2020高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題專題04利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式(一)

1、專題四利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式（一）專題四利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式（一）函數(shù)不等式的證明由于其形式多變，方法靈活，成為了近幾年高考的一個熱點(diǎn)與難點(diǎn)，它一般出現(xiàn)在壓軸題的位置，解決起來比較困難.利用導(dǎo)數(shù)作為工具進(jìn)行證明是證明函數(shù)不 等式的一種常見方法，本專題總結(jié)了利用導(dǎo)數(shù)證明一個未知數(shù)的函數(shù)不等式的常見方法，希 望同學(xué)們看后有所收獲，提升利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的能力.模塊1整理方法 提升能力對于一個未知數(shù)的函數(shù)不等式問題，其關(guān)鍵在于將所給的不等式進(jìn)行“改造”，得到一平一曲、兩曲兩種模式中的一種.當(dāng)出現(xiàn)一平一曲時，只需運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出“曲”的最值，將其與“平”進(jìn)行比較即可.當(dāng)出現(xiàn)兩曲時，如果兩個函數(shù)的凸性

2、相同，則可以考慮通過曲線進(jìn)行隔離.由于隔離曲線的尋找難度較大，所以我們一般希望兩個函數(shù)的凸性相反.當(dāng)兩個函數(shù)的凸性相反時，則可以尋找直線（常選擇公切線或切線） 實現(xiàn)隔離放縮，當(dāng)然最理想的直線狀態(tài)是該直線與x軸平行或重合.當(dāng)改造的過程中出現(xiàn)一斜一曲時，一般要將其繼續(xù)改造，要么將其化歸到一邊，轉(zhuǎn)化為 一平一曲，要么將其轉(zhuǎn)化為兩曲.常用不等式的生成在不等式“改造”或證明的過程中，可借助題目的已知結(jié)論、均值不等式、函數(shù)單調(diào)性、與ex、lnx有關(guān)的常用不等式等方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，再進(jìn)行證明.下面著重談?wù)勁cex、lnx有關(guān)的常用不等式的生成.生成一：利用曲線的切線進(jìn)行放縮設(shè)y ex上任一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,

3、則過該點(diǎn)的切線方程為 y em em x m ,即y em x 1 mem ,由此可得與ex有關(guān)的不等式：ex em x 1 mem ,其中x R , m R ,等號當(dāng)且僅當(dāng)x m時成立.特別地，當(dāng) m 0時，有ex 1 x；當(dāng)m 1時，有ex ex .1設(shè)y lnx上任一點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為n ,則過該點(diǎn)的切線方程為 y ln n - x n ,即n11 2y -x 1 In n ,由此可得與In x有關(guān)的不等式：In x -x 1 In n ,其中x 0, n 0,等 nn1號當(dāng)且僅當(dāng)x n時成立.特別地，當(dāng) n 1時，有l(wèi)nx x 1;當(dāng)n e時，有l(wèi)nx -x.e利用切線進(jìn)行放縮，能實現(xiàn)以直

4、代曲，化超越函數(shù)為一次函數(shù).生成二：利用曲線的相切曲線進(jìn)行放縮x 1由圖1可得lnx ；由圖2可得lnx12x1一；由圖 3可得，lnx (0 x 1),exx 12 x 111In x (x 1);由圖 4可得，lnx - x 一x 12x一 .、-11，.、0x 1),lnxx 一(x 1).2 x綜合上述兩種生成，我們可得到下列與ex、lnx有關(guān)的常用不等式:與ex有關(guān)的常用不等式:(1) ex 1 x ( x R );(2) ex ex ( x R).與In x有關(guān)的常用不等式：x 1-(1) ln x x 1 ( x 0)；x1.1-(2) lnx -x (x 0);ex e2 x

5、1-/、 2x1_(3) ln x (0 x 1), ln x (x 1);x 1x 1，、11(4)inxx2x(0 x 1), in x1取代x的位置，相應(yīng)的可得到與 in x有關(guān)的常用不等式.x. be設(shè)函數(shù)f x ae in x ,曲線y f x在點(diǎn)1, f 1處的切線為y e x 12 .x(2)證明：f x 1 .【解析】(1)因為f 1 e, f 1 2 ,而f x aexin xex 1 aex bx b2,所以 xf 1 ae e，解得 a 1 , b 2.f 1 b 2【證明】（2）法1 :（尋找公切曲線隔離）由（1)知,exinx至二xx2ex 1f x 1 e in x

