E (0, 0),或夕(-2, 0).如圖3中，當(dāng)尸是平行四邊形的對角線時,丁點(diǎn)。與點(diǎn)F到x軸的距離相等,點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為6,當(dāng) y=6 時，6=-3x-4,解得x= -2或5,：.F ( -2, 6)或(5, 6),-1+n- 2+2 .-1+n5+2解得M=1或8,：.E (1, 0)或(8, 0

53、),#,綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0, 0）或（1, 0）或（8, 0）或（-2, 0）.19. （2020金山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xQr中（如圖），已知拋物線y=-F+b.r+c經(jīng)過點(diǎn)H （3, 0）和8 （0,3）,其頂點(diǎn)為C.（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)：（2）我們把坐標(biāo)為（叫胴）的點(diǎn)叫做坐標(biāo)為（皿，）的點(diǎn)的反射點(diǎn)，已知點(diǎn)M在這條拋物線上，它的反射點(diǎn) 在拋物線的對稱軸上，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)尸是拋物線在第一象限部分上的一點(diǎn)，如果NPO,4 = N.4C8,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).5-4-3-2-1-111111、-5 -4 -3 -2 -11 1 2 3 4 5 6 x-1

54、-2-3-4-5 -【分析】（1）把，8兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程組解決問題即可.（2）設(shè)M （卅，-/+25+3）,則址的反射點(diǎn)為（-濟(jì)+2泄+3, w）,根據(jù)M點(diǎn)的反射點(diǎn)在拋物線的對稱軸上, 構(gòu)建方程求出加即可.（3）如圖，設(shè)尸（，-/+2+3）.利用勾股定理的逆定理證明乙鋁C=90'，推出tanNPOX=tanNXC3=3, 由此構(gòu)建方程即可解決問題.【解析】（1）拋物線y=-/+灰+。經(jīng)過點(diǎn)乂（3, 0）和8 （0, 3）,.（c = 3 l-9+3b + c = 0'解得憶；，.拋物線的解析式為= -f+2x+3,，頂點(diǎn) C （L 4）.（2）設(shè) M （?，-版+2?+3 ）, W的反射點(diǎn)為（-渥+2加+3, w）, M點(diǎn)的反射點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，；-初一2?+3 = 1«，冽2 - 2m - 2=0,解得削=i±V5,：.M (1+0 1)或(1 一行 1).1（3）如圖，設(shè)尸（。，-+2。