6、 1 .x由于f x混合了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和募函數(shù),比較復(fù)雜, ，21對數(shù)函數(shù)進(jìn)行分離，改造為 inx ex e“212 ex 2令 g x inx-,則 gx -, exx ex ex,一一 2,一 2由g x 0可彳導(dǎo)x 一，由g x 0可得0 x ， ee22所以g x在0,2上遞減，在-, 上遞增.而ee1%遞減,e所以兩個函數(shù)的凸性相同（都是下所以可以考慮將指數(shù)函數(shù)、1凸函數(shù)）.此時，我們可以尋找與兩個曲線都相切的曲線t x ，將兩個函數(shù)進(jìn)行隔離，從ex而實現(xiàn)證明.,21,1111 ex 1 區(qū)in x 一一in x -0,令 kx in x 一，則kx2 2-,由exexexex

7、xexexk x 0可得1x 0可得0 x -，所以k xe1 在0,一上遞減,e增'所以k xm.k e 0，于是lnx011-x ex exxe ex e ex0,令 sxex ex,則 s x ex e,由 s x 0可得0可得01 ,所以s x在0,1上遞減，在1,上遞增，所以s x s 10,于是 ex ex 0.min由于等號不能同時成立,所以ln xex法2:（尋找公切線隔離）由（1）知，fex In x2ex 1 _xee In x 1 ,將不等式改造為xlnx 2x x In x1x 0可得x -，由m x 0可得e0,1上遞減，在 1,ee上遞增，所以 m x mi

8、n1 x貝 U n x.由 n xex可得0x1,所以n x上遞減，所以 n xmax1 人一.令 n x e0可彳導(dǎo)x 1,由n x 0在0,1上遞增，在1,1兩個函數(shù)的凸性相反.此時，我們可以尋找與兩個曲線都相切的公切線y -,將兩個函e數(shù)進(jìn)行隔離，又因為等號不能同時成立，所以xlnx - 三.e e1【點(diǎn)評】法1中的兩個函數(shù)凸性相同，因此需要尋找公切曲線t x 進(jìn)行隔離，公切ex211曲線的尋找需要有一定的函數(shù)不等式放縮經(jīng)驗.該放縮lnx 弓與常用不等式ex ex e.11ex ex以及 一lnx -x有關(guān)，因此熟練掌握與 ex、lnx有關(guān)的常用不等式，能有效打開ex e某些不等式的證明

9、思路，使題目的難度降低.法 2中的兩個函數(shù)凸性相反，且兩個函數(shù)的最(1)xxe 、x2ex、x3ex、過原點(diǎn)，先減后增;(2)(3)xx ex e23xx_e“乂e“e“=-、23x x過原點(diǎn)，先增后減;在,0上遞減，在 0,上先減后增;xln x、2 .x In x、x3 In x、在0, 上先減后增;ln xln x ln(5)x23xx23xxIn xInx、在、在2已知函數(shù)f x ax xx 1ex0,0,1上先增后減;上遞減，在1,上先減后增.（1）求曲線y f x在點(diǎn)0, 1處的切線方程;（2）求證：當(dāng)a 1時，f x e 0 .【解析】（1） f2ax 2a 1 x 2x,因為0

10、,e1在曲線x上，且2,所以切線方程為y，即 2x y 1 0.【證明】（2）法2ax x 1x ee2ax0.當(dāng)a 1時，ax2_x 1e ，2x 1 ex0,在R上遞增.又因為g0,0可彳導(dǎo)x0可得x所以上遞減,1,遞增,所以g x法 2： f x2 ax2ax當(dāng)a 1時,2 ax_x 1e ,由常見不等式1 x ( x R),可得ex 1 2 x,所以 x2法3:令F x2 ax e x 2 ax 10可得x 1xe1e,則2ax 2axe一1八0可得x 或x2,所以Fxa,1在 ，1上遞減，在a1,2上遞增, a2,上遞減.F x的極小值為1eae e 0 ,由洛必達(dá)法則，可得_ 2a

11、x x 1lim xx elimx2ax 1xelimx2ax ee,所以F法 4: f x2 ax2 ax2 ax2axx 12a eR上遞增，又因為0,由 G x0可得0,0可得x,0上遞減，在0,上遞增，所以0.法 5： f x e 02ax x 1x e e2 ax1 e* x0 .當(dāng)x 0時，不等式成立,當(dāng) x 0 時，ax2 x 1ex1x 12k x2x 11 x 2x e x 14x2ex1x 1xe x3xx 1x 2 ek x 0可彳導(dǎo)x 1或01 x 0或x 2，所以k x在遞增，在 1,0上遞減,0,2上遞增，在2,上遞減.因為k 1e3 1e1 ,所以k 4max1

12、,而a 1 ,所以a k x法6:2ax x 1 八x e 0e2 ax x軸，開口方向向上的拋物線.令 n xex 1,則n x遞減.由于兩個函數(shù)的凸性相反，因此我們可以通過尋找兩個曲線的公切線將兩個函數(shù)進(jìn)行隔離，但由于公切線不容易尋找，又因為兩個函數(shù)處于相離的狀態(tài)，因此我們可以1 一為對稱2a2 ax x選擇在n xex 1上找切線，通過該切線將兩個函數(shù)隔離，從而實現(xiàn)證明.由常見不等式ex x 1可得ex1 x 2,容易想到隔離切線 y x2 ,下面進(jìn)行證明.222.2ax x 1 x 2 ax 2x 1 0 a 1 x x 10,而x 2ex 1,命題a 1 .當(dāng) 0 x 1 時，x 1

13、 aln x 0 ax 11上遞增.由洛必達(dá)法則可得lim二lim -x 1 ln x x 1 1 x綜上所述，a 1 .法2：（不猜想直接用最值法）f x 1x 1x 1，令h x ，仿照可得h x在0,1 ln xln x1 ,所以a 1 .獲證.【點(diǎn)評】 對于含有參數(shù)的一個未知數(shù)的函數(shù)不等式，其證明方法與不含參數(shù)的一個未知數(shù)的函數(shù)不等式證明大體一致.法3是直接證明f x e 0,法4是將不等式等價轉(zhuǎn)化為2x 1, 口、一，人,一ex 已知函數(shù)f x x 1 alnx.（1）若f x 0 ,求a的值； 11一 .（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，1 一 1 l 1 m,求m的最小值. x

14、 1，、一 一口ax222n【解析】（1） f x的定義域為 0,.法1 ：（分離參數(shù)法）當(dāng)x 1時，有f 10 ,成立.ln x 1 -x 1x 1當(dāng) x 1 時，x 1 aln x 0 a ，令 h x ，則 h x 2x ,令I(lǐng)n xIn xIn x1x 1k x In x 1 ,則k x0,所以k x在1, 上遞增，于是k x k 10 ,xxx 11所以h x 0,所以h x在1,上遞增.由洛必達(dá)法則可得lim工lim 1 1,所以x 1 ln x x 1 1 x 1 ex1 0 ,法5是通過分離參數(shù)進(jìn)而證明 a 2，3種方法本質(zhì)都是一平x一曲狀態(tài).法6將不等式轉(zhuǎn)化為ax2 x 1e

15、x 1 ,由于兩個函數(shù)的凸性相反，因此我們可以尋找切線實現(xiàn)隔離放縮.對于含有參數(shù)的一個未知數(shù)的函數(shù)不等式，我們還可以通過放縮，消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究一個特例函數(shù)的問題，從而使題目的難度大大降低.當(dāng)a 0時，f x在0,上遞增，而f 10,于是f x 0不成立.©例3專題四利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式(一)當(dāng)a 0時，由f x 0可得x a ,由f x0可彳# 0 x a ,所以f x在0,a上遞減，在a,上遞增，而f 10 ,所以a 1 .法3：(通過猜想減少分類討論)由 f 11aln2 0可得a -. f x 1 -,222ln 2x由f x 0可彳導(dǎo)x a ,由f x。可得0 x a

16、,所以f x在0,a上遞減，在 a, 上遞增，而f 10 ,所以a 1 .(2)當(dāng) a 1 時 f x x 1 In x 0,即 In x x 1 ,則有 In x 1 x ,當(dāng)且僅當(dāng) x 011*111時等3成立，所以ln1 , k N,于是In1In1下L In 1 2k2k2222n1111_.1.1.1一2L1f1 ,所以 由于直線x 2y 3 0的斜率為-，且過 12L1- -e.當(dāng) n3 時，2222n2n2222n1113591351 11 不 2 ) 于正 m的最小值為3.練習(xí)1:已知函數(shù)f x2 222324864a”b ,曲線y f x在點(diǎn)1, f 1處的切線方程為x 1

17、xx 2y 3 0 .(1)求a、b的值;(2)證明：當(dāng)x 0 ,且x 1時，f xln xx 1【解析】(1) f xln x專題四利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式（一）f1,1,所以f(2)b 1'2解得aln xIn xx 1In x 1ln x2ln x1x2In x1時,0 .構(gòu)造函數(shù)In xx遞減，所以h綜上所述，當(dāng)x練習(xí)(1)(2)2:已知函數(shù)1,x 0可得0【證明】（2）若axln x個零點(diǎn)x00,遞減,所以2x21時,ax0,上遞減.x 1時,ln x0,所以hIn x0,上遞增.又因為12, -，即 G e e所以G x在x°x0 In x0x00,x01 2h1

18、xIn x1 : -ax 22 bxx axln x1 2ax2bx-bx的單調(diào)區(qū)間; eIn x 1 2e2Inx 1x240可得xln x0IF2x的遞增區(qū)間為0,1遞減區(qū)間1 2-ax 2上遞增,ex0bxIn x2e 2xln xex xxxe所以0,0,所以上遞減，在x0,1丁x0 In x0In x01 .ex0且當(dāng)00,所以x恰有x x0 時，G x 0 ,當(dāng) x x0 時,上遞增，所以設(shè) x x In x In x 1 ,1,，In x - 1 1 e 0,所以 x 在 x1 1 一-2,1上遞增，所以 e eXo11,1,1FT ln -ln -ee e e2_ e命題獲證.

19、練習(xí)3:已知函數(shù)f xexln x .(1)求曲線y f1, f1處的切線方程;(2)求證： f x【解析】（1） f xex所以2e,1,f 1處的切線方程為2e x2ex2 exex In x exxln xx2 * 0 ,構(gòu)造函數(shù)xln xx2,則In x 2x,x 11ce-2,x12 x因為gx在0,上遞增，且g0,所以當(dāng)0 x 1時，g1時，g0,1上遞減，在1,上遞增，所以0,上遞增，又因為0,所以當(dāng)x 1 時，g x遞減,1 時，g xx遞增,所以0,命題獲證.法 2: f xexex In x2 exIn xx 0,構(gòu)造函數(shù)Gx 1e x 12xx 11 e x由H x 0可

20、得0 x0,1上遞減,1,上遞增，于0.于是當(dāng)0 x 1時,0,所以G x在0,1上遞減，在1,上遞增，于x G 10,命題獲證.【點(diǎn)評】對于不等式ex1 xlnx xx 0,從指對分離的角度來看，可構(gòu)造出.2 x 1e 12 一g x e xln x x的形式不算太復(fù)雜， 可通過多次求導(dǎo)證明其在 x軸的上萬（有且僅有 1ln xex 1In x 1ex 1一二十xln x x e 、Inx x 、 1 一廠、一-7等一系列式子，由于x x xx x xx 1 e個交點(diǎn)1,0 ）.也可以如法2那樣將函數(shù)進(jìn)一步改造為G x lnx x,法2比法1簡x單的原因在于G x當(dāng)中的lnx比較“單純”，求

21、導(dǎo)一次就能消去lnx.練習(xí)4:設(shè)函數(shù)f xIn 1 x , g x xf x , x 0,其中 f x 是 f x的導(dǎo)函數(shù).(1)若f x ag x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)L g n與n f n的大小，并加以證明.(1) f x法1：（分離參數(shù)法）當(dāng)x 0時,x ag x恒成立.當(dāng) x 0 時，f x ag x 在 0,上恒成立1 x ln 1 x0, 上恒成立.F xx In 1 x，令G xx In 1 x，則G xG x在0, 上遞增，于所以F x在0,上遞增.由洛必達(dá)法則，可彳導(dǎo)limx 01 x In 1limx 01 In 1 x取值范圍為 ,1 .法2:（不猜想直接用

22、最值法）令ag xlnax1 xa 1 x ax-2x 1 x當(dāng)a 1 0,即 a 1 時，h x0,上恒成立，所以0, 上遞增,所以h xh 00,所以當(dāng)a1時,0在0,上恒成立.當(dāng)0,a1上遞減，在a 1,上遞增，所以當(dāng)x a 1時h x取到最小值，于In a a 1 .設(shè)1 ，八 ，一一a -10,所以函數(shù) a a在1,上遞減，所以10 ,即 h a 10 ,所以hx 0不恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為,1*(2)設(shè) n N ,比較 g 1 g 2n的大小，并加以證明.專題四利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式（一）0 ,所以g,證明如下.上述不等式等價于ln,n f n n In n 1 ,比較結(jié)果為:為證明該式子，我們首先證明i 11In i i 1法1 ：在（1）中取可得ln 1x *1一，令x:，可得lnU1,2,L ,n一,r2可得ln 211213'lnn-Jn